自控原理练习题讲解.pdf

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1、 2.1 系统结构图如图 1 所示，试确定传递函数 C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)H2(s)H1(s)R(s)C(s)_G3(s)图 1 2132112()()()1()G GGC sR sG HG H 2.2 系统结构图如图 1 所示，试确定传递函数 C(s)/R(s)和 C(s)/N(s)。1212121()()1GGC sR sGGGG H 23112()()1(1)G GC sN sG HG 例 3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：tettc109.0)9.0()(（t0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s。解 因为22111

2、)(sssssR)10()1(10109.09.01)()(22sssssstcLsC 故系统传递函数为 11.01)()()(ssRsCs 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3-34 所示。试确定系统的传递函数。解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为2223()2nnnsss 然后由响应的%pM、pt及相应公式，即可换算出、n。%33334)()()(%cctcMpp 1.0pt（s）由公式得 2/1%33%pMe 20.11pnt 4 3 0 0.1 t 图 3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应 h(t)换算求解

3、得：0.33、2.33n 例 3-18 已知系统特征方程为 0161620128223456ssssss 试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为 6s 1 8 20 16 5s 2 12 16 4s 2 12 16 3s 0 0 由于3s行中各项系数全为零，于是可利用4s行中的系数构成辅助

4、多项式，即 16122)(24sssP 求辅助多项式对 s 的导数，得 ssssdP248)(3 原劳斯行列表中 s3行各项，用上述方程式的系数，即 8 和 24 代替。此时，劳斯行列表变为 6s 1 8 20 5s 2 12 16 4s 2 12 16 3s 8 24 2s 6 16 1s 2.67 0s 16 新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 01612224ss 得到 2js和2js 例 3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1()(2csbsassKsG 试求：（1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参

5、考输入为)(1 tr，)(1 trt 和)(12trt 时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式，有 位置误差系数为 )1)(1(lim)(lim200csbsassKsGKssp 速度误差系数为KcsbsassKsssGKssv)1)(1(lim)(lim200 加速度误差系数为0)1)(1(lim)(lim22020csbsassKssGsKssa 对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为)(1 tr，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为 011rKrepss 参考输入为)(1 trt，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为 KrKrevss 参考输入为)(12trt，即抛物线函数

6、输入时系统的稳态误差为 022rKreass 例 3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1(10)(21sTsTssG 输入信号为 r（t）=A+t，A 为常量，=0.5 弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为 221021)(trtrrtr 系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：avpssKrKrKre2101 对于本例，系统的稳态误差为 vpssKKAe1 本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，

7、即系统为 1 型系统，所以 pK 10)1)(1(10lim)(lim2100sTsTssssGKssv 系统的稳态误差为 05.0105.0101011AKKAevpss 例 3-23 设复合控制系统如图 3-38 所示。其中 1221KK，sT25.02，132KK 试求)(1)2/1()(2ttttr时，系统的稳态误差。解 闭环传递函数 )1(22sTsK K1 R(s)图 3-38 复合控制系统 24)5.0(41)(221222113sssKKssTKKsKKs 等效单位反馈开环传递函数 2)12(2)(1)()(sssssG 表明系统为 II 型系统，且 2 KKa 当)(1)2/

8、1()(2ttttr时，稳态误差为 5.0/1assKe 例 4-1 设系统的开环传递函数为)2)(1(2)()(sssKsHsG 试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为0，1，2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有3mn条渐进线 渐进线的倾斜角为 03180)12()12(KmnKa 取式中的 K=0，1，2，得a=/3，5/3。渐进线与实轴的交点为 13)210(111miinjjazpmn 三条渐近线如图 4-13 中的虚线所示。（3）实轴上的根轨

9、迹位于原点与1 点之间以及2 点的左边，如图 4-13 中的粗实线所示。（4）确定分离点 系统的特征方程式为 022323Ksss 即)23(2123sssK 利用0/dsdK，则有 0)26(2123ssdsdK 解得 423.01s 和 577.12s 由于在1 到2 之间的实轴上没有根轨迹，故 s2=1.577 显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为 s1=0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 劳斯行列表为 3s 1 2 2s 3 2K 1s 326K 0 0s 2K 由劳斯判据，系统稳定时 K 的极限值为 3。相应于 K=3 的频率可由辅助

10、方程 0632322sKs 确定。解 之 得 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 为2js。根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 处 的 频 率 为41.12 方法二 令js 代入特征方程式，可得 02)(2)(3)(23Kjjj 即 0)2()32(22jK 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即 0322K，022 所以 2 3K（6）确定根轨迹各分支上每一点的K值 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点2 出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在 K=3 处相交时，可按式 3)41.10()41.10(jjx 求出后一条根轨迹分支

11、上 K=3 的点为x=3。由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为0.423j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 3)423.0()423.0(x 所以，x=2.154。因本系统特征方程式的三个根之和为2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的 K 值。现在已知根轨迹的分离点分别为0.423j0 和2.154，该点的 K 值为)154.2()423.0(22 K 即，K=0.195。系统的根轨迹如图 4-1 所示。例 4-6 已知控制系统如图 4-18 所示 图 4-1 例 4-1 系统的根轨迹 S 平面 j 图 4-6 R(s)C(s)4)15.0(sK （1）试根据系统的

