第二学期期末高数(下)考试试卷及答案.pdf

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1、第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 1 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.设 220txF xe dt，则 Fx22xxe.2.曲面sincoszxy在点,14 4 2 处 的切平面方程是210 xyz.3.交换累次积分的次序：,12330010 xdyf x y dxdyf x y dx,2302xxdxf x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式：DLQPdxdyPdxQdyxy 成立的充分条件是：,和在D上具有一阶连续偏导数P x yQ x y.其中L 是 D 的取正向曲线;5.级数1113nnnn的收敛域是,3 3.二、单项选择题(每小题

2、3 分,共 15 分)1.当 0 x，0y时,函数2423x yxy的极限是 D A.等于0;B.等于13;C.等于14;D.不存在.2.函数,zf x y在点,00 xy处具有偏导数,00 xfxy，,00yfxy是函数在该点可微分的 C A.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D.既非充分又非必要条件.3.设cossinxzeyxy，则10 xydz B A.e;B.e dxdy;C.1edxdy;D.xedxdy.4.若级数11nnnax在 1x处收敛,则此级数在 2x处 A A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程3691xyyyxe的

3、特解y应设为 D A.3xae;B.3xaxb e;C.3xx axb e;D.23xxaxb e.三.（8 分）设一平面通过点,3 12,而且通过 直线43521xyz,求该平面方程.解：,3 1243 0AB ,14 2AB平行该平面 该平面的法向量 ,5 2 114 28922n 所求的平面方程为：83912220 xyz 即：8922590 xyz 四.（8 分）设,yzfxy e,其中,f u v具有二阶连续偏导数,试求zx和 2zx y.解：令uxy，yve uzyfx 2yuuuuuvzyffy xfe fx yy 五.（8 分）计算对弧长的曲线积分22xyLeds 其中L是圆周

4、222xyR与直线,00 xy 在第一象限所围区域的边界.解：123LLLL 其中：1L：,22200 xyRxy 2L：0 0 xyR 3L：0 0yxR 22222222123xyxyxyxyLLLLedsedsedseds 而Re221202xyRRLedse Rdt 22201RxyyRLedse dye 22301RxyxRLedse dxe 故：Re22212xyRRLedse 六、（8 分）计算对面积的曲面积分423zxy dS,其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分.解：xyD：023032xyx 226113xyzz 4612433xyDzxy dSdxdy 323200

5、4614 613xdxdy,七.（8 分）将函数 2143fxxx,展开成x的幂级数.解：11111112 132 1613f xxxxx,而 011112 12nnnxx,1 1 01116313nnnnxx,3 3 10111123nnnnf xx,1 1 八.（8 分）求微分方程：42322253330 xxyydxx yxyydy的通解.解：263PQxyyyx,原方程为：()4223225333x dxy dyxyydxx yxydy 532231332dxdydx yy x 5322313032d xyx yy x 通解为：532231332xyx yy xC 九.幂级数：!246

6、212462nxxxxy xn ,x 1.试写出 y xyx的和函数;（4 分）2.利用第1 问的结果求幂级数!202nnxn的和函数.（8 分）解：1、!35213521nxxxyxxn ,于是 !23123xxxy xyxxe ,2、令：!202nnxS xn 由 1 知：xSxS xe 且满足：01S 通解：12xxxxxS xeCe e dxCee 由 01S，得：12C；故：12xxS xee 十.设函数 f t在,0上连续,且满足条件 222111tf tfxydvtt 其中t是由曲线 20ztyx,绕z轴旋转一周而成的曲面 与平面zt(参数 0t)所围成的空间区域。1、将三重积分

7、22tfxy dv写成累次积分的形式;（3 分）2、试求函数 f t的表达式.（7 分）解：1、旋转曲面方程为：22zt xy 由22zt xyzt，得：221xy 故t在xoy面的投影区域为：xyD：221xy 2212200tttfxydvddfdz 2、由 1 得：120211211f ttfdtt 12021211tfdtt 记：1201Afd 则：2121f ttAtt 两边乘以：21tt，再在,0 1 上积分得：11222004121415At dtAttdtA 解得：1544A 故：2115221f tttt 第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 2 三、填空题(每空 3 分，共

8、 15 分)1.曲线 20zyx，绕z轴旋转一周所得到的 旋转曲面的方程是 221zxy.2.曲线2111xyzy在点,12 12处 的法平面方程是281610 xyz.3.设22zfxy,其中 f u具有二阶连续导数,且 13f，12f,则2210 xyzx14.4.级数121nnnn，当满足不等式12时收敛.5.级数112nnnxn的收敛域是,1 3.四、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.设a与b为非零向量,则0ab是 A A./ab的充要条件;B.ab的充要条件;C.ab的充要条件;D./ab的必要但非充分条件.2.平面3360 xy的位置是 B A.垂直于z轴;B.平行于z

