【教案】排列数教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx

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1、6.2.2排列数教学设计课题 排列数单元第六单元学科数学年级高二学习目标1.能用计数原理推导排列数公式.2.掌握排列数概念及排列数公式并计算排列数，能够使用排列数公式解决实际排列问题.重点排列数公式计算.难点能用排列数公式解决简单的实际问题教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课新知导入：情景一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?答：要解决该问题，可以分为两个步骤：（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1人参加上午的活动，有3种方法；（2）从剩下的2名同学中选择1人参加下午的活动，有2种方法；根据分步乘法

2、计数原理，总共有3 x 2 = 6种不同的方法情景二：从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？答：要解决该问题，可以分为三个步骤：（1）从a、b、c、d四个字母中选出1个字母，排在第一位，有4种选法；（2）从剩下的3个字母中选择1个字母，排在第二位，有3种选法；（3）从剩下的2个字母中选择1个字母，排在第三位，有2种选法；根据分步乘法计数原理，总共有4 x 3 x 2 = 24种不同的方法.学生思考问题，引出本节新课内容.设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.讲授新课新知讲解：排列数我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，

3、叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示.例如情景一中，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为A32，通过前面导入算得:A32=32=6.情景二中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为A43，已经算出A43=432=24.合作探究：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的排列数Anm是多少？（1）可以先从特殊的情况开始研究，如求排列数An2;假设有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中选取2个元素去填空，一个空位填上1个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数An2.第一步，填第1个位置的元素，可

4、以从n个不同元素中任取1个，有n种选法；第二步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个不同元素中任取1个，有(n-1)种选法；根据分步乘法计数原理，2个空位的填法总数为An2=n(n-1)；（2）同理，求排列数An3可以按照依次填3个空位的方法来考虑，有An3=n(n-1)(n-2)；（3）同理，求排列数Anm可以按照依次填m个空位的方法来考虑;第一步：从n个不同元素中任选一个填在第1位，有n种选法；第二步：从剩下的(n-1)个不同元素中任选一个填在第2位，有(n-1)种选法；第三步：从剩下的(n-2)个不同元素中任选一个填在第3位，有(n-2)种选法第m步：从剩下的n-(m-1)个不同

5、元素中任选一个填在第m位，有n-m+1种选法；根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2).n-(m+1)新知讲解：排列数公式Anm=n(n-1)(n-2).(n-m+1)把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.此时，排列数公式中m=n，即有Ann=n(n-1)(n-2).321正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!，所以n个元素的全排列数公式可以写成Ann=n!，规定：0!=1.因此，Anm=nn-1n-2n-m+1 =nn-1n-2n-m +121n-m 21=AnnAn-mn-m=n!n-m!总结归纳：（1）排列数公式中连乘积的特点是：第

6、一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数相乘；（2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好；（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明.例题讲解：例1 计算：（1）A73（2）A44（3）A77A74（4）A64A22答：（1）A73=7 6 5 = 210（2）A44=7 6 5 4 = 840 （3）A77A74=7!4!=7 6 5 = 210（4）A64A22=6 5 4 3 2 1 = 6! = 720例2 用09这10个数字，可以组成多少个没有重

7、复数字的三位数？答：在09这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素.解法一：由于三位数的百位上不能是0，所以可以分两步完成：第一步：确定百位上的数字，可以从19这9个数字中取1个，有A91种取法；第二步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取2个，有A92种取法；根据分步乘法计数原理，所求三位数的个数为：A91A92=998=648解法二：符合条件的三位数可以分三类：第一类：每一位数字都不是0的三位数，可以从19这9个数字中取出3个，有A93种取法；第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在十位和百位，有A92种

8、取法；第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有A92种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：A93+A92+A92=987 + 98 + 98=648解法三：从09这10个数字中选取3个的排列数为A103，其中0在百位上的排列数为A92，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为：A103-A92=1098-98=648知识拓展：排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）：(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余

9、的元素，再将不相邻的元素插入空中.(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.课堂练习：1. 计算：（1）A103（2）A85（3）A95-A94A106-A105答：（1）A103=10 9 8 = 720（2）A85=8 7 6 5 4 = 6720 （3）A95-A94A106-A105=98765-98761098765-109876=5-1105-10=1102. 某班优秀学习小组有甲乙丙丁戊共5人，他们排成一排照相，则甲乙二人相邻的排法种数为（C）A

10、24 B36 C48 D60 3. 从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（ B ）A24 B20 C10 D9 4. 已知A2x3=100Ax2，则x= （ C ）A11 B12 C13 D14拓展提高：5. 已知3A8n-1=4A9n-2，则 n=（ B ）A5 B7 C10 D146. 解不等式：A9x6A9x-2（且 xN且x3）答：原不等式即9!(9-x)!69!(11-x)! ，也就是19-x!61(11-x)(10-x)(9-x)!化简得： x2-21x+1040，解得8x13，因为3x9，所以x=97. 把12345这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小

11、到大的顺序排成一个数列. （1）45312是这个数列的第几项？解：先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：A44=24;第二类5开头的五位数有：45321一个;所以不大于45312的数有：A55-A44-1=95个；即45312是该数列中第95项.（2）这个数列的第71项是多少？解：1开头的五位数有A44=24个；2开头的五位数有A44=24个；3开头的五位数有A44=24个.共有24 x 3 = 72个，所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.8. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排解：从7人中选5人排列

12、，有A75=76543=2520 种.（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；解：分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73A44= 5040种；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；解：将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44A44 = 576种（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；解：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5A66=3600种（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解：7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法

13、，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共A77-2A66+A55=3720种链接高考：9. （2017 上海高考真题）若排列数P6m= 654，则m= _3_解：由于P6m=65(6m+1)=654 ，所以6m+1=4，解得m=3学生根据不同的情境问题，探究排列数概念及排列数公式利用例题引导学生掌握并灵活运用排列与排列数公式解决实际问题通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用利用不同的情境问题，探究排列数的概念及排列数，培养学生探索的精神.加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.课堂小结1. 排列数2. 排列数公式学生回顾本节课知识点，教师补充.让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.板书6.2.2 排列数一、新知导入 三、例题讲解二、新知讲解 四、课堂练习1.排列数 五、拓展提高2.排列数公式 六、课堂总结七、作业布置学科网（北京）股份有限公司