个体的风险态度.ppt

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1、杜晓蓉杜晓蓉金融工程系金融工程系 第第2 2章章 个体的个体的风险态度度一、风险态度一、风险态度 （一）问题的提出（一）问题的提出 经济行为主体对待风险的态度存在着差异。一些人爱经济行为主体对待风险的态度存在着差异。一些人爱好风险，一些人觉得风险无所谓，一些人则是风险厌恶者。好风险，一些人觉得风险无所谓，一些人则是风险厌恶者。例如例如:有有一个掷硬币的赌局，正面朝上可以赢一个掷硬币的赌局，正面朝上可以赢2000元，元，反面朝上反面朝上1分钱也没有。现在入局费为多分钱也没有。现在入局费为多少，才能使这场少，才能使这场赌博为一场公平的赌博？赌博为一场公平的赌博？（二）公平博彩（二）公平博彩（fai

2、r game)公平博彩公平博彩:不改不改变变个体当前期望收益的个体当前期望收益的赌赌局，如一局，如一个博彩的随机收益个博彩的随机收益为为 ，其期望收益，其期望收益为为 ，我，我们们就称其就称其为为公平博彩。公平博彩。注：注：既然是博彩，通常既然是博彩，通常隐隐含地假含地假设设其收益的方差大其收益的方差大于零，即其收益不会是确定于零，即其收益不会是确定值值零。零。或者公平博彩是指一个博彩或者公平博彩是指一个博彩结结果的果的预预期收益只期收益只应应当当和入局和入局费费相等的博彩。相等的博彩。一、一、风险态度度一、风险态度一、风险态度 假定一个公平博彩有两种可能的假定一个公平博彩有两种可能的结结果，

3、以果，以p的概率的概率获获得正的收益得正的收益z1，或者以（，或者以（1p）的概率）的概率获获得得负负的收益的收益z2。由于是一个公平的博彩，所以：由于是一个公平的博彩，所以：因此所谓公平赌博：因此所谓公平赌博：l 某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变得公平。得公平。l 或公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有或公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等。的资金量相等。思考：思考：有这样一个赌局：抛一次硬币，正面朝上有这样一个赌局：

4、抛一次硬币，正面朝上你能得到你能得到200200元，否则你什么都得不到。如果参加的本金元，否则你什么都得不到。如果参加的本金分别为分别为100100，5050，0 0，判断是否为公平博彩？，判断是否为公平博彩？一、一、风险态度度一、风险态度一、风险态度 （三）风险态度的描述（三）风险态度的描述 对对于一个具有效用函数于一个具有效用函数u(x)，初始，初始财财富富为为 的的经济经济行行为为主体，如果他不参加博彩行主体，如果他不参加博彩行为为，那么他的消，那么他的消费费效用效用值为值为 。如果他参加博彩，。如果他参加博彩，则则他有他有p的概率的概率获获得得 ，（，（1p）的概率）的概率获获得得 。

5、这样这样他的他的期望期望效用效用值为值为：比比较投投资者者对二者之二者之间的的态度，可以判断投度，可以判断投资者的者的风险态度度确定性等价确定性等价一、风险态度一、风险态度 1、风险厌恶风险厌恶(risk aversion)如果一个经济行为主体不愿意接受这样的公平博如果一个经济行为主体不愿意接受这样的公平博彩，我们把他称为彩，我们把他称为风险厌恶者风险厌恶者，对于一个风险厌恶者，对于一个风险厌恶者来说，我们有：来说，我们有：即：即：一、风险态度一、风险态度 这一特性意味着风险厌恶的经济行为主体的效用函数是这一特性意味着风险厌恶的经济行为主体的效用函数是一个一个凹函数凹函数：uE(W)Eu(W)

6、定义：定义：对于函数对于函数u()，如果，如果 和和 ，则我们称则我们称u()为凹的。为凹的。思考：思考：效用函数效用函数为为凹的凹的经济经济含含义义？lu()：消：消费费的直接效用的直接效用lu()：消：消费费的的边际边际效用效用 偏好的偏好的单调单调性要求性要求u()0lu()：消：消费边际费边际效用的效用的边际边际效用效用(风险态风险态度）度）偏好的凸性要求偏好的凸性要求u()0一、一、风险态度度l个个体体风风险险厌厌恶恶：个个体体不不愿愿意意接接受受或或至至多多无无差差异异于于任任何何公平的赌博。公平的赌博。l个体严格风险厌恶个体严格风险厌恶：个体不乐意接受任何公平的赌博：个体不乐意接

