随机变量的数字特征总结.pdf

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1、 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 总 结(总 1 5 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-1-第四章 随机变量的数字特征 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置 1、数学期望的定义 (1)定义 离散型和连续型随机变量 X 的数学期望定义为 d)()()(，连续型离散型xxxfxXxXkkkPE 其中表示对 X 的一切可能值求和对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在 常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望

2、设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为,即 2、两点分布的数学期望 设服从 01 分布，则有，根据定义，的数学期望为 .3、二项分布的数学期望 设服从以为参数的二项分布，则。4、泊松分布的数学期望 设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量 服从均匀分布，Ua，b(a0，-+)则 令 得 E()=.3)指数分布 设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则.(2)随机变量的函数的数学期望 设)(xgy 为连续函数或分段连续函数，而 X是任一随机变量，则随机变量)(XgY 的数学期望可以通

3、过随机变量 X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ，有类似的公式：；（连续型）离散型 d)()()()(xxfxgxXxgXgYkkkPEE ；连续型离散型 dd,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZijjijiPEE 设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),1,2,ijijP Xa Ybpi j 如果级数(,)ijijjig a bp绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为 -3-(,)(,)ijijjiE g X Yg a bp；特别地();()iijjijiijiE Xa pE Yb p.设X为连续型

4、随机变量，其概率密度为()f x，如果广义积分 ()()g x f x dx绝对收敛，则X的函数()g X的数学期望为()()()E g Xg x f x dx 设(,)X Y为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy 绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为 (,)(,)(,)E g x yg x y f x y dxdy；特别地 ()(,)E xxf x y dxdy,()(,)E Yyf x y dxdy.注：求 E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函

5、数Z=E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。2、数学期望的性质 (1)对于任意常数 c，有cc E 例 EE(X)=E(X)(2)对于任意常数，有XXEE例：E(aX+b)=aE(X)+b(3)对于任意mXXX,21，有mmXXXXXXEEEE2121(4)如果mXXX,21相互独立，则mmXXXXXXEEEE2121(注：相互独立有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立)方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征 1、方差的定义 称222)()(XXXXXEEEED 为随机变量 X的方差，称XD为随机变量 X的标准差随机变量 X 的方差有如下计算

6、公式：；连续型离散型)(d)()(22xxfXxxXXxXkkkEPED 2、常见分布的方差 (1)两点分布 -4-设(0-1)，其概率分布为:P(=1)=p，P(=0)=1-p=q(0p1)E()=p，E(2)=12p+02(1-p)=p D()=E(2)-(E()2=p-p2=p（1-p）(2)二项分布 设 B(n,p)，其概率分布为:(k=0,1,2,n)(0p1)E()=np,(此处运用组合数公式)=,(运用二项分布的数学期望公式知)E(2)=np(n-1)p+np,D()=E(2)-(E()2=np(1-p)(3)均匀分布 设 Ua,b(a0，-+)E()=(令 t=(x-)/)=2

7、 D()=2.(5)指数分布-5-2、方差的性质 (1)0XD，并且0XD当且仅当X（以概率）为常数；(2)对于任意实数，有XXDD2；（方差对随机变量前面的常数具有平方作用）(3)若mXXX,21两两独立或两两不相关，则 mmXXXXXXDDDD2121（4）D(X)0，D(X)=0 的充要条件是 PX=E（X）=1或者 PX=C=1.(5)设 X是一个随机变量，c是常数，则 D(X+c)=D(X).例：D(k+c)=k2D()；切比雪夫不等式 我们知道方差)(XD是用来描述随机变量X的取值在其数学期望)(XE附近的离散程度的，因此，对任意的正数，事件)(XEX发生的概率应该与)(XD有关，

8、而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。定理 1 设随机变量X的数学期望)(XE与方差)(XD存在，则对于任意正数，不等式 2)()(XDXEXP （1）或 2)(1)(XDXEXP （2）都成立。不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的数学期望和方差即可对X的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。-6-例 1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是 7300，均方差是 700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在94005200之间的概率。解 设X表示每毫升血液中含

9、白细胞个数，则 700)()(,7300)(XDXXE 而2100|7300|12100|7300|94005200XPXPXP 又9121007002100|7300|22XP 所以9894005200 XP 协方差和相关系数 考虑二维随机向量),(YX，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及X和Y的联合数字特征协方差和相关系数 1、协方差和相关系数的定义 (1)协方差 随机变量X和Y的协方差定义为 YXXYYYXXYXEEEEEE)(),cov(，其中 ；连续型离散型 dd,yxyxxyfyYxXyxXYijjijiPE(2)相关系数 随机变量 X和 Y 的相关系数定义为 yxYXX

