《高等数学教学资料》第四章不定积分.ppt

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1、第四章第四章不定积分不定积分例例定义：定义：一、原函数与不定一、原函数与不定积分的概念分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：言之：连续函数一定有原函数函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）任意常数）(2)若不唯一它若不唯一它们之之间有什么有什么联系？系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则（为任意常数）任意常数）证证（为任意常数）任意常数）任任意意常常数数积分分号号被被积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积表表达达式式积分分变量量例

2、例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例3 3 设曲曲线通通过点（点（1，2），且其上任一点），且其上任一点处的的切切线斜率等于斜率等于这点横坐点横坐标的两倍，求此曲的两倍，求此曲线方程方程.解解设曲曲线方程方程为根据根据题意知意知由曲由曲线通通过点（点（1，2）所求曲所求曲线方程方程为显然，求不定然，求不定积分得到一分得到一积分曲分曲线族族.由不定由不定积分的定分的定义，可知，可知结论：微分运算与求不定微分运算与求不定积分的运算是分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.实例实例启示启示能否根据求能否根据求导公式得出公式得出积分公式？分公式？结论结论既然既然积分运算和微分运算是互逆的，因分运算和微分

3、运算是互逆的，因此可以根据求此可以根据求导公式得出公式得出积分公式分公式.二、二、基本基本积分表分表基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：明：例例4 4 求求积分分解解根据根据积分公式（分公式（2）证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定不定积分的性分的性质例例5 5 求求积分分解解例例6 6 求求积分分解解例例7 7 求求积分分解解例例8 8 求求积分分解解说明：说明：以上几例中的被以上几例中的被积函数都需要函数都需要进行行恒等恒等变形，才能使用基本形，才能使用基本积分表分表.解解所求曲所求曲线方程方程为基本基本积分表分表(1)不定不定积分的性分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定不定积分的概念：分的概念：求微分与求求微分与求积分的互逆关系分的互逆关系四、四、小小结思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？内是否存在原函数？为什什么？么？思考题解答思考题解答不存在不存在.假假设有原函数有原函数故假故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一第一类间断点断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.练习题练习题练习题答案练习题答案