9、轴;C.平行于xoy面;D.通过z轴.3.设函数,0010当时当时xyf x yxy，则下列说法正确的是 C A.lim,00 xyf x y存在且,f x y在点,0 0处的 两个偏导数也存在;B.lim,00 xyf x y存在但,f x y在点,0 0处的 两个偏导数不存在;C.lim,00 xyf x y不存在但,f x y在点,0 0处的 两个偏导数存在;D.lim,00 xyf x y不存在且,f x y在点,0 0处的 两个偏导数也不存在;4.曲线L为圆周cossin33xtyt 02t,则22nLxyds等于 A A.2123n;B.19n;C.63n;D.211321nn.5

10、.设正项级数1nnu收敛，则必有 D A.lim11nnnuu;B.lim1nnnu;C.lim 0nnuc;D.lim 0nnu.三.（8 分）在平面1xyz上求一直线，使得它与直线 11yz 垂直相交。解：方法1：直线 11yz的方向向量为,1 0 0 它与平面1xyz的交点为,1 11 所求直线通过这一点，所求直线的方向向量为：,1 1 11 0 00 11S 故所求的直线方程为：111011xyz 方法2：直线 11yz的方向向量为,1 0 0 它与平面1xyz的交点为,1 11 所求直线通过这一点，过交点,1 11且与直线 11yz垂直的平面方程为：101010 xyz 即：1x 故

11、所求的直线方程为：11xyzx 或：01yzx 四.（8 分）设(,)zz x y是由方程 330zxzy 所确定的隐函数,求:01xyzx，01xyzy和201xyzx y，解：设,32F x y zzxzy，则：2xFz，1yF，232zFzx，当 0 x，1y时 1z，()2001122332xxyyzzxzx，()2001111332xxyyzyzx，()()22230011642932xxyyzzxx yzx，五.（8 分）计算曲线积分2221yyLxedxx ey dy 其中L为从,0 0O经2224xy的上半圆到,2 2A的一弧段。解：由 22yPQxeyx 知与路经无关。取,2

12、 0B，作新路经OBA折线，于是：2221yyLxedxx ey dy 2220014yOBBAx dxey dy 444242ee 六、（8 分）利用高斯公式计算曲面积分222xz dydzx ydzdxy zdxdy,其中为球面：2222xyza的上半部分的上侧.解：作 0：0z 取下侧.则222xz dydzx ydzdxy zdxdy00 而 0222zxydv sin2225200025addr rdra 00 故：222xz dydzx ydzdxy zdxdy00525a 七.（8 分）将函数 2143fxxx,展开成1x的幂级数.解：1112 13f xxx 11114 18

13、124xx 而：011111424 12nnnnxx 13x 011111848 14nnnnxx 35x 2230111122nnnnnf xx 13x 八.（8 分）求微分方程：4xyyxe的通解.解：21210.1,1.rrr 12.xxYC eC e 1是特征方程的单根,所以设*.xyx AxB e 代入原方程得:1,1.*1.xAByx xe 故原方程的通解为:212.xxxyC eC exx e 九.（12 分）求由曲面22zxy和226zxy 所围成立体的体积.解：222260202xyxyzxyD 222600323Vdvdddz 十.（10 分）设 yf x是第一象限内连接点

14、,0 1A，,1 0B的一段连续曲线，,M x y为该曲线上任意 一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为 6163x。试建立 f x所满足的微分方程，并求 f x 的表达式。解：梯形OCMA的面积为：112xf x 曲边三角形CBM的面积为：1xft dt 根据题意得：31111263xxxf xf t dt 两边关于x求导得：21111222f xxfxf xx 即：211xfxf xxx 故：112211dxdxxxxf xeedxCxCxx 由：10f，得：2C，故：21f xx 第二学期高数（下）期末考试试卷及答案 3 一、填空题

15、(每空 3 分，共 15 分)1.已知向量1,1,4a,3,4,0b,则以a,b 为边的平行四边形的面积等于449.2.曲面sincoszxy在点1,4 4 2 处 的切平面方程是210 xyz.3.交换积分次序220,xdxfx y dy 200,ydyfx y dx.4.对于级数11nna（a 0），当a 满足条件1a 时收敛.5.函数12yx展开成x的幂级数 为10222nnnxx.二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.平面20 xz的位置是（A ）（A）通过y轴 （B）通过x轴 （C）垂直于y轴 （D）平行于xoz平面 2.函数,zfx y在点00,xy处具有偏导数 00,

