和差化积积化和差.docx

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1、37 积化和差、和差化积(理)【教学目标】.经历积化和差、和差化积的复习过程，进一步掌握三角公式系统的逻辑结构；1 .能够用积化和差、和差化积公式，半角公式解决有关的三角计算、化简与证明问题；.体会三角问题中角度的变化，体会半角与倍角的相对性，感受辩证唯物主义的思想；【教学重点】积化和差、和差化积公式，半角公式的推导与应用。【教学难点】正确运用积化和差、和差化积及半角公式解决问题.【知识整理】1.积化和差公式sina cosP = sin(a + 0) + sin(a - p); cosa cos归 cos(a + P) + cos(a- p);22sina sin。=: cos(a + 3)

2、 - cos(a - P) J.22.和差化积公式sina + sin P = 2sin 0 十 cos。一 0 ,sin a-sin P =22a 介 a+Ba-Pqcosa + cos p = 2cos cos ,cos a - cos p 222.和差化积公式sina + sin P = 2sin 0 十 cos。一 0 ,sin a-sin P =22a 介 a+Ba-Pqcosa + cos p = 2cos cos ,cos a - cos p 22c a + P .2cos sin2= -2sin2P + asin2a3.半角公式a .tan sina 1 - cosa=I= I

3、o2 1 + cosa sina4.万能公式2tanl1-tam %2tansina =-,cosa =-,tana =1 + tari2 &1 + tan2,1-tan2_222解答y = ：sin(a + B)+sin(a p)= + 1sin(a - (3)，又因为 0 waw：, 2T 22cG r兀 27rla -p e - 2 兀lL 3瓦2n-a,所以 Bw_,_,-3? -3所以最大值等于堵.【属性】高三,三角比,和差化积与积化和差，解答题,难,运算能力_3【题目】在4BC中，已知tanA + tanB + jW=,与tanAtanB,且5访4$访8=_, 试判断A3C的形状.

4、解答解：在ABC 中 tan 4 + tan B = -a13(1 - tan Atari B),得tan(A + B) = -a/3 , 2因为4 + 8e(0k),所以 A+8二兀, 3又sinA-sinB = -_cos(A + 8)cos(A-C),所以 _ + _cos(A-C) =一 , 24 24即 C0S(A-8) = 1,因为 A-Be (-7t,K), A-B = O ,所以 4 = 5,即ABC为等边三角形.【属性】高三三角比,和差化积与积化和差解答题,中,运算能力ABC【题目】在ABC 中，求证：sin A + sin B-sinC = 4sin_ sin_ cos .

5、 222【解答】证明：略，【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，解答题,中，运算能力24【题目】若等腰三角形的顶角的正弦值为 近，求这个等腰三角形底角的余弦值.24【解答】设顶角为a ,底角为口，所以a + 2。=兀,又因为sina= ,所以sin(兀 一20)二t，即cos2R =二或cos2。= 一二，又 cosB = p + cos2(3 .252525V 24 3所以 cosB = y或支. 【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知sind+a)sin(2a)= _，(上，兀)，求sin4a的值. 4462【解答】由 sing+ a） sin（匕-

6、a） = - LlcosL- cos2a i = 1 cos2a44212）21兀所以 COS2cc=_.又a e （_,兀），2a （兀,2兀），因为 COS 2（x 0,32所以 2（X （, 2兀），因此sin 2a =-2反，23所以 sin 4a = 2 sin 2a cos 2a = -_【属性】高三,三角比,和差化积与积化和差，解答题,中,运算能力eg. c . u sin 2 3a【题目】证明：sma + sin3a + sin5a =.sina【解答】证明：略。【属性】高三三角比和差化积与积化和差解答题,难运算能力【题目】已知AABC的三个内角A, B, C满足：A+C=2B

7、,1 += -cos/4 cosC cos 8A-C求COS -2的值.【解答】+= -cos4 + cosC_ -J2由cos- cosC 嬴%，得 cos.osC 而初2 cos AC cog A-C4c r- cos A cosC22 _J2 cos =-V2 cos/Acos Ccos B ,1 22 cos 2 8 又 A+c二2B ,所以 B = cos 8=, cos cos(+ C) + cos(4 0)14 - c 2 所以 cos =2【属性】高三,三角比和差化积与积化和差,解答题难,运算能力【题目】把）sin20+cos乙-20）-sin_sin（；+20）化简所得结果等

8、于231212【解答】sin 2。【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，解答题,中，运算能力题目计算sin10+cos70 0sm80 + cos 20【解答】2-百【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题,中运算能力【题目】化简：cos(120 +0)cos(120 -0) +cos(120 +0)cos0 +cos0cos(12Q_o)【解答】-24【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题,中，运算能力【题目】在4BC中，a、b、c分别是NA、N8、NC所对的边，= 求sin B的值.【解答】解：a = 2F?sin A, b = 2/?sin B , c = 2F?s