7、受任何公平的赌博 定理定理 效用函数的凹性对应着个体风险厌恶；效用函数的凹性对应着个体风险厌恶；效用函效用函数数的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。一、一、风险态度度 U(x)xABC风险厌恶者的效用函数者的效用函数一、风险态度一、风险态度 2、风险偏好风险偏好（risk preference）如果一个如果一个经济经济行行为为主体愿意接受主体愿意接受这样这样的公平博彩，我的公平博彩，我们们把他称把他称为为风险爱好者风险爱好者，对对于一个于一个风险爱风险爱好者来好者来说说，我，我们们有：有：即：即：这这一特性意味着一特性意味着风险爱风险爱好者的效用函数是一个好者的

8、效用函数是一个凸函数凸函数:uE(W)Eu(W)一、风险态度一、风险态度 问题：问题：“风险偏好就是愿冒大险而获得较小的收益风险偏好就是愿冒大险而获得较小的收益”。这一说。这一说法正确吗？法正确吗？一、风险态度一、风险态度 3、风险中性风险中性（risk neutral）如果一个如果一个经济经济行行为为主体主体认为认为是否接受是否接受这样这样的公平博彩，的公平博彩，没有什么区没有什么区别别，我，我们们把他称把他称为为风险中性者风险中性者，对对于一个于一个风险风险中性者来中性者来说说，我我们们可以有：可以有：即：即：这类这类决策者的效用函数是决策者的效用函数是直线直线：u(E(W)=E(u(W)

9、。三种风险态度的效用函数图示：三种风险态度的效用函数图示：风险厌恶风险爱好风险中性UX一、风险态度一、风险态度 练习题：练习题：如如果果某某投投资资者者期期望望效效用用函函数数u u（x)x)是是连连续续单单调调函函数数，曲线上有三个点：曲线上有三个点：a a1 1=10=10元，元，a a2 2=4=4元，元，a a3 3=-2=-2。对应纵坐标为：。对应纵坐标为：u(a u(a1 1)=u(10)=1)=u(10)=1 u(a u(a2 2)=u(4)=0.6)=u(4)=0.6 u(a u(a3 3)=u(-2)=0)=u(-2)=0 请问该投资者是怎样的风险态度？请问该投资者是怎样的风

10、险态度？一、风险态度一、风险态度 就是比就是比较较u（1/2（a1+a3）和）和u（a1）/2+u（a3）/2的大小：的大小：a2 =4=（a1+a3）/2=（10-2）/2=4 u（a1+a3）/2）=u（a2）=u（4）=0.6 u（a1）/2+u（a3）/2=1/2+0/2=0.5 所以：所以：u（1/2（a1+a3）u（a1）/2+u（a3）/2 可以判断：可以判断：预预期效用函数期效用函数u（x)是凹函数，是凹函数，该该投资者是风险投资者是风险厌恶的厌恶的。如果三个点是：如果三个点是：u(10)=1；u(4)=0.4；u（-2）=0.2 那么那么该该投投资资者又是怎者又是怎样样的的风

11、险态风险态度？度？二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 （一）（一）Markowtz风险风险溢价溢价 1、风险溢价风险溢价（risk premium）定义：定义：风险溢价风险溢价是是一个经济行为主体因承受风一个经济行为主体因承受风险而获得的收益补偿。或让一个经济行为主体避免承担风险而获得的收益补偿。或让一个经济行为主体避免承担风险而愿意放弃的投资收益。险而愿意放弃的投资收益。风险溢价风险溢价=风险证券的预期收益率风险证券的预期收益率-无风险证券的收益率无风险证券的收益率 =博彩行为的预期价值博彩行为的预期价值-确定性等价收益确定性等价收益二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 2、确定性等价确定

12、性等价（certainty equivalent）如果找到一个确定性情况下的利如果找到一个确定性情况下的利润润水平，水平，该该利利润润与有与有风险风险情况下的情况下的预预期效期效应应没有差异。决策者可以用没有差异。决策者可以用这这个确定个确定性的利性的利润润替代替代风险风险情况下的情况下的预预期利期利润润，以此来，以此来对对决策效果决策效果进进行判断，并根据决策行判断，并根据决策标标准准选择选择最最优优的决策。的决策。例如：例如：给给定定风险风险水平，水平，预预期利期利润润是是500元。决策者元。决策者认认为该为该利利润润与无与无风险时风险时的的300元是无差异的。元是无差异的。300元的无元

