正弦定理和余弦定理(带解析).pdf

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1、第 1 页 共 6 页正弦定理和余弦定理（二）正弦定理和余弦定理（二）A A 级级保大分专练保大分专练1 1在在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，coscos 2 2A Asinsin A A，bcbc2 2，则，则ABCABC 的面积为的面积为()1 1A.A.2 2C C1 11 1B.B.4 4D D2 21 1解析：解析：选选 A A由由 cos 2cos 2A Asinsin A A，得，得 1 12sin2sin2 2A Asinsin A A，解得，解得 sinsin A A(负值舍去负值舍去)，由，由 bc

2、bc2 21 11 11 11 12 2，可得，可得ABCABC 的面积的面积 S S bcbcsinsin A A 2 2 .2 22 22 22 22 2在在ABCABC 中，中，a a，b b，c c 分别是角分别是角 A A，B B，C C 所对的边，若所对的边，若(2(2a ac c)cos)cos B Bb bcoscos C C0 0，则角则角 B B 的大小为的大小为()A.A.6 622C.C.3 3 B.B.3 355D.D.6 6解析：解析：选选 C C由已知条件和正弦定理，得由已知条件和正弦定理，得(2sin(2sin A Asinsin C C)cos)cos B B

3、sinsin B Bcoscos C C0.0.化简，得化简，得1 12sin2sin A Acoscos B Bsinsin A A0.0.因为角因为角 A A 为三角形的内角，所以为三角形的内角，所以sinsin A A0 0，所以，所以coscos B B，所以，所以B B2 222.3 33 3在锐角在锐角ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，若，若 sinsin A AS SABCABC2 2 2 2，则，则 b b 的值为的值为()A A6 6C C2 2B B3 3D D2 2 或或 3 32 2 2 2，a a

4、3 3，3 31 1解析：解析：选选 D D因为因为 S S ABCABC bcbcsinsin A A2 2 2 2，所以，所以 bcbc6 6，2 2 2 2 2 20 0，又因为又因为 sinsin A A，A A 2 2 3 31 1所以所以 coscos A A，因为，因为 a a3 3，3 3所以由余弦定理得所以由余弦定理得 9 9b b2 2c c2 22 2bcbccoscos A Ab b2 2c c2 24 4，b b2 2c c2 21313，可得，可得 b b2 2 或或 b b3.3.4 4(2018(2018昆明检测昆明检测)在在ABCABC 中，已知中，已知ABA

5、B 2 2，ACAC 5 5，t ta an nBACBAC3 3，则，则BCBC 边边上的高等于上的高等于()第 2 页 共 6 页A A1 1C.C.3 3B.B.2 2D D2 23 31 1，c cosos BACBAC.由由10101010解析：解析：选选 A A法一：法一：因为因为 t ta an n BACBAC3 3，所以，所以 sinsin BACBAC 余弦定理，得余弦定理，得BCBC2 2ACAC2 2ABAB2 22 2ACAC ABcABcosos BACBAC5 52 22 2 5 5 2 2 1 1 9 9，所以，所以1010 2 2S S ABCABC1 11

6、13 33 3BCBC3 3，所以所以 S S ABCABC ABAB ACACsinsin BACBAC 2 2 5 5，所以所以 BCBC 边上的高边上的高 h hBCBC2 22 210102 23 32 22 21.1.3 3法二：法二：在在ABCABC 中，因为中，因为 t ta an n BACBAC3030，所以，所以BACBAC 为钝角，因此为钝角，因此 BCBC 边上的高小边上的高小于于 2 2，结合选项可知选，结合选项可知选 A.A.5 5(2018(2018重庆九校联考重庆九校联考)已知已知 a a，b b，c c 分别是分别是ABCABC 的内角的内角 A A，B B，

7、C C 的对边，且的对边，且a asinsin B B 3 3b bcoscos A A，当，当 b bc c4 4 时，时，ABCABC 面积的最大值为面积的最大值为()A.A.3 33 3B.B.3 32 2C.C.3 3D D2 2 3 3解析：解析：选选 C C由由 a asinsin B B 3 3b bcoscos A A，得得 sinsin A Asinsin B B 3sin3sin B Bcoscos A A，t ta an n A A 3 3，00A A，1 13 33 3 b bc c 2 2 A A，故，故 S S ABCABC bcbcsinsin A Abcbc 3

8、(3(当且仅当当且仅当 b bc c2 2 时取等号时取等号)，故选，故选 C.C.3 32 24 44 4 2 2 6 6(2019(2019安徽名校联盟联考安徽名校联盟联考)在在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，若，若bcbc1 1，b b2 2c ccoscos A A0 0，则当角，则当角 B B 取得最大值时，取得最大值时，ABCABC 的周长为的周长为()A A2 2 3 3C C3 3B B2 2 2 2D D3 3 2 2b b2 2c c2 2a a2 2解析：解析：选选 A A由由 b b2 2c cc

