不定积分的计算(IV).ppt

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1、6.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深 不定积分的计算就是不定积分的计算就是已知一个函数已知一个函数求它求它的的原函数原函数的问题的问题.在实际计算时能用直接积在实际计算时能用直接积分方法解决的计算问题是很少的分方法解决的计算问题是很少的,大量的一大量的一般的不定积分计算问题需要通过进行适当般的不定积分计算问题需要通过进行适当的变换方法和一定技巧的变换方法和一定技巧,把问题把问题转化转化为能用为能用直接积分方法解决直接积分方法解决.本节介绍几种比较常用本节介绍几种比较常用的求不定积分的方法的求不定积分的方法.引言引言2/26/202316.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深

2、由浅入深一、一、“凑凑”微分法微分法例如：例如：形式上形式上“凑凑”成能由不成能由不定定积分公式求出的积分积分公式求出的积分!简单替换简单替换例例1:第一类换元法第一类换元法2/26/202326.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深“凑凑”微分法微分法:设法凑成设法凑成积分公式积分公式实质上是一种简单换元积分法实质上是一种简单换元积分法.例例1抽象概括为一般方法抽象概括为一般方法回代为回代为X表示表示认真认真体会体会2/26/202336.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例2.例例3.变换技巧可可以以作作为为公公式式关于绝对值关于绝对值化简整理化简整理2/26/

3、202346.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例4.例例5.公式凑!三角公式使用三角公式使用2/26/202356.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深二、换元积分法二、换元积分法例例6.变量代换第二类换元法2/26/202366.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深定理定理:则则证明：证明：2/26/202376.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例7.解：解：基本出发点是有理化基本出发点是有理化回代并化简整理回代并化简整理2/26/202386.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例8.解：解：变量关系借助于直角三角形

4、xta2/26/202396.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例9.解：解：例例10.解：解：观察被积函数形式决定变量代换观察被积函数形式决定变量代换2/26/2023106.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注：注：“凑凑”微分法与换元积分法比微分法与换元积分法比较较“凑凑”微分法微分法将函数替换为变量：将函数替换为变量：2/26/2023116.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深换元积分法换元积分法将变量替换为函数：将变量替换为函数：注：注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同结果在形

5、式上可能不相同.但是验证是否正确只要求导等于被积函数即可.2/26/2023126.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例如：例如：注：注：积分方法以积分方法以“化繁为简化繁为简”为目的为目的.作业作业:P279。1(双号双号)单号练习单号练习2/26/2023136.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深三、分部积分法三、分部积分法or作不定积分运算,即得or称之为称之为 分部积分公式分部积分公式.将被积函数u转换为v2/26/2023146.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注注1.积分不能直接求出，通过此公式进行转化积分不能直接求出，通过此公式进行转化

6、改写改写转化转化2/26/2023156.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深解：解：例例11.适当选择适当选择u 和和 v2/26/2023166.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例12.解：解：例例13.解：解：加题2/26/2023176.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例14.求求解：解：同法移项2/26/2023186.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例15.解：解：联立联立,解之得：解之得：方方法法特特殊殊观察可见二元方程组观察可见二元方程组对两个不定积分分别使用分部积分公式对两个不定积分分别使用分部积分公式2/26

7、/2023196.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注注2.类似的类似的,下列函数下列函数的不定积分常可用分部积分法求得.有时使用若干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成为求积分的方程式，解之可得所求积分；P266类型注注3.使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时应特别注意如下情形：2/26/2023206.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深 将不定积分视为一个数进行运算是错误的将不定积分视为一个数进行运算是错误的,不定积分不定积分 是原函数的集合是原函数的集合.此时此时,使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式使用分部积分公式还可得到一些有用的递推

8、公式,例如例如：降次降次2/26/2023216.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深 初等函数的导数仍是初等函数初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不但求不定积分却不那么简单那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示有些不定积分不能用初等函数来表示,是非初等函数是非初等函数,即即初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.作业作业:p281 2.（双）（双）.3（单）（单）2/26/2023226.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深（多项式）（多项式）四、有理函数积分法四、有理函数积分法1.代数的预备知识代数的预备知识 设设P(x)与与Q

9、(x)都是多项式都是多项式,则有理函数的一般形式是则有理函数的一般形式是例如：2/26/2023236.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023246.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深根据代数分项分式定理代数分项分式定理,有分项分式理论依据分项分式理论依据2/26/2023256.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深方法一方法一：方法二：方法二：使用使用“赋值法赋值法”简化对待定系数的求简化对待定系数的求解解.将将()式右端通分，得式右端通分，得（待定系数法）（待定系数法）2/26/2023266.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由

