《高等数学》(北大第二版)第04章习题.ppt

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1、（习（习 题题 课）课）不定积分方法有三种：（一）逐项积分法逐项积分法；（二）换元法换元法（三）分部积分法分部积分法.若被积函数为有理函数，三角函数有理式及简 单无理函数等特殊类型的函数，还可采用一些特定有效的积分法.（凑微分法）（凑微分法）1.积分倒代换积分倒代换化为有理函数的积分2.简单的无理函数积分简单的无理函数积分解解3.利用积分公式利用积分公式4.对定积分利用定积分的有关性质对定积分利用定积分的有关性质例例 8偶函数偶函数奇函数奇函数例例 9例例 10=（去掉被积函数绝（去掉被积函数绝对值符号，利用定对值符号，利用定积分对区间可加性积分对区间可加性的性质）的性质）5.三角函数有理式的

2、积分三角函数有理式的积分证明：6.有理函数的积分有理函数的积分 积分上限的函数积分上限的函数 定义 设f(x)在a,b上连续，称为积分上限的函数.定理定理（微积分基本定理）（微积分基本定理）设f(x)在a,b上连续，则在a,b上连续，且在(a,b)内可导并有 由此可见，只要f(x)在a,b上连续，则它在a,b上的原函数是 存在的，例如 就是f(x)在a,b上的一个原函数.推广推广:当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式例例 14例例 15=洛必达法则洛必达法则=积分中值定理积分中值定理 在在x与与a之间之间证证 (母函数方法)例例 16 p265 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)

3、0,证明只要证明F(x)单调增加，即证例例 17 习题习题5-2 p241证明证明 例例 18 已知的f(x)一个原函数为(1+sinx)lnx,求解解 只须利用原函数概念求出只须利用原函数概念求出f(x)就好办了就好办了例例 19 已知 ,求f(x).解解 只须求出导函数只须求出导函数 ,便不难得出原函数便不难得出原函数.考虑到上式中考虑到上式中且题设且题设所以应取所以应取x0,于是应舍去负号应舍去负号,练习练习:例例 22 例例 23例例 24解解 令x=tant (0 t /4),则 t=arctanx,而再令再令t=/4-u 则则从而方法二方法二例例 26 已知已知:试求常数试求常数a

4、的值的值解解得a=0或a=-1.注注:用定积分定义计算数列和的极限的方法用定积分定义计算数列和的极限的方法:若被积函数f(x)在a,b上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间a,b的分法及点 的取法无关.因此若把a,b等份,分点为则积分和为若积分区间为若积分区间为0,1,则则 例 27 求下列极限注注:例例 28例例 29=令令x-t=u-dt=du例例 30=-2tdt=du设f(x)在x=0的某邻域内连续,且f(0)=0,解解例例 31 设函数f(x)在 内连续,且试证试证 (1)若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数;(2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.证证(1)由题设=令

5、令t=-udt=-du即f(x)为偶函数.=积分中值定理积分中值定理 介于0与x之间当x0时,因f(x)单调不增,故 当x0,证明证明(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且有一个根.证明证明p265因为积分上限的函数可导,知F(x)在a,b上连续,又由零点定理可知:方程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根;又因 所以F(x)在上单调递增,从而方程F(x)=0 在(a,b内仅有有一个根.例 27例 33 设f(x)在0,1内可微,且满足证证=积分中值定理积分中值定理令F(x)=xf(x),F(x)在 满足R定理的三个条件:例例 34 设f(x)为连续函数,证明证明证明p265 例例 35

6、(p266)设f(x)在区间a,b上连续,g(x)在区间a,b上连续且不变号.证明至少存在一点(积分第二中值定理积分第二中值定理)证明证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小值m,同样有同样有 由于f(x)在a,b上连续,由介值定理的推论知,必存在 使得 例例 36 p265 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明证法一证法一证法二证法二(母函数方法)例37 在椭圆 绕其长轴旋转而成的椭球体上,沿其长轴方向穿心打圆孔,使其剩下部分的体积恰好等于椭球体积的一半,试求该圆孔的直径.-112-20Axy例例 38切线,求由(1)式,得x0y1 1(3)旋转体

7、的体积为 练习题练习题 (1)在曲线 上某点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形的面积为 (1)切点A的坐标;(2)过切点A的切线方程;(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.(1)A(1,1);(2)y=2x-1;(3)例例 39 设直线y=ax与抛物线 所围成的图形面积为 ,它们与直线x=1所围成的图形面积为 ,并且a1.(1)试确定a的值,使 达到最小,并求出最小值;(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积解解 (1)当0a1时(如图)S单调减少,故a=0时,s取得最小值,证明证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最

8、小值m,同样有同样有 由于f(x)在a,b上连续,由介值定理的推论知,必存在 使得 例例 计算下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：xy0-11解解 练习题练习题 一、计算下列极限：二、计算下列导数：习题 2-2 7.（8)8.(4)(10)12.(9)10.三、微分中值定理与导数的应用总习题三6.7.8.习题-4 (1)(2)7.(1)(3)习题-1.4.四、积分学四、积分学 计算下列积分习题习题4-3 1.3.5.总习题总习题 四四 3.5.6.10 习题习题 5-4(1)(3)(6)(10)习题习题 6-2 1.(3)(4)15.（3）总习题六总习题六 3.4.5.P245 例6 证明 五五、空间解析几何、空间解析几何 p307 例例4 例例5 习题习题7-2 1.(1)10.习题习题7-5 3.8.(2)总习题七总习题七 1.(3)2.18.