9、oscos A A0 0，得，得b b2 2c c 0 0，整理得，整理得2 2b b2 2a a2 2c c2 2.由余弦定由余弦定2 2bcbca a2 2c c2 2b b2 2a a2 23 3c c2 22 2 3 3acac3 3理，得理，得 coscos B B，当且仅当，当且仅当 a a 3 3c c 时等号成立，此时角时等号成立，此时角 B B2 2acac4 4acac4 4acac2 2取得最大值，将取得最大值，将 a a 3 3c c 代入代入 2 2b b2 2a a2 2c c2 2可得可得 b bc c.又因为又因为 bcbc1 1，所以，所以 b bc c1 1

10、，a a 3 3，故故ABCABC 的周长为的周长为 2 2 3.3.7 7在在ABCABC 中，中，B B120120，ACAC7 7，ABAB5 5，则，则ABCABC 的面积为的面积为_解析：解析：由余弦定理知由余弦定理知 7 72 25 52 2BCBC2 22 25 5BCBCcos 120cos 120，第 3 页 共 6 页即即 49492525BCBC2 25 5BCBC，解得，解得 BCBC3(3(负值舍去负值舍去)1 11 13 31515 3 3故故 S S ABCABC ABAB BCBCsinsin B B 5 53 3.2 22 22 24 4答案答案：1515 3

11、 34 48 8(2019(2019长春质量检测长春质量检测)在在ABCABC 中，三个内角中，三个内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，若，若1 1b bcoscos A Asinsin B B，且，且 a a2 2 3 3，b bc c6 6，则，则ABCABC 的面积为的面积为_2 2coscos A Asinsin B Bsinsin A A解析：解析：由题意可知由题意可知，因为，因为 a a2 2 3 3，所以，所以 t ta an n A A 3 3，因为，因为 00A A，b ba a2 2 所以所以 A A，由余弦定理得，由余弦定理得

12、1212b b2 2c c2 2bcbc(b bc c)2 23 3bcbc，又因为，又因为 b bc c6 6，所以，所以 bcbc8 8，3 31 11 1 从而从而ABCABC 的面积为的面积为 bcbcsinsin A A 8 8sinsin 2 2 3.3.2 22 23 3答案答案：2 2 3 3 9 9已知在已知在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，BACBAC，点，点 D D 在边在边2 2sinsin B BBCBC 上，上，ADAD1 1，且，且 BDBD2 2DCDC，BADBAD2 2DACDAC，则

13、，则_._.sinsin C C 解析：解析：由由BACBAC 及及BADBAD2 2 DACDAC，可得，可得BADBAD，DACDAC.由由 BDBD2 2DCDC，令，令DCDC2 23 36 6x x1 11 1x x，则，则 BDBD2 2x x.因为因为 ADAD1 1，在，在ADCADC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得，所以，所以 sinsin C C，在，在sinsin C C 2 2x xsinsin6 63 3 sinsin3 3sinsin B B4 4x x3 33 3 ABDABD 中，中，sinsin B B，所以，所以.2 2x x4 4x xsinsin C

14、C1 12 22 2x x答案答案：3 32 2 1010(2018(2018河南新乡二模河南新乡二模)如图所示，在如图所示，在ABCABC 中，中，C C，BCBC4 4，点，点 D D3 3在边在边 ACAC 上，上，ADADDBDB，DEDEABAB，E E 为垂足，为垂足，若若 DEDE2 2 2 2，则则 coscos A A_._.解析：解析：ADADDBDB，A AABDABD，BDCBDC2 2 A A.设设 ADADDBDBx x，BCBCDBDBx x4 4在在BCDBCD 中，中，可得，可得.sin 2sin 2A A sinsin BDCBDCsinsin C Csin

15、sin3 3DEDEADAD2 2 2 2x x在在AEDAED 中，中，可得，可得.sinsin A Asinsin AEDAEDsinsin A A1 1第 4 页 共 6 页2 2 2 2sinsin A A4 46 6联立可得联立可得，解得，解得 coscos A A.2sin2sin A Acoscos A A4 43 32 2答案：答案：6 64 41111(2019(2019南宁摸底联考南宁摸底联考)在在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，已知，已知 c c(1(1coscos B B)b b(2(2coscos

16、C C)(1)(1)求证：求证：2 2b ba ac c；(2)(2)若若 B B，ABCABC 的面积为的面积为 4 4 3 3，求，求 b b.3 3解：解：(1)(1)证明：证明：c c(1(1coscos B B)b b(2(2coscos C C)，由正弦定理可得由正弦定理可得 sinsin C Csinsin C Ccoscos B B2sin2sin B Bsinsin B Bcoscos C C，即即 sinsin C Ccoscos B Bsinsin B Bcoscos C Csinsin C Csin(sin(B BC C)sinsin C C2sin2sin B B，s

17、insin A Asinsin C C2sin2sin B B，a ac c2 2b b.1 13 3(2)(2)B B，ABCABC 的面积的面积 S S acacsinsin B Bacac4 4 3 3，acac16.16.3 32 24 4由余弦定理可得由余弦定理可得 b b2 2a a2 2c c2 22 2acaccoscos B Ba a2 2c c2 2acac(a ac c)2 23 3acac.a ac c2 2b b，b b2 24 4b b2 23 31616，解得，解得 b b4.4.4 4 1212在在ABCABC 中，中，ACAC6 6，coscos B B，C