9、inC ,sin/4+sinC=2sin8 2sincos A- C = 2-2sin 8cos8所以， 2222cos A- C= 2sinsir)B=1 cos= x/15得 F一,222 424所以sin8 =照.8【例题解析】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题,易,运算能力71 5k【题目】旌：(1)计算Sincos_=1212(2)若 cosa=3,且 a Jo,71,则 tg0 =5 I 2)2 函数y = sin(x-w)cosx的最小值等于71(4)函数y=cosx+cos(x+3)的最大值等于.o 1(5)己知tan_ = _,则sine+cosO =2 2fi

10、SSJ (1) 2-百； _；三；(4)吏;(5)二4245【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差,解答题中，运算能力兀7T【题目】求函数），=2cos（x +二）cos（x_）+产sin 2工的值域和最小正周期.44”兀7T7T【解答】 因为 2cos(x+_)cos(x= ) = cos2x + cqs , 442所以y = cos2x + j5sin21x = 2sin(2x+,所以 y w -2,2，T=_=k .【属性】高三三角比和差化积与积化和差,解答题易运算能力3xjc .【题目】证明：tan-tan = 2sinx22 cosx + cos2x【解答】证明：略。【属性】高三三

11、角比,和差化积与积化和差解答题,中,运算能力【题目】 设史。2兀,cos(a + p)cosp+sin(a + p)sinp =,求tan(2-，234 7的值.co4a 兀(2)已知sin(a-B) = _,cosP = _ (其中%。为锐角)，求cot(_+_)的值8552 Z3兀【解答a271 , 所以sina =3兀【解答a-cos(/4+8)-cos(4-8)=424由 NC = 60 得，4+8=180 60 =120,所以 cos(4-8)=1 即：A = B ,三角形ABC为等边三角形。【课堂反馈】【属性】高三,三角比和差化积与积化和差,填空题易运算能力【题目】计算8s20-C

12、OS4。sin20 +sin40 的值等于.【解答】书【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易,运算能力24【题目】已知a是第三象限角，且sina = -则tan二等于.25 万 .4【解答】-3【属性】高三三角比,和差化积与积化和差解答题,中,运算能力【题目】化简:4sin(60-G) .sinG sin(60 +9).【解答】sin3o【属性】高三，三角比和差化积与积化和差，解答题中,运算能力【题目】已知a + P二巴,aNO,pNO,求=$而。5而。的最大值与最小值。3【解答当a=_时，y =:;当a = 0时，y =0。 3 max 4min【课堂小结】.半角的正弦、余弦和

13、正切公式前面的士号不表示有两解，表示符号不确定，需要选择；1 .万能公式的作用是将异名三角比，转化为同名三角比，将三角比转化为代数问题来解决；. “异角化同角”、“复角化单角”、“异名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解决三角 问题常用的思想方法；2 .形如sina sin P；cos a cos P;sin a sin p;cosa cos P 的三角比计算式，习惯上当aP为常数时，可以尝试用和差化积或积化和差公式来解决问题。【课后作业】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易运算能力【题目】计算sin _cos，的值等于-8【解答】-L立 24【属性】高三，三角比和差化积与

14、积化和差，解答题易运算能力【题目】函数/G)=si，x+ sin的最小正周期是.I 7 7【解答】冗。【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，填空题易，运算能力【题目】已知0a兀，化简E-cosa-二.【解答】2sin(-l)2 4【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题中，运算能力7117T【题目】已知cos(a+_),求sinasin(a+_)的值.-643解答】sina - sin(a + ) = -1cos(2a + 兀)一 cos(-7c J = 1 cos(2a + 穴)+3233 I 23 4又cos(a+1) = 1, cos(为 +1) =2cos2G +l)-1=

15、-_,64368./ 兀、11所以 sma-sm(a +_)=_ .316【属性】高三，三角比和差化积与积化和差，解答题中,运算能力【题目】己知函数f(x) = tanx,，且x,x0： x工x ,求证:2)1 2 2J 12x +x 1fU_L)f(X)+f(X )。2212【解答】证明:略。【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，填空题，难,运算能力【题目】 已知cosa-cos P =J , sina-sin p = 1 ,求sin(a + P)的值。 23，X得,【解答】 因为cosa-cos|3= ,sina-sinp =23J_(sin2a + sin2P) -sin(a + p

16、)=2 , BP sin(a + p)tcos(a - P) -1 =J , 266131236132+2得，2-2cos(a-p)=_,所以sin(a + (3)=-.【题目资源】【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力. 兀K1【题目】若sin(x-_)cos(x-_) = -_,则cos4x= 444【解答】 【属性】高三，三角比,和差化积与积化和差，填空题易，运算能力【题目】如果cosa _acot g00(B) tan _2cot go e(C) tan 2-cos 200(D) sin _2cos 200(E) sin 2- + C0S2 50。+ COS2 70：1 + cos20 + 1 +cos100 +1 +cos140 2cos80 ,cos 60 + cos 100原式=2二2sin10-sinlO， 3+ _ += _2 = 222 ,【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题,中，运算能力【题目】如果。+。= 2兀q waw，则函数丫= sina cos 0的最大值等于32