12、根轨迹分析系统的稳定性。（2）估算%3.16%pM时的 K 值。解 44)2()2(16)(sKsKsGg（1）系统有四个开环重极点：p1=p2=p3=p4=0。没有零点。实轴上除2 一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为 248a 44)12(Ka，43 下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。将根轨迹上任一点 s=s1代入幅角方程，有)12()2(41Ks 即)12(41)2(1Ks 和渐近线方位角a的表达式比较，两者相等，于是有 as)2(1 由于 s1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。系统的根轨迹如图 4-7 所示。图知，随着 Kg的增加，有两条根轨迹将与虚

13、轴分别交于 j2 和j2 处。将 s=j2 代入幅值方程有 1|)2(|4sKg 解 得 开 环 根 增 益：Kgc=64，开 环 增 益：Kc=Kg/16=4 即当时，闭环系统有一对虚根j，系统处于临界稳定的状态。当 K4 时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0Kc时，有 L()0，且在此频率范围内，()穿越 180线一次，且为由上向下穿越，因此 N+=0，N =1 N=N+N =1 于是算得 右半平面的闭环极点数为 z=p 2N=2 系统闭环不稳定。例 5-32 已知单位反馈系统的开环传递函数)14)(1(10)(2ssssG 试判断系统的闭

14、环稳定性。解 开环系统有虚极点 s=j2。90)(lim0jG 3600)(limjG 4.153)(lim2jG 4.333)(lim2jG 系统开环幅相曲线如图 5-72 所示。由于=1，从幅相曲线上对应=0 的点起逆时针补作 90且半径为无穷大的虚圆弧。因为存在一对虚极点 s=j2，故从=2 的对应点起，顺时针补作 180且半径为无穷大的虚圆弧。作虚圆弧如图 5-72 所示。因为 p=0，由开环幅相曲线知 N=1，s 右半平面闭环极点的个数 z=p 2N=2 闭环系统不稳定。例 6-9 设开环传递函数)101.0)(1()(sssksG 单位斜坡输入 R(t)=t，输入产生稳态误差 e

15、0.0625。若使校正后相位裕度*不低于 45，截止频率c*2(rad/s)，试设计校正系统。解:0625.01ke 16k 02.06lg206lg2016lg20)(L 10010011 令 L()=0，可得 c=4 4512)01.0arctan(arctan90180cc 不满足性能要求，需加以校正。系统中频段以斜率40dB/dec 穿越 0dB 线，故选用超前网络校正。设超前网络相角为m，则*)125(m 43101245)125(*m 5sin1sin1mm 中频段 0lg10)()(ccLL 所以 9.5 c 验算 )(180cm )01.0arctan(arctan904318

16、0cc =48 45)/(1Tc 076.0)/(1 cT 所以超前校正网络后开环传递函数为 ssssssG076.0138.01)101.0)(1(16)(例 6-12 设单位反馈系统的开环传递函数)15.0)(1()(sssksG 试设计一串联校正装置，使校正后开环增益等于 5，相位裕度*40，幅值裕度 h*10(dB)。解 选 k=5 对于校正前的系统 2.05lg205lg205lg20)(L 2211 令 L()=0，可得 c=2.9 =180 90 arctanc arctan(0.5c)=36.5 *不满足性能要求，选用迟后校正网络加以校正。令 455*)(c 得 45)5.0a

17、rctan(arctan90cc 45)5.0arctan(arctancc 所以 5.0 c 根据 0)(lg20 cLb 得 b=0.112 再由 cbT 1.01 得 T=159.4 故选用的串联迟后校正网络为 ssTsbTssGc4.15918.17111)(验算 )()(180ccc )5.0arctan(arctan90)4.159arctan()8.17arctan(180cccc =40.02 40 验证 h 校正后系统满足 h*=10dB时所对应的频率为1=1.33，则 (1)=178.8 180 满足幅值裕度条件，所以 ssssssGsGsGc4.15918.171)15.

18、0)(1(5)()()(例 6-16 设复合控制系统如图 6-29 所示，图中 Gn(s)为顺馈传递函数，Gc(s)=kts 为测速电机及分压器的传递函数，G1(s)和 G2(s)为前向通路中环节的传递函数，N(s)为可测量的干扰。若 G1(s)=k，G2(s)=1/s2，试确定 Gn(s)，Gc(s)和 k1，使系统输出量完全不受干扰 n(t)的影响，且单位阶跃响应的超调量等于 25%，峰值时间为 2s。解 当 R(s)=0 时，令 C(s)=0 得 0)()(1212sNsNGGGGGcn 所以 11212cnGGGGG 已知 G1(s)=k，G2(s)=1/s2，闭环传递函数特征方程 012121cGGGGG 由 Mp%=25%，tp=2，求得理想闭环极点 475.1,21js 93.236.1)()(221sssssssd 由系统特征方程得 012121skskskt 用长除法可得 k1=2.93，kt=0.47 ssGGGGGcn37.112221 所以 G c=0.47s Gn=s2 1.37s k1=2.93