《余弦定理》教学设计.docx

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1、余弦定理教学设计教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦 定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理, 培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工 具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间 的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学 生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦 定理进行应用。难点：利用向量法证明余弦定理的

2、思路；对余弦定理的熟练应用。探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经 具备了勾股定理的知识，即当NO90时，有C?=a?+b2。作为一般的情况，当NC W90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的 思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用 向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与 解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大 胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开 拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，乂能培养学生形成良好

3、的思维习惯， 激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。教学过程一、创设情境1、复习引入让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。2、情景引入如图1,某隧道施工队为了开凿一条 山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长 度。工程技术人员先在地面上选一适当的 位置A,量出A到山脚B、C的距离，再利 用经纬仪测出A对山脚BC （即线段BC）的 张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。学生不难将这个实际问题转化到数学 问题：A图I已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一边。这个问题是不能使 用正弦定理来求解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个问题。二、导入新课问题：在AABC

4、中,当NO90时,有（?寸+亚 若a, b边的长短不变,变 换NC的大小时，C?与a?+b2有什么大小关系呢？请同学们思考。教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答，借助 于多媒体动画演示结果。如图2,若NCV90。时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短， 即 c290时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长, 即 c2a2+b2.经过议论学生己得到当NCW90。时，cVa2+b20三、新课探究探究1、在上一个问题中，我们已经知道，当NCW90。时，c2=a2+b2。那么 不与Y+b?到底有什么等量关系呢？请同学们继续探究。教师引导学生分组合作学习，可让几个

5、小组的学生研究当NC为锐角时的结 论，另外的小组研究当NC为钝角时的结论。最后交流探索，展示成果。如图4,当NC为锐角时，作BDJ_AC于D, BD把aABC分成两个直角三角形:在 RtZXABD 中，AB2=AD2+BD2；在 RtABDC 中，BD=BC sinC=asinC, DOBC cosC=acosC.所以，ABJAD2+BD?化为c2= (b-acosC) 2+ (asinC)2,c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2s in2C,c2=a2+b22abcosC.可以看出NC为锐角时，ABC的三边a, b, c具有c?=a2+b2-2abcosC的关 系。如图5,当NC

6、为钝角时，作BDLAC,交AC的延长线于D。ACB是两个直角三角形之差。itRtAABD, AB2=AD2+BD2.在 RtZXBCD 中，ZBCD= Ji -C.BD=BC sin ( n C), CD=BC cos( n C).所以ABJS+BD?化为c2=(AC+CD)2+BD2= b+acos ( n C)2+ asin(冗C) 2=b+2abcos ( n C) +a2cos2(nC) +a2sin2(冗C)=bz+2abcos ( n C) +a2.因为cos (兀C)=cosC,所以也可以得到cJN+a?2abcosC。教师点拨：以上两种情况，我们可以考察向量元在向量前方向上的正

7、射 影的数量：当NC分别是锐角和钝角的时候，得到两个数量符号相反；当NC是 直角的时候，其向量恁在直角边上的正射影的数量为零。因此，无论是NC是 锐角、直角还是钝角，都有AD=bsin C, DC = Z?cosC, BD= a-bcosC,在RtZADB中，运用勾股定理，得c?=a2+b2-2abcosC,我们轮换/A, ZB, NC的位置可以得到a2=b2+c22bccos A.b2=c2+a22accosB.于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：(多媒体投影余弦定理 的内容)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两倍，即c2=a2+b2

8、2abcosCa2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosB从以上的公式中解出cosAcos民cosC,则可以得到余弦定理的另外一种形 式:4/ +。2-/cos A =2bcn c- +a-b-cosB =2ca- a +h -ccosC =2ab从以上分析过程，我们对NC不是直角的情况有了清楚认识。我们不仅要认 识到，NC为锐角和钝角时都有c2=a2+b22abcosC,还要体会出怎样把一个斜三 角形转化成两个直角三角形的。这种由未知向己知转化的思想在数学中经常用 到。探究2、你还能用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1左上方的思路 提示。教师点拨学生的思路，可以让学生

9、分组讨论、探究，最后教师用多媒体展 示证明的思路及过程。如图6,在AABC中，设赤=巳之=瓦诙=2,图6 BC=AC-AB.:.BC2 =C-ABfBC2 = AC2 4-2AB* AC闻2 =|可+网_2网网cosA即：a2 =b2 +c2 -2bccosA教师点评：对于探究1,我们分NC是锐角和钝角的情况对余弦定理的形式 给出了证明，过程比较复杂；对于探究2,我们应用向量的数量积可以很简单的 证明余弦定理，这就可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用， 在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。探究3、余弦定理在解三角形中的应用教师启发学生：根据余弦定理的两种形式，可以看出它

10、能够解决解三角形的 哪些类型？（学生并不难发现，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：已知三 角形的两边及其夹角，求第三边；已知三角形的三边，求三个内角。）下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题。（用多 媒体展示例题）例 1、在4ABC 中，已知 a=5, b=4, ZC=120,求 c.例2、在aABC中，已知a=3,b=2,c=J方,求此三角形三个内角的大小及其 面积（精确到0.1）.例 3、AABC 的定点为 A（6, 5）,B（-2, 8）,和 C（4, 1）,求NA（精确到 0. 1）.双边活动：师生可以共同完成例题，进一步的加深学生对余弦定理的应用。四、练习与

11、巩固1、在ABC 中，a=l,b=l, ZC=120,则 c=。2、在ABC中，若三边a,b,c满足/=+/+乩，则a=。3 在 ABC中，已知sinA:sin3:sinC = 3:4:5 ，这个三角形是 （填锐角、直角、钝角三角形）。4、在ABC中，BO3,AO2,AB上的中线长为2,求AB。双边活动：学生限时训练，让学生回答结果，对于出错题目加以讲解，可以 用多媒体展示第4题的解题过程。五、课堂反思总结通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体 会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）1、余弦定理的发现从直角入手，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了由 特殊到一般的

12、认识过程，运用了分类讨论的数学思想；2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想 的应用；3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。 用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求 内角的两类问题。（从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出 正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而 且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注 重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。）六、布置课后作业1、若三角形ABC的三条边长分别为。=2

13、, b = 3, c = 4,则 2bccosA + 2cacosB + 2abcosC =。2、在中，若a=7=8, cosC = ,则最大内角的余弦值为。143、已知aABC中，acosB=bcos A,请判断三角形的形状（用两种不同的方 法）。4、教材练习B1第3题。教学反思1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节 课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加 强定理的应用。2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第 三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。 但是这个问题在本节课讲给

14、学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。3、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定 理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成 过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套 用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没 有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的 应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已 经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索 新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心

15、感受，把“发 现、探究知识”的权利还给学生。4、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学 生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材;引导学生自己去 研究问题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即： 不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式” 的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感 官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生 上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”, 没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。6、在实际的教学中，发现学生对于所学的知识（例如向量）不能很好的应 用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的 教学中还应该加强。从授课的实际效果来看，能较好的完成本节课的教学任务。 后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂双边活动，处理好教与学的关系，充分 调动学生的课堂参与意识，鼓励学生积极大胆的发言，学生主动暴露自己的问题, 教师及时的加以纠正，使教学更具针对性。