10、浅入深例例16.解：解：(方法一方法一)比较两端分子的同次幂系数比较两端分子的同次幂系数,得2/26/2023276.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深解：解：(方法二方法二)赋值赋值2/26/2023286.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2.有理函数的不定积分有理函数的不定积分重点前三种这里给出的是结果，具体推导方法如下：这里给出的是结果，具体推导方法如下：2/26/2023296.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023306.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深(循环)2/26/2023316.2.不定积分的计算不定积

11、分的计算由浅入深由浅入深（分分部部积积分分法法）2/26/2023326.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023336.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注注2.有理函数总存在初等函数的原函数有理函数总存在初等函数的原函数.注注1.例例16.解：解：注注3.基本思想就是把被积函数用部分分式法化为四种类型之一。基本思想就是把被积函数用部分分式法化为四种类型之一。2/26/2023346.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例17.求求 解：省略中间过程，解：省略中间过程，用待定系数法，得用待定系数法，得A=1，B=-1，C=1，代入原式代入

12、原式2/26/2023356.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例18.求求 解：解：作业作业:P281 42/26/2023366.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深五、其他类型的不定积分五、其他类型的不定积分（一）简单无理函数的不定积分（一）简单无理函数的不定积分基本原则：基本原则：简单无理函数简单无理函数变量替换变量替换有理函数有理函数符号符号 R(u,v)表示以表示以 u 和和 v 为为变量的有理函数变量的有理函数.2/26/2023376.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深积分积分有理化有理化有理化求解有理化求解.2/26/2023386.

13、2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例1.解：解：加题2/26/2023396.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例2.解：解：加题2/26/2023406.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例3.解：解：(分项分项)(变形变形)(代入代入)2/26/2023416.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例4.解：解：加题2/26/2023426.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深分以下几种情况讨论：分以下几种情况讨论：2/26/2023436.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深此积分形式同下列公式此积分形式

14、同下列公式：或2/26/2023446.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例6.解：解：2/26/2023456.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深（二）三角函数的不定积分（二）三角函数的不定积分(化为有理函数化为有理函数)一般地一般地2/26/2023466.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深就有就有 这样就把积分有理化了这样就把积分有理化了.从而三角函数从而三角函数 R(sinx,cosx)存存在初等函数的原函数在初等函数的原函数.2/26/2023476.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例7.解：解：加题2/26/202348

15、6.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例8.解：解：2/26/2023496.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深关于关于 R(sinx,cosx)具有某种性质时的一些具有某种性质时的一些特殊变量替换特殊变量替换：例例9.解：解：2/26/2023506.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例10.解：解：2/26/2023516.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例11.解：解：2/26/2023526.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023536.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例12.

16、解：解：2/26/2023546.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深a)含有含有 sin2x 或或 cos2x 的奇次幂，此时可由的奇次幂，此时可由(1)求之；求之；将被积函数化简将被积函数化简,其结果：其结果：b)含有含有sin2x 或或 cos2x 的偶次幂，用上述三角公式化简的偶次幂，用上述三角公式化简,化成含化成含 sin4x 与与 cos4x 的函数，依次类推的函数，依次类推.降次2/26/2023556.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深解：解：都可以利用三角函数的积化和差积化和差公式求解.2/26/2023566.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入

17、深由浅入深六、小结六、小结三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换1.基本积分表基本积分表.2.运算法则运算法则合理选择合理选择 ，正确使用分部积分公式，正确使用分部积分公式作业:P281 5基础基础:类型与方法的对应：类型与方法的对应：灵活运用灵活运用,熟能生巧熟能生巧两类积分换元法：凑微分两类积分换元法：凑微分变量代换变量代换:2/26/2023576.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为函数称之一般记为1、三角函数有理式的积分、三角函

18、数有理式的积分五、其它形式的不定积分五、其它形式的不定积分2/26/2023586.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深令令（万能置换公式）（万能置换公式）2/26/2023596.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例7:7:求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式2/26/2023606.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023616.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例8:8:求积分求积分解（一）解（一）2/26/2023626.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能

19、置换公式,令令2/26/2023636.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论:比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.2/26/2023646.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例9:9:求积分求积分解解:2/26/2023656.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023666.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例10:10:求积分求积分解解 令令2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分2/26/2023676.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2/26/2023686.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例11:11:求积分求积分解解:令令说明说明:无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.2/26/2023696.2.不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例1212 求积分求积分解解:先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式2/26/202370