16、xfxy，00,yfxy,是函数在该点可微分的 （C ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 3.设cossinxzeyxy，则10 xydz（B ）（A）e （B）()e dxdy（C）1()edxdy （D）()xedxdy 4.若级数11nnnax在1x 处收敛，则此级数在2x 处（D ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛 5.微分方程yxyx的通解是（D）（A）2121xye （B）2121xye（C）212xyCe （D）2121xyCe 三、(本题满分 8 分)设平面通过点3,1,2，而且通过直线 43

17、521xyz，求该平面方程 解:由于平面通过点3,1,2A及直线上的点4,3,0B，因而向量1,4,2AB平行于该平面。该平面的法向量为:(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).n 则平面方程为:8(4)9(3)22(0)0.xyz 或：8(3)9(1)22(2)0.xyz 即：8922590.xyz 四、(本题满分 8 分)设,zfxy xy，其中,fu v具有二阶连续偏导数，试求zx和2zx y 解:12zf yfx,212zf yfx yy 1 11 212 12 2fxfyffxf 1 11 212 2xyfxyfff 五、(本题满分 8 分)计算三重积分yzdxdydz，其中,

18、01,11,12x y zxyz 解:2211201111 232zzdxdydzdxdyzdz 六、(本题满分 8 分)计算对弧长的曲线积分22xyLeds，其中L 是圆周222xyR在第一象限的部分 解法一:22xyLeds 2200Re arcsinRe2RRRRRRxedxRRx 解法二:22xyLeds RRLe dseL（L的弧长）Re2R 解法三:令cosxR，sinyR，02，22xyLeds 20Re2RRe Rd 七、(本题满分 9 分)计算曲面积分3xdydzzdzdxdxdy，其中是柱面 221xy与平面0z 和1z 所围成的边界曲面外侧 解:Px,Qz,3R,由高斯公

19、式：3xdydzzdzdxdxdy PQRdvdvxyz 八、(本 题 满 分 9 分)求幂级数11nnnx的收敛域及和函数 解:收敛半径：1lim1nnnaRa 易判断当1x 时，原级数发散。于是收敛域为1,1 1211111nnnnxs xnxxxx 九、(本题满分 9 分)求微分方程4xyye的通解 解:特征方程为：240r 特征根为：2r,2r 40yy的通解为：2212xxYC eC e 设原方程的一个特解为：xyAe,4xxAA ee 31A 13A 原方程的一个特解为：13xye 故原方程的一个通解为：221213xxxyYyC eC ee 十、(本题满分 11 分)设L是上半平

20、面0y 内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2，终点为2,3，记2221LxIxydxx ydyyy 1证明曲线积分I与路径L无关；2求I的值 证明1:因为上半平面G是单连通域，在G内：21,P x yxyy，22,xQ x yx yy 有连续偏导数，且：212Pxyyy，212Qxyxy，PQyx。所以曲线积分I与路径L无关。解 2:设1,2A，2,3B，2,2C，由于曲线积分I与 路径L无关，故可取折线路径：ACB。2221LxIxydxx ydyyy 2221ACxxydxx ydyyy 2221CBxxydxx ydyyy 2321212974426xdxydyy 东北大学高等数学(下)

21、期末考试试卷 2007.7.一选择题(4 分6=24 分)1、设cba,为非零向量，则cba)(=(A)(cba(B)cab)(C)(bac (D)(abc.2),(),(),(),(0000处在可微分的充分条件是在点函数yxyxfyxyxfz 两个偏导数连续)(A 两 个 偏 导 数 存 在)(B 数存在任何方向的方向导)(C 函数连续且存在偏导)D(3设xyxD2:22，),(yxf在D上连续 dyxfD),(=(A)rdrrrfdsin200)sin,cos(B)rdrrrfdcos2020)sin,cos(C)rdrrrfdcos2022)sin,cos(D)rdrrrfdsin202

22、2)sin,cos(4 若级数1nnu与1nnv都发散，则必有 (A)(1nnnvu 发散 (B)(1nnnvu 发散 (C)(212nnnvu 收敛 (D)(1nnnvu 收敛 二、填空题(4 分6=24 分)1 直线31221zyx与平面062zyx的交点是_ 2用钢板做体积为38m的有盖长方体水箱最少用料S=_2m 3二次积分1102xydyedx的值是_ 4设为球面)0(2222aazyx，则dSyx2)(=_ 5小山高度为2225yxz在)43,1,23(处登山，最陡方向是_ 6 设)(xf为 周 期 为2的 周 期 函 数，它 在),的 表 达 式 为xxxxf0,0,1)(，若)