13、的无风险风险利利润润就是有就是有风险风险的的500元元预预期利期利润润的确定性等价的确定性等价 定义：定义：如果个体如果个体为为回避一回避一项项公平博彩而愿意放弃的收益公平博彩而愿意放弃的收益为为 ，则则我我们们有：有：这这里，里，为为公平博彩的随机收益（即公平博彩的随机收益（即报报酬的微小增量），酬的微小增量），w为为初始禀初始禀赋赋，被称之被称之为为马科维兹风险溢价马科维兹风险溢价（Markowitz risk premium）。其）。其值值越大表明越大表明经济经济主体主体风险厌恶风险厌恶的程度越的程度越高。高。为为确定性等价收益确定性等价收益。即确定性等价为决策者对于一项博彩行为的支付意

14、愿，即确定性等价为决策者对于一项博彩行为的支付意愿，实际上就是风险中性者对一项博彩行为的期望值。实际上就是风险中性者对一项博彩行为的期望值。二、二、风险厌恶的度量的度量 对对于于风险厌恶者风险厌恶者，CEE(g)风险风险溢价是溢价是负负的；的；对对于于风险中性者风险中性者，CE=E(g)风险风险溢价等于溢价等于零零。二、二、风险厌恶的度量的度量二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 对对于一个概率分布于一个概率分布F的不确定性收益的确定性等价的不确定性收益的确定性等价 CE 可以通可以通过过下式求得：下式求得：风险溢价则可以表示为：风险溢价则可以表示为：期望效用期望效用预期收益期收益二、风险厌恶

15、的度量二、风险厌恶的度量 例子：例子：某彩票有某彩票有赢赢或或输输两种可能性，两种可能性，赢则获赢则获得得900元，元，概率概率为为0.2；输则获输则获得得100元，概率元，概率为为0.8。消。消费费者的效用函者的效用函数形式数形式为为：。问问消消费费者愿意花多少者愿意花多少钱钱去去购买购买？风风险险溢价溢价为为多少？多少？解：解：u（CE）=0.2u(900)+0.8u(100)即：即：确定性等价确定性等价为为：CE=196元元,因此他因此他对该对该彩票的最高出价彩票的最高出价为为196元。元。风险溢价为：风险溢价为：二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 注：注：1、u（CE）=u（196）

16、=0.2u(900)+0.8u(100)，说说明什么？明什么？对该对该投投资资者而言，下面两个偏好无差异或效用相等，者而言，下面两个偏好无差异或效用相等，即两个即两个选择选择等价：等价：确定确定选择选择：100%获获得得196元；元；不确定不确定选择选择：20%获获得得900元元+80%获获得得100元元 2、如果、如果计计算得出的算得出的CE恰好等于恰好等于260，那么投，那么投资资者是者是哪种哪种风险态风险态度？度？如果如果 因此该投资者是风险中性因此该投资者是风险中性 二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 3、确定性等价和、确定性等价和风险风险溢价由什么决定？溢价由什么决定？两者都由投资

17、者的两者都由投资者的效用函数效用函数决定决定 ，风险厌恶；，风险厌恶；，风险中性；，风险中性；，风险偏好。，风险偏好。二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 练习题练习题1 1：假定某投假定某投资资者效用函数者效用函数为为u（w)=ln(w)。他想。他想购购买买一只股票，一只股票，预计预计净净赚赚h元和元和亏亏h元的可能性各占元的可能性各占50%，投，投资资者的初始禀者的初始禀赋为赋为w。求。求该项该项投投资资的的CE，判断是否投资，判断是否投资。解：解：因此因此该该投投资资者是者是风险厌恶风险厌恶的，将放弃的，将放弃这这个投个投资资二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 练习题练习题2 2：考考

18、虑虑一个投一个投资资者者购买购买保保险险的的问题问题。假。假定他的效用函数定他的效用函数为为u(w)=w0.5。其初始禀。其初始禀赋为赋为w0=90000元，元，一旦一旦发发生火灾其生火灾其损损失失为为h=80000元，元，发发生火灾的概率生火灾的概率为为a=5%。求投。求投资资者愿意支付的保者愿意支付的保险险价格价格R，以及保，以及保险险公司公司支付支付赔付赔付时时能能获获得的得的期望期望利利润润。解：解：投投资资者有两个者有两个选择选择：确定性：确定性：90000-R 不确定性：不确定性：95%*90000+5%*10000 u(w0-R)=95%*900000.5+5%*100000.5

