7.3空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）（解析版）.docx

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1、7.3空间几何体积及外表积（精讲）（基础版）考点一柱锥台外表积【例1-1】（2023全国高三专题练习）圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，那么该圆锥的外表积为（）A. 2B. 37rC. 4D. 51【答案】C【解析】设圆锥的母线长为/,那么/三=2乃，解得/ = 3,那么该圆锥的外表积为4x3xl + xl2=4.应选：C.【例1-2（2023全国高三专题练习）圆柱的底面半径和高都是2,那么圆柱的侧面积是（）A. 47B. 8）C. 12万D. 16/r【答案】B【解析】因为圆柱的底面半径和高都是2,所以圆柱的侧面积S = 2x%x2x2 = 8小应选：B.【例1-

2、3（2022河南）如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段45 = 8, C。,。为线段的四等分 点，那么该圆台的外表积为（）17兀A. 1 tcB. C. 671D. 5兀2【答案】A【解析】设圆台上底面半径为人 下底面半径为那么 =!/6 , 圆锥的体积为V =,万, =名近万；应选：A.33【例2-2（2022江苏南京高三开学考试）在A8C中，AB =逐,AC = 0,BC = 3 .那么以为轴，将 ABC旋转一周所得的几何体的体积为（）D.A. -B. C.33【答案】C【解析】过A作交8c于点。，那么题中旋转体是以ACD.AADb绕直角边所在直线5c旋转所成的两个圆锥的组合体.因为c

3、os/CA3 =两个圆锥的组合体.因为cos/CA3 =5 + 2-9275-72yio -io-所以sin/CAB = 2叵，所以ABC的面积为:10Sx石x&x旦迈x3xAO,解得：AD = 1.2102所以将43C旋转一周所得的几何体的体积为：V = :s/2 = !12.3 = tt应选：c.应选：c.【例2-3(2022.湖北.宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型 浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德” 字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合

4、体的高约 为40cm,上口直径约为28cm,经测量可知圆台的高约为16cm,圆柱的底面直径约为18cm,那么该组合体的 体积约为()(其中兀的值取3)A. 11280cm3B. 12380cm3C. 12680cm3D. 12280cm3【答案】D【解析】由题意得圆柱的高约为40-16 = 24 (cm),那么何尊的体积V = /台+嘘柱=$(142+92 + 14x9)x16 + 71x92x2412280 (cm3)应选：D.【一隅三反】(2022全国高三专题练习)正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4,侧棱长为2,那么其体积为()A. 56B.身也C. 28近D.33【答案】B【解析】如

5、下图，在正四棱台ABC。-AQCA中，点0。分别为上、下底面的中心，连接。40同,09,那么由题意可知O0J_底面ABC。，OA = 2叵OA=M，过点4作AEOO1交40于点E，那么AE_L底面ABC。，四边形OE4。为矩形，OE = OA=e ,所以AE = 2血-血=6 ,因为裕=2,所以=血， 即正四棱台的高为0,所以正四棱台的体积为V=gx,+22+亚丁卜血=巧巨.应选：B.1. (2023河南洛宁县第一高级中学一模)假设圆锥的母线与底面所成的角为:，底面圆的半径为6,那么该圆 6锥的体积为()B.兀C. 2兀D. 3兀【答案】B【解析】设圆锥的高为儿因为母线与底面所成的角为丁，所以

6、tang = 4,解得力=1.6o 3圆锥的体积v = ：x（6）2 xl =兀,应选：B2. （2022全国高三专题练习）圆柱。02的底面半径为1，高为2, AB, CQ分别为上、下底面圆的直 径，ABLCD,那么四面体A3CZ）的体积为（）1 24A. -B；C. 1D.-333【答案】D【解析】如下图：连接。因为AB_LCD, ABA.OO29 且O02cCO = a，所以AB，平面C。，I I4所以匕BCD =匕一+ 匕一CDO，, AB = - x x 2 x 2 x 2 =,应选：D JJ 4o（2022.上海闵行二模）如图，四棱锥PA3CZ）的底面为菱形，PD_1_平面ABC。，

