不定积分的概念和性质(IV).ppt

《不定积分的概念和性质(IV).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定积分的概念和性质(IV).ppt（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、上一页下一页不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质及直接积分法三、不定积分的性质及直接积分法定义定义1 设函数设函数 f(x)与与 F(x)在区间在区间I上有定义，若上有定义，若 则称则称F(x)为为f(x)在区间在区间I上的一个上的一个原函数原函数原函数举例原函数举例因为因为(sin x)cos x,所以所以sin x是是cos x的一个原函数的一个原函数.上一页下一页一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念因为因为xx21)(,所以所以x是是x21的一个原函数的一个原函数.F (

2、x)f(x),xI提问：提问：（1 1）什么条件下，一个函数的原函数存在？什么条件下，一个函数的原函数存在？（2 2）如果如果 f(x)有原函数，一共有多少个？有原函数，一共有多少个？u几点说明：几点说明：1原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.2若若F(x)=f(x)，则对任意常数则对任意常数C，F(x)+C 都是都是f(x)的原函数的原函数.如如 (sin x)cos x,则则(sin x+C)cos x.所以所以原函数的个数有无穷多个原函数的个数有无穷多个且且 任意两个原函数之间任意两个原函数之间相差一个常数！相差一个常数！证明：证明：(G(x)F(x

3、)=G(x)F(x)=f(x)f(x)=0 所所 以以 G(x)F(x)=C (C为常数为常数)上一页下一页 定义定义2 2 f(x)在区间在区间I上上全体原函数全体原函数成为成为 f(x)在在 I上的不上的不定积分定积分.记作记作 其中其中f(x)叫叫被积函数被积函数，f(x)dx 叫做叫做被积表达式被积表达式，x 叫做叫做积分变量积分变量，记号，记号“”叫做叫做积分号积分号.根根据据定定义义,如如果果F(x)是是f(x)在在区区间间I上上的的一一个个原原函函数数,那么那么F(x)C就是就是f(x)的的不定积分不定积分,即即l 结论结论：求：求f(x)的不定积分只要求它的一个原函数的不定积分

4、只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数再加任意常数C.上一页下一页 如果如果F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则则 例例1 1 求求解：上一页下一页 如果如果F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则则 例例2 2 解：合并得：上一页下一页v不定积分的几何意义不定积分的几何意义2x的积分曲线 若若F(x)是是f(x)的一个原函数，的一个原函数，则称则称F(x)的图形为的图形为f(x)的一条积分的一条积分曲线，曲线，F(x)+c的图形是由的图形是由F(x)的图的图形沿形沿 y 轴平移轴平移c(任意的）所得积任意的）所得积分曲线组成的曲线轴分曲线组成的曲线轴.如图如图f(x)=

5、2x的积分曲线图的积分曲线图 函数函数f(x)的不定积分在几何上表示的不定积分在几何上表示f(x)的全部积的全部积分曲线所组成的平行曲线族分曲线所组成的平行曲线族结论：结论：上一页下一页上一页下一页二、基本积分表二、基本积分表解解例例4例例3求求解解求求上一页下一页v性质性质1 1 1v性质性质2(2(线性性质线性性质)2(k为常数为常数 k0）上一页下一页三、不定积分的性质三、不定积分的性质1*2*例例5求求解解上一页下一页练习练习例例6求求解解例例7求解解例例8求不定积分求不定积分解解注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算用基本积分表计算.上一页下一页直接积分法直接积分法 可用基本积分表计算，可用基本积分表计算，或经适当恒等变形后用基或经适当恒等变形后用基本积分表计算的方法本积分表计算的方法练习练习练习练习上一页下一页(小结）小结）本堂课主要内容本堂课主要内容一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质及直接积分法三、不定积分的性质及直接积分法