线性代数公式大全_最新修订(突击必备).pdf
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1、 .下载可编辑.线性代数公式大全 1、行列式 1.n行列式共有2n个元素,展开后有!n项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:、ijA和ija的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:(1)(1)ijijijijijijMAAM 4.行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n;、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;、和:副对角元素的乘积(1)2(1)n n;、拉普拉斯展开式:AOACA BCBOB、(1)m nCA
2、OAA BBOBC 、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;5.对于n阶行列式A,恒有:1(1)nnkn kkkEAS,其中kS为k阶主子式;6.证明0A 的方法:、AA;、反证法;、构造齐次方程组0Ax,证明其有非零解;、利用秩,证明()r An;、证明 0 是其特征值;2、矩阵 1.A是n阶可逆矩阵:0A(是非奇异矩阵);()r An(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组0Ax 有非零解;nbR,Axb总有唯一解;.下载可编辑.A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为 0;TA A是正定矩阵;A的行(列)向量组是nR的一组基;A是nR中某两组基的
3、过渡矩阵;2.对于n阶矩阵A:*AAA AA E 无条件恒成立;3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABB A 4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:若12sAAAA,则:、12sAAAA;、111121sAAAA;、111AOAOOBOB;(主对角分块)、111OAOBBOAO;(副对角分块)、11111ACAA CBOBOB;(拉普拉斯)、11111AOAOCBB CAB;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.一个mn矩阵A,总可经过初等
4、变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEOFOO;等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若()()r Ar BAB;2.行最简形矩阵:.下载可编辑.、只能通过初等行变换获得;、每行首个非 0 元素必须为 1;、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、若(,)(,)rA EE X ,则A可逆,且1XA;、对矩阵(,)A B做初等行变化,当A变为E时,B就变成1A B,即:1(,)(,)cA BE A B;、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax
5、b,如果(,)(,)rA bE x,则A可逆,且1xA b;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、12n,左乘矩阵A,i乘A的各行元素;右乘,i乘A的各列元素;、对调两行或两列,符号(,)E i j,且1(,)(,)E i jE i j,例如:1111111;、倍 乘 某 行 或 某 列,符 号()E i k,且11()()E i kE ik,例 如:1111(0)11kkk;、倍 加 某 行 或 某 列,符 号()E ij k,且1()()E ij kE ijk,如:11111(0)11kkk;5.矩阵秩的基本性质:、
6、0()min(,)m nr Am n;、()()Tr Ar A;、若AB,则()()r Ar B;、若P、Q可逆,则()()()()r Ar PAr AQr PAQ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩).下载可编辑.、max(),()(,)()()r A r Br A Br Ar B;()、()()()r ABr Ar B;()、()min(),()r ABr A r B;()、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且0AB,则:()、B的列向量全部是齐次方程组0AX 解(转置运算后的结论);、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵,则()()()r ABr Ar Bn;6.三种特殊矩阵的方幂:、秩为
7、1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如101001acb的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b;注:、()nab展开后有1n项;、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质:11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC;、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An;、伴随矩阵的特征值:*1*
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