19、 (90000-R)0.5=95%*900000.5+5%*100000.5 R=5900元元 二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 保保险险公司在投公司在投资资者支付保者支付保费时赔费时赔付金付金额额的期望的期望值为值为：ah=0.05*80000=4000元元 所以保所以保险险公司的公司的预预期利期利润为润为：5900-4000=1900元元 实际实际上上还还是求确定性等价是求确定性等价CE的的问题问题二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量对现实现象的解释对现实现象的解释1 1：名牌效应名牌效应 名牌产品：质量好意味着消费者购买该产品后预期收名牌产品：质量好意味着消费者购买该产品后预期收益大

20、，性能稳定和售后服务好又意味着消费者购买该产品益大，性能稳定和售后服务好又意味着消费者购买该产品后面临的风险小，因而保险费较低。后面临的风险小，因而保险费较低。对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由于不知名而让消费者感到购买它具有较高的风险，因而风于不知名而让消费者感到购买它具有较高的风险，因而风险金（风险溢价）较高。这说明购买非名牌产品之行为的险金（风险溢价）较高。这说明购买非名牌产品之行为的确定性等价的价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等确定性等价的价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较高的价

21、格。价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较高的价格。这就是所谓的名牌效应。这就是所谓的名牌效应。对现实现象的解释对现实现象的解释2 2：实行处罚制度，预防不法行为实行处罚制度，预防不法行为 社会治安社会治安应该应该以以预预防防为为主，而主，而实实行行处罚处罚制度是制度是预预防不法防不法行行为为的有效途径，可的有效途径，可为为社会社会节约节约大量的管理成本。那么，大量的管理成本。那么，处处罚罚金定金定为为多少才合适呢？一般来多少才合适呢？一般来说说，人，人们们越是越是厌恶风险厌恶风险，处处罚罚金也就越低。金也就越低。设设Law为为某一法律某一法律规规定。假定定。假定经济经济人人违违反反Law

22、时时，自己可，自己可得到价得到价值值 元的非法收入。元的非法收入。社会需要定出一个社会需要定出一个处罚处罚金金标标准准 ，并要确定出，并要确定出违违法者被法者被抓抓获获的概率的概率 ，使得按照，使得按照这这个个处罚标处罚标准准 和和这这个抓个抓获违获违法者法者的可能性的可能性 ，就可阻止不法行，就可阻止不法行为为的的发发生。生。二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 用用A表示表示违违反反Law的非法行的非法行为为，B表示不表示不违违反反Law的合法的合法行行为为。非法行。非法行为带为带有有风险风险，合法行，合法行为为没有没有风险风险。采取非法行采取非法行为为

23、A的非法收益的非法收益为为 元，被抓元，被抓获处获处以以 元元罚罚款的概率款的概率为为 。因此。因此,非法行非法行为为A的非法的非法预预期收益期收益为为：A的非法预期效用为：的非法预期效用为：当然，合法行为当然，合法行为B的非法预期收益的非法预期收益 和非法预期效用和非法预期效用 都为零。都为零。二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 只有当只有当时时 ，经济经济人才会去人才会去违违反反Law，因，因为这时为这时尽管尽管违违法有可能被逮住并法有可能被逮住并处处以以 元元罚罚款，但仍然能款，但仍然能够获够获得比得比合法行合法行为为更多的更多的满满足。可足。可见见，确定，确定 和和 的原的原则应则应

24、是是 ，即：，即：对对于于风险厌恶风险厌恶者及者及风险风险中立者来中立者来说说，所以，只要所以，只要 和和 使使 ,即即 ，就，就能保能保证证 ，从而保，从而保证风险厌恶证风险厌恶者和中立者都不去者和中立者都不去违违法。法。我我们们当中当中绝绝大多数人都是大多数人都是风险风险的的厌恶厌恶者或中立者，可者或中立者，可见见只要只要处罚处罚金定得不低于金定得不低于 ，就能有效地，就能有效地预预防防违违反反Law事件的事件的发发生。生。二二、风险厌恶的度量、风险厌恶的度量 （二二）Arrow-Pratt度量度量 定义定义 一个参与者参与公平博彩所要求的风险溢价为一个参与者参与公平博彩所要求的风险溢价为