18、C.5 54 4(1)(1)求求 ABAB 的长；的长；A A 的值的值(2)(2)求求 c cosos 6 6 4 43 3解：解：(1)(1)因为因为 coscos B B，00B B，所以，所以 sinsin B B.5 55 52 26 62 2ACACABABACAC sinsin C C由正弦定理得由正弦定理得，所以，所以 ABAB5 5 2.2.sinsin B Bsinsin C Csinsin B B3 35 5(2)(2)在在ABCABC 中，因为中，因为 A AB BC C，所以，所以 A A(B BC C)，4 43 3又因为又因为 coscos B B，sinsin

19、B B，5 55 5 4 42 23 32 2B B coscos BcBcosos sinsin B Bsinsin 所以所以 coscos A Ac cos(os(B BC C)c cosos 4 4 4 44 45 52 25 52 2第 5 页 共 6 页2 2.10101 1c cosos2 2A A7 7 2 2.1010因为因为 00A A，所以，所以 sinsin A A 2 23 37 7 2 21 17 7 2 2 6 6A A coscos AcAcosos sinsin A Asinsin 因此，因此，c cosos .6 6 6 66 610102 210102 22

20、020B B 级级创高分自选创高分自选1 1在锐角三角形在锐角三角形 ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，若，若 B B2 2A A，则，则取值范围是取值范围是()A A(2 2，2)2)C C(2 2，3)3)B B(2(2，6)6)D D(6 6，4)4)2 2b b的的a ab b解析：解析：选选 B B B B2 2A A，sinsin B Bsin 2sin 2A A2sin2sin A Acoscos A A，2cos2cos A A又又C C 3 3A A，C C 为为a a 2 2锐角，锐角，003 3A A A

21、 A ，又，又 B B2 2A A，B B 为锐角，为锐角，0202A A 00A A ，A A ，coscos2 26 63 32 24 46 64 42 2A A b b2 2b b3 3，22 3 3，22 6.6.a aa a2 22 2ABCABC 的三个内角的三个内角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，a asinsin A Asinsin B Bbcbcosos2 2A A2 2a a，则角则角 A A 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：由已知及正弦定理得由已知及正弦定理得 sinsin2 2A Asinsin B Bsinsin

22、BcBcosos2 2A A2sin2sin A A，即，即 sinsin B B(sin(sin2 2A Ac cosos2 2A A)b b2 2c c2 2a a2 24 4a a2 2c c2 2a a2 23 3a a2 2c c2 22sin2sin A A，sinsin B B2sin2sin A A，b b2 2a a，由余弦定理得，由余弦定理得 coscos A A2 2bcbc4 4acac4 4acac2 2 3 3acac3 3，当且仅当，当且仅当c c 3 3a a 时取等号时取等号A A 为三角形的内角，且为三角形的内角，且y ycoscos x x 在在(0(0，

23、)上是上是4 4acac2 2 0 0，.减函数，减函数，00A A，则角，则角 A A 的取值范围是的取值范围是 6 6 6 6 0 0，答案：答案：6 6 3 3(2018(2018昆明质检昆明质检)如图，如图，在平面四边形在平面四边形 ABCDABCD 中，中，ABABBCBC，ABAB2 2，BDBD 5 5，BCDBCD2 2ABDABD，ABDABD 的面积为的面积为 2.2.(1)(1)求求 ADAD 的长；的长；(2)(2)求求CBDCBD 的面积的面积1 11 1解：解：(1)(1)由已知由已知 S S ABDABD ABAB BDBD sinsin ABDABD 2 2 5

24、 5sinsin ABDABD2 2，可得，可得 sinsin ABDABD2 22 2第 6 页 共 6 页 2 2 5 55 50 0，所以，所以 c cosos ABDABD.，又，又BCDBCD2 2 ABDABD，所以，所以ABDABD 2 2 5 55 5在在ABDABD 中，由余弦定理中，由余弦定理 ADAD2 2ABAB2 2BDBD2 22 2ABAB BDBD c cosos ABDABD，可得，可得 ADAD2 25 5，所以，所以ADAD 5.5.(2)(2)由由 ABAB BCBC，得，得ABDABDCBDCBD，2 2所以所以 sinsin CBDCBDc coso

25、s ABDABD又又BCDBCD2 2 ABDABD，4 4所以所以 sinsin BCDBCD2sin2sin ABDABD c cosos ABDABD，5 5 ABDABD 2 2 ABDABD ABDABDCBDCBD，BDCBDC CBDCBDBCDBCD 2 2 2 2所以所以CBDCBD 为等腰三角形，即为等腰三角形，即 CBCBCDCD.在在CBDCBD 中，由正弦定理中，由正弦定理CDCD，sinsin BCDBCDsinsin CBDCBD5 55 55 55 5，4 44 45 5BDBD5 5.5 5BDBD sinsin CBDCBD得得 CDCDsinsin BCDBCD1 11 15 55 54 45 5所以所以 S S CBDCBD CBCB CDCD sinsin BCDBCD .2 22 24 44 45 58 8