10、YYXYXEEEDD,cov 2、协方差的性质 设随机变量X和Y的方差存在，则它们的协方差也存在(1)若X和Y独立，则0),cov(YX；对于任意常数 c，有0),cov(cX(2),cov(),cov(XYYX(3)对于任意实数 a 和 b，有),cov(),cov(YXabbYaX-7-(4)对于任意随机变量ZYX,，有，),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(ZXYXZYXZYZXZYX(5)对于任意X和Y，有YXYXDD,cov（等号成立，且当仅当存在常数啊，a，b 使 PY=a+bX=1成立）(6)对于任意X和Y，有),cov(2)(YXYXYXDDD

11、 3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用设X和Y的相关系数，,222121YXYXDDEE(1)11(2)若X和Y相互独立，则=0；但是，当=0时X和Y却未必独立(3)1的充分必要条件是X和Y（以概率）互为线性函数(4)对随机变量 x，y，下列事件等价：cov（X,Y）=0;X 和 Y不相关；E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y)三条性质说明，随着变量X和Y之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值从 0 增加到 1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量 4、随机变量的相关性 假设随机变量X和Y的相关系数存在若=0，则

12、称X和Y不相关，否则称X和Y相关(1)若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2)若X和Y的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布概率统计中用矩描绘概率分布常用的矩有两大类：原点矩和中心矩数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩 1、原点矩 对任意实数0k，称kkXE为随机变量的k阶原点矩，简称k阶矩XE1原点矩的计算公式为：-8-；连续型离散型 d)()()(xxfxxXxXkiikikkPE 一阶原点矩是数学期望()E X；2、中心矩 称kkXXEE为随机变量的k阶中心矩二阶中心矩是方差D(X)；3.混合中心矩随机变量(,

13、)X Y的(,)k l阶混合原点矩定义为()klE X Y；随机变量(,)X Y的(,)k l阶混合中心矩定义为()()klE XE XYE Y(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y.（四）常用分布的数字特征 当X服从二项分布(,)B n p时，(),()(1)E XnpD Xnpp 当X服从泊松分布()p时，(),()E XD X，当X服从区间(,)a b上均匀分布时，2()(),()212abbaE XD X 当X服从参数为的指数分布时，211(),()E XD X 当X服从正态分布2(,)N 时，2(),()E XD X 当(,)X Y服从二维正态分布221212(,)N 时，

14、211(),()E XD X；222(),()E YD Y；12cov(,),XYX Y 三、典型例题及其分析 例 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为，和，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX和方差DX.【思路】关键是求出X的分布律，然后用定义计算EX.【解】引入事件：i=1,2,3.iAi 第 个部件需要调整 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 1230.10,0.20,0.30.P AP AP A 由题设部件的状态相互独立，于是有 1231230 0.9 0.8 0.70.504.P XP A A AP A P AP A

15、-9-12312312310.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.3 0.398P XP A A AA A AA A A12312312320.1 0.2 0.70.1 0.8 0.30.9 0.2 0.3 0.092;P XP A A AA A AA A A 于是X的分布律为 X 0 1 2 3 P 从而 0 0.5041 0.3982 0.0923 0.006 0.6,iiiEXx p 22222200.50410.39820.09230.006 0.820.iiiEXx p 故 2220.8200.60.46.DXEXEX【解毕】【技巧】本题的关键是引入事件iA，

16、将X的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X的分布.同时，方差的计算一般均通过公式22DXEXEX来进行.例 设X是一随机变量，其概率密度为 1,10,1,01,0,xxfxxx其他.求DX.(1995 年考研题)【解】011001122222100110.11211 6EXxfx dxxxdxxx dxEXxfxdxxxdxxx dxxxdx 于是 221.6DXEXEX 【解毕】-10-【技巧】在计算数学期望和方差时，应首先检验一下 f x的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，f x为偶函数，故 0.EXxf x dx同样DX的计算也可直接简

17、化.例 已知连续型随机变量X的密度函数为 2211,-x+.xxf xe求EX与DX.(1987 年考研题)【思路】一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】（方法 1）直接法.由数学期望与方差的定义知 2222111111111 1.xxxxEXxfx dxxedxedxxedxedx 22222212111111 .22xttDXEXEXxfx dxxedxt edtedt分部积分 （方法 2）利用正态分布定义.由于期望为，方差为2的正态分布的概率密度为2221.2xex 所以把 f x变形为 2211221122xfxe 易知,fx为

18、11,2N的概率密度,因此有11,.2EXDX 【技巧】解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分2kxedx等.(2)若干计算公式的应用 主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例 设X表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为，求2EX.(1995年考研题)【解】由题意知10,0.4XB于是100.44,EX 10 0.41 0.42.4.DX 由22DXEXEX可推知2222.4418.4.EXDXEX-11-【寓意】本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机

19、变量X的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么1010221000.41 0.4kkkKEXk C的计算是繁琐的.例 设X服从参数1的指数分布，求2XE Xe.（1992 年考研题）【解】由题设知，X的密度函数为 ,0,0,0.xexf xx 且1EX，又因为 22201,3XxxxEeef x dxee dx 从而 22141.33XXE XeEXEe 【解毕】【寓意】本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例 设二维随机变量,X Y在区域,:01,Gx yxyx内服从均匀分布，求随机变量21ZX的方差.DZ 【