25、 ，定义为：，定义为：即即 其中，其中，为现有财富水平；为现有财富水平；是随机变量，是对是随机变量，是对博彩结果的描述；博彩结果的描述；是风险溢价。是风险溢价。二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 对上式左右两侧分别作泰勒级数展开对上式左右两侧分别作泰勒级数展开:其中其中 表示表示 的高阶无穷小的高阶无穷小二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 整理得到整理得到 上式的上式的右边右边由两个部分构成：由两个部分构成：是体现是体现 个体偏好的因素，而个体偏好的因素，而 则是公平博彩随机收益则是公平博彩随机收益的方差，体现不确定性风险。的方差，体现不确定性风险。等式左边即风险溢价的大小决定了代表性投资

26、者的等式左边即风险溢价的大小决定了代表性投资者的风险厌恶程度大小。风险厌恶程度大小。对风险溢价的新解释：对于小风险而言，方差是对风险溢价的新解释：对于小风险而言，方差是风险大小的衡量。风险溢价与风险大小成正比，而比例风险大小的衡量。风险溢价与风险大小成正比，而比例系数反映了投资者的风险厌恶程度。系数反映了投资者的风险厌恶程度。注注：该式式0二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 1、风险厌恶的风险厌恶的Arrow-Pratt度量度量 考考虑虑每每单单位位绝对风险绝对风险的的风险风险溢价，定溢价，定义义绝对风险厌绝对风险厌恶恶（Arrow-Pratt absolute aversion）：）：用来

27、判断当个体在风险资产与无风险资产之间用来判断当个体在风险资产与无风险资产之间进行选择时，是否能像对待正常商品一样对待有风险资进行选择时，是否能像对待正常商品一样对待有风险资产产二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 绝对风险厌恶绝对风险厌恶定定义义了不确定性收益与了不确定性收益与初始财富初始财富无关无关时时候的候的厌厌恶恶大小：大小：l 递减绝对风险厌恶递减绝对风险厌恶(decreasing absolute risk aversion,DARA)：Ra 0（即（即dRa(w)/dw0。即随着。即随着财财富水平的提高，投富水平的提高，投资资者要求的者要求的风险风险溢价逐溢价逐渐渐增加，确定性等价

28、逐步下降，增加，确定性等价逐步下降，厌恶厌恶加深；加深；l 不变绝对风险厌恶不变绝对风险厌恶(constant absolute risk aversion,CARA)：Ra=0。风险厌恶风险厌恶程度没有随着程度没有随着财财富水平的富水平的变变化化而而变变化。化。定理定理 阿罗阿罗-普拉特定理普拉特定理:对于递减绝对风险厌恶者来说，随着个人财富的增对于递减绝对风险厌恶者来说，随着个人财富的增长，他对风险资产的投资也就越大（视风险资产为长，他对风险资产的投资也就越大（视风险资产为正常品正常品）；对于递增绝对风险厌恶者，随着个人财富的增加，对于递增绝对风险厌恶者，随着个人财富的增加，他对风险资产投

29、资反而减少（视风险资产为他对风险资产投资反而减少（视风险资产为劣质品劣质品）；对于常绝对风险厌恶者，他对风险资产投资与财富对于常绝对风险厌恶者，他对风险资产投资与财富无关。无关。二、二、风险厌恶的度量的度量 2、风险风险容忍系数（容忍系数（risk tolerance）定义定义:阿阿罗罗-普拉特普拉特绝对风险厌恶绝对风险厌恶系数的倒数系数的倒数为为个体的个体的风险风险容忍系数（容忍系数（risk tolerance），即），即 T（W）越大表示个体能）越大表示个体能够够容忍的容忍的风险风险越大，反之越大，反之则则相反。相反。二、二、风险厌恶的度量的度量二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 3、

30、相对风险厌恶、相对风险厌恶（relative risk aversion)考考虑虑投投资资者的者的风险态风险态度可能与其度可能与其总财总财富也有关系，定富也有关系，定义义相相对风险厌恶对风险厌恶为为：二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量证明：证明：对于考虑总财富为基数的赌博和风险溢价，有对于考虑总财富为基数的赌博和风险溢价，有令上式相等，并整理得到相对风险厌恶令上式相等，并整理得到相对风险厌恶二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 即在绝对风险厌恶系数等式两边除以初始财富即在绝对风险厌恶系数等式两边除以初始财富w有有 其中其中 ：公平博彩相对收益的方差，：公平博彩相对收益的方差，：相对风险厌恶系