23、(xf的傅立叶级数的和函数为)(xs，则)2()(ss=_ 三、（10 分）求 过 点)3,2,1(垂 直 于 直 线654zyx而 与 平 面010987zyx的平行的直线方程 四（10 分）将函数341)(2xxxf展开成(x1)的幂级数并给出收敛域。五（10 分）计算三重积分dvxyx)(22 其中是由抛物面x2y22z及平面z5 所围成的空间闭区域 六（10 分）设 L 是由直线22yx上从)0,2(A到)1,0(B一段及圆弧21yx上从)1,0(B再到)0,1(C的有向曲线，计算Lydyyexdxyx)3()2(2 七（10 分）计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx333，其中

24、为球面)0(2222aazzyx 八（10 分）设),(22zyxfu，f具有二阶连续偏导数，而),(yxzz 由方程zezyx确定，求yxu2。高等数学参考答案 2007.7 一选择题（本题共4 小题，每小题4 分，共计16 分）1、【解】应选择D。)(abc=)(bac=)()(cba=cba)(2【解】应选择A。),(),(yxfyxfyx),(000yxP在点连续)y,x(P)y,x(fz000在点处可微分 3。【解】应选择C。在极坐标下 cos20,22:rD dyxfD),(=rdrrrfdcos2022)sin,cos(4。【解】应选择B。二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分

25、，共计24 分）1【解】应填)3,1,1(直线化为参数式 tztytx3221 代入平面方程 06)3(2)2()21(ttt 得 1t 代入参数方程得 3,1,1zyx 故交点为 )3,1,1(2【解】应填242m 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为xy8m 此水箱所用材料的面积为)0,0()88(2)88(2yxyxxyxyxxyyxyS 令0)8(22xySx 0)8(22yxSy 得 x2 y2 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为2228m 时 水箱所用的材料最省 最少用料为 24)222222(2)2,2(2mS 3【解】应填)11(21e 1102xydyedx=yydxdye

26、0102=102dyyey=10221 ye=)11(21e 4【解】应填438a dSyx2)(=dSxyyx)2(22=dSx22=dSzyx)(32222=dSa232=438a 5【解】应填ji43 在)43,1,23(处登山，最陡方向是2225yxz在)1,23(的梯度方向)1,23()42()1,23(jyixgradz=ji43 6【解】应填21 由于x是)(xf间断点，故21)(s，而2x是)(xf连续点，2)2(s 于是)2()(ss=21 三【解】已 知 直 线 方 向 向 量)6,5,4(1s，已 知 平 面 法 向 量)9,8,7(n（4 分）设所求直线方向向量s，则

27、k3j6i 3987654kji1nss .（8 分）所求直线方程为 132211zyx（10 分）四【解】因为 )3(21)1(21)3)(1(1341)(2xxxxxxxf （2分）)411(81)211(41xx （4 分）004)1()1(812)1()1(41nnnnnnnnxx（6 分）0322)1)(2121()1(nnnnnx （8 分）收敛域满足1 41-1 21-xx且（9 分）解出收敛域为：），（31（10 分）五 【解】积分区域 关于yoz面对称，0 xdv 在柱面坐标下积分区域可表示为 20 100 r 522 zr（2 分）d vxyx)(22dzrdrdr2（4分

28、）5211003202rdzdrrd（6 分）10053)215(2drrr（8 分）10064121452rr3250（10 分）六【解】补充CA为 x 轴上由)0,1(C到)0,2(A有向直线段则 L 和CA围成闭区域 D （2 分）yyexQyxP3,22。5)2(3yPxQ。（4 分）则由 Green 公式 原式CACAL CADdxdy5（6 分）212)21214(5dxx.（8 分）3)14(5245.（10 分）七【解】由 Gauss 公式 原式dvzyx)(3222 .（2 分）dd r drrs i n322 （4 分）2020c o s204s i n3adrrdd（6 分）2055sincos5)2(6da（8 分）615)2(65a5532a（10 分）八【解】由方程zezyx两边关于x求导得 xzexzz1 （2 分）zexz11 类似地，有zeyz11（4 分）xzfxfxu 212zefxf 11221（7 分）)112(1111)1(1)112(222212212112zzzzzzefyfefeeeefyfxyxu 232221211)1()1(11)(24feefefeyxfxyzzzz （10分）