20、解】由方差的性质得知 214DZDXDX 又由于X的边缘密度为 1,01,0,.2,01 0,xXxdyxfxfx y dyxx其他其他.于是 112200222212,2,32121.2318EXxxdxEXxxdxDXEXEX 因此，1244.189DZDX 【解毕】-12-【技巧】尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X的期望于方差时，可以从X的边缘密度函数出发，而不必从X与Y的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例 设随机变量X和Y独立，且X服从均值为 1，标准差为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量23ZXY的概率密度函数.（1989 年考研题）【思路

21、】此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为,X Y的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ和DZ，则Z的概率密度函数就唯一确定了.【解】由题设知，1,2,0,1XNYN.从而由期望和方差的性质得 2235,29.EZEXEYDZDXDY 又因Z是,X Y的线性函数，且,X Y是相互独立的正态随机变量，故Z也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知5,9ZN，于是，Z的概率密度为 252 91,.32zZfzez 【解毕】【寓意】本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例 假设随

22、机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 0,1,.kYkXYk若若 1,2k （1）求1X和2X的联合概率分布；（2）求12E XX.【解】显然，Y的分布函数为 1,0,0,0.yeyFyy 10,111.YXY若，若 20,212.YXY若，若 （1）12XX有四个可能取值：0,0,0,1,1,0,1,1,且-13-121121212120,01,21 11,0,11,20,1,01,212 21,1,11,22 PXXP YYP YFePXXP YYPXXP YYPYFFeePXXP YYP Y 2 12.Fe 于是得到1X和2X的联合分布律为 1X 2X 0 1 0 11 e 0 1

23、12ee 2e（3）显然，12,XX的分布律分别为 1X 0 1 2X 0 1 P 11 e 1e P 21 e 2e 因此 1212,.EXeEXe 故 121212.E XXEXEXee 【解毕】【技巧】本题中若不要求求X与Y的联合分布律，也可直接求出12E XX，这是因为 1111011.EXP YP YP Ye 而 222,EXPYe 因此 121212.E XXEXEXee 不仅如此，我们还能求12,XX其他函数的期望.例如求12E X X，此时，由于 121,2,0 .YX X若，其他 故 21212022.E X XP YP YP Ye 例 设随机变量,X Y服从二维正态分布，其

24、密度函数为-14-22121,2xyf x ye 求随机变量22ZXY的期望和方差.【思路】利用随机变量函数的期望的求法进行计算.【解】由于22ZXY，故 222222222,1 .2xyEZEXYxyfx y dxdyxy edxdy 令cos,sin.xryr，则 2222222200002011222 .2|rrrrEZdrerreedredr 而 22222222222222000121 22 2.xyrrEZEXYxyedxdydr erdrredr 故 222.2DZEZEZ 【解毕】【技巧】本题也可先求出Z的密度函数，再来求Z的期望与方差，但由于求Z的密度本身就是一繁琐的工作，因

25、此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道Z的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者,X Y为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解.例 已知随机变量X与Y分别服从正态分布21,3N和20,4N，且X与Y的相关系数12XY，设,32XYZ 求：（1）Z的数学期望EZ和方差DZ；（2）X与Z的相关系数XZ；-15-（2）问X与Z是否相互独立为什么（1994 年考研题）【解】（1）由数学期望的运算性质有 111.32323XYEZEEXEY 由2,D XYDXDY

26、Cov X Y有 2211112,3232321111 2,3232111 943 1423.XYXYDZDDXDYCovXYDXDYCovX YDXDYDXDY（2）因为 2,3211 ,3211 32111 3340,322XYXYCovXZCovXCovXXCovX YDXDXDY 所以 ,0.XZCov X ZDXDZ （3）因,X Y均为正态，故,X Y的线性组合Z也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由0XZ知，X与Z相互独立.【解毕】【寓意】本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质 ,Cov aXbY cUdVacCov X UadCov X VbcC

27、ov Y UbdCov Y V另一点为：对于二正态变量X与Y，X与Y 相互独立等价于0.XY 综例 设随机变量X的概率密度为 ,02,24,0,.axxfxcxbx其他 已知32,13.4EXPX求：（1）常数,;a b c（2）XEe.【思路】要确定三个常数,a b c需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为 1,f x dx而XEe只需利用随机变量函数的期望计算公式即可.-16-【解】（1）由概率密度的性质知，有 24021262.f x dxaxdxcxb dxacb 又因为 24022356 6,83EXxfx dxx axdxx cxb dxacb 而 323112313435 .22PXfx dxaxdxcxb dxacb 解方程 2621,85662,33353.224acbacbacb 得 111,4,4abc （2）240242144111 .424XxxxxxEee fx dxedxedxee 【解毕】