7、/BAD = 60 ,E为棱BC 的中点.求证：平面PAO；（2）假设PD = AD = 2,求点。到平面PBC的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）返7【解析】（1）证明：因为PDL平面ABC。，Du平面A8C。，所以BDLDE,因为四棱锥尸-ABCZ）的底面为菱形，ABAD = 60,所以BCD为等边三角形，因为E为棱8C的中点所以。石JL5C,因为AO3C, 所以。石木。，因为 P0cAD =。，所以。平面PAD,（2）连接产区 因为PD = AD = 2,仄而BC = 2,DE = 6PE = ylPlf+DE2 =V4+3=V7，所以V iCD=-S /;cz）.PD = -x

8、lx2x73x2 = , i-33 23设点D到平面PBC的距离为h,其中由勾股定理得：PB = PC = V4 + 4 = 2V2 ,由三线合一知：PE IBC, 所以SpBc=gBCPE = gx2xS = S,而 Vd BCP =Vp BCD =S BCP，h = Lxy/ih = , 解得： =,LJr尸一HC D 3 aoC /337所以点。到平面PBC的距离为冥红.7考点三球的体积与外表积3271【例3】（2022.全国.高三专题练习）正方体外接球的体积是3 ,那么正方体的体对角线等于（）A.毡B. 4C.逑D.巫.333【答案】B【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设

9、外接球的半径为R, 432那么丫=内二F，解得R = 2,所以正方体的体对角线等于2R = 4；应选：B【一隅三反】（2023全国高三专题练习）圆柱的底面直径和高都等于球的直径，那么球与圆柱体积比是（）A. 2:3B. 3:2C. 4:3D. 3:4【答案】A【解析】设球的半径为那么圆柱的底面半径为R,高为2R, 4因为匕求=万氏3, %柱=氏22尺=2万氏3,4所以%：% 柱=4R3：2iR3=2:3.应选：A（2022.全国高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3, 0,1,其顶点都在球。的球面上，那么球。 的体积为（）1 . 4月兀B. 12兀C. 48兀D. 32垂足【答案】A【解析】

10、球0的半径为，32+（板）+二6,.体积”4兀（网=4岛应选：A 23考点四空间几何的截面【例4】（2022.贵州贵阳,二模（理）如下图的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥（圆锥的底面圆与正方体 的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上），用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，以下图形中 一定不是其截面图的是（）【答案】B【解析】用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截 该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方 体的任何面的平面截都无法得到.应选：B【一隅三反】2 .（2022.全国高三专题练习）轴截

11、面为正方形的圆柱内接于球，那么它们的外表积之比是（）A. 1：2B. 2：1C. 3:4D. 4：3【答案】C【解析】轴截面如以下图，ABCZ）为正方形，设圆柱底面圆直径= 2厂，那么球直径= 故圆柱外表 积为2兀尸之+2兀厂2厂=6a2,球外表积为4兀（血厂）=8兀/ ,故它们的外表积之比为3:4 ,应选：C.（2022广西）立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面,正方体A3C0-4旦GR的内切球。的直径为2,过球。的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（）A. 2B. 4C. 3KD. 472【答案】D【解析】当截面为正方体的对角面时，截面面积最大,由得正方

12、体棱长为2,截面面积的最大值为2x2啦=4后应选：D（2022河南二模（理）如下图，在长方A8C。-44GA中，48 = 3,4。= 4,44 = 5 ,点石是棱CQ上的一个动点，假设平面8EQ交棱AA于点R那么四棱锥片-尸的体积为,截面四边形尸 的周长的最小值为.【答案】20 2774【解析】由题意可得。尸/归石， 利用切割法可得以一印 = VbbED + Vb,-BFDi Ydj-BEB, + -BFBX= 1x1(5x4x3 + 5x4x3)= 20将长方体展开，如下图, 当点E为5与CG的交点、点尸为3。与AA的交点时，截面周长最小,此时截面的周长为2瓦人而在8。2 中，BD, = 52+（3 + 4）2 = 774 ,所以截面周长的最小值为2万.故答案为：20； 2774.