31、数：相对风险厌恶系数 二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 递减相对风险厌恶递减相对风险厌恶（DRRA）：Rr0。即投资者的初期。即投资者的初期财富增加财富增加1%时，投资者在风险资产上投资增加的百分比时，投资者在风险资产上投资增加的百分比小于小于1%。二、风险厌恶的度量二、风险厌恶的度量 小结：小结：绝对风险厌恶的概念适用于那些结果表现为现有财富绝对风险厌恶的概念适用于那些结果表现为现有财富水平水平绝对增加或减少绝对增加或减少的风险项目；的风险项目；如果风险项目是现有财富的如果风险项目是现有财富的一定百分比增加或减少一定百分比增加或减少，则使用相对风险厌恶则使用相对风险厌恶 在微在微观观金融

32、分析中最常用的金融分析中最常用的、表示表示风险厌恶风险厌恶特征的效用函数，基本上都属于双曲特征的效用函数，基本上都属于双曲绝对风险厌绝对风险厌恶恶（hyperbolic absolute risk aversion，HARA）或者或者线线性性风险风险容忍容忍（linear risk tolerance LRT）函数族函数族三、三、风险厌恶的几个例子的几个例子三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 1、线性或风险中性效用函数线性或风险中性效用函数风险中性风险中性代表性投代表性投资者所具有的效用函数：资者所具有的效用函数：风险中性投资者对相同的预期支付给予同等风险评价风险中性投资者对相同的预

33、期支付给予同等风险评价 u(w)u(2)u(w)=w u(1)0 1 2 w三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 2、负指数效用函数负指数效用函数(negative exponential utility)并且：并且：负负指数效用函数具有指数效用函数具有常绝对风险厌恶常绝对风险厌恶(CARA)的特征，而的特征，而其其相对风险厌恶相对风险厌恶则则随着随着财财富的增加而增加富的增加而增加。u(w)0 w u(w)=-e-w -1三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 3、幂指数效用函数幂指数效用函数(power utility)：幂幂指数效用函数具有指数效用函数具有常相对风险厌恶常相

34、对风险厌恶(CRRA)的特征，的特征，而而绝对风险厌恶绝对风险厌恶随着随着财财富的增富的增长长而而递递减。减。三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 问题：问题：幂指数效用函数形式的风险产品是正常品还是劣质品？幂指数效用函数形式的风险产品是正常品还是劣质品？负指数效用函数呢？负指数效用函数呢？三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 4、二次效用函数二次效用函数（quadratic utility）：边际边际效用效用 必须大于零必须大于零，因此：，因此：二次效用函数在定二次效用函数在定义义域域 0，1/a内呈内呈现现递增绝对风险厌递增绝对风险厌恶恶，意味着投资者财富越多，他对风险越来

35、越不能容忍。，意味着投资者财富越多，他对风险越来越不能容忍。二次效用函数的图形，当其定义域在二次效用函数的图形，当其定义域在0,1/a之间，之间，即绝对风险厌恶递增区域时，该效用函数是均值方差即绝对风险厌恶递增区域时，该效用函数是均值方差分析的基础。分析的基础。效用财富1/a三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 5、对数效用函数对数效用函数(logarithmatic utility)：相当于相当于 时时的的幂幂指数效用函数的极限指数效用函数的极限 对对数效用函数也是数效用函数也是常相对风险厌恶常相对风险厌恶的效用函数，而的效用函数，而绝绝对风险厌恶对风险厌恶随着随着财财富的增富的增长

36、长而而递递减。减。三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 6、双曲双曲线绝对风险厌恶线绝对风险厌恶的效用函数（的效用函数（HARA）：）：从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现线性关系，故此类效用函数被称为线性风险容富呈现线性关系，故此类效用函数被称为线性风险容忍效用函数族。忍效用函数族。在上式中，当在上式中，当 r1 时时，个体的，个体的风险风险容忍系数随容忍系数随财财富的增加而减少；当富的增加而减少；当 r1 时时，个体的，个体的风险风险容忍系数随容忍系数随财财富的增加而增加。富的增加而增加。三、三、风险厌恶的几个例子的几个例子 另

37、外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为:为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对风险厌恶效用函数线绝对风险厌恶效用函数（HARA)。三、三、风险厌恶的几个例子的几个例子三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 (1)当当时时 ，可以得到，可以得到线线性效用函数：性效用函数：(2)当当时时 ，可以得到二次效用函数：，可以得到二次效用函数：三、风险厌恶的几个例子三、风险厌恶的几个例子 (3)当当 且且b=0时时，可以得到，可以得到负负指数效用函数：指数效用函数：(4)当当 且且b=0时时，可以得到，可以得到幂幂函数的效用函数：函数的效用函数：(5)当当 且且a=1,b=0时时，可以得到，可以得到对对数函数的效数函数的效用函数：用函数：