《复变函数》第4章.ppt

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1、复 变 函 数（第四版）第四章 级 数1 复数项级数2 幂级数3 泰勒级数4 洛朗级数2/25/20231复变函数(第四版)第4章1 复数项级数1.复数列的极限复级数也是研究解析函数的一个重要工具.函数的解析性等价于函数能否展成幂级数.复数列2/25/20232复变函数(第四版)第4章Th1.证明利用不等式:2/25/20233复变函数(第四版)第4章2.级数概念(1)定义级数:前n项和:(部分和)否则.发散2/25/20234复变函数(第四版)第4章Th2.必要条件:运算性质:且:(C 为复常数)（作用：复数项级数的审敛问题转化为 实数项级数的审敛问题）2/25/20235复变函数(第四版)

2、第4章(2)绝对收敛与条件收敛.结论:i)ii)Th3模 2/25/20236复变函数(第四版)第4章iii)iv)2/25/20237复变函数(第四版)第4章例1.解:1)下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.1)2)而2/25/20238复变函数(第四版)第4章解:2)例2.解:1)下列级数是否收敛?是否绝对收敛?2/25/20239复变函数(第四版)第4章解:2)(不易分实部,虚部)对正项级数原级数收敛,且为绝对收敛.2/25/202310复变函数(第四版)第4章解:3)因为(莱布尼兹型交错级数)原级数收敛.条件收敛,原级数不绝对收敛.2/25/202311复变函数(第四版)第4章补例

3、:考察解:1)下列级数的敛散性:原级数发散.而2/25/202312复变函数(第四版)第4章解:2)收敛.(公比|q|1时,显然发散.2/25/202318复变函数(第四版)第4章2.幂级数及其收敛圆一般式:取=0.2/25/202319复变函数(第四版)第4章(有与实函类似的结论)(1)(2)阿贝尔定理z0 xyO2/25/202320复变函数(第四版)第4章证2/25/202321复变函数(第四版)第4章2/25/202322复变函数(第四版)第4章2/25/202323复变函数(第四版)第4章 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有

4、的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.2/25/202324复变函数(第四版)第4章显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy2/25/202325复变函数(第四版)第4章(3)1o 仅在 z=0 收敛;2o 在整个 z 平面收敛;在 1o,2o 两种情形中,称 R 为 0 和,2/25/202326复变函数(第四版)第4章总之:R 为收

5、敛半径,则(收敛圆内部)(收敛圆外部)(收敛圆周上)2/25/202327复变函数(第四版)第4章例:收敛半径均是1.1)其一般项 zn 0,无收敛点.2)在点 z=1 发散,在其它点都收敛.在收敛圆周|z|=1 上2/25/202328复变函数(第四版)第4章3.收敛半径的求法(1)比值法:(2)根值法:例2:(P113)求下列幂级数的收敛半径2/25/202329复变函数(第四版)第4章解:1)在收敛圆周|z|=1 上,R=1(p=3时的 p 原级数在收敛圆周上是处处收敛的.级数)2/25/202330复变函数(第四版)第4章解:2)在收敛圆周|z1|=1 上,解:3)2/25/20233

6、1复变函数(第四版)第4章补例：解:用比值审敛法.不能套求半径公式2/25/202336复变函数(第四版)第4章注:故 原级数收敛半径缺项级数的收敛半径时,则其收敛半径若先求出极限2/25/202337复变函数(第四版)第4章4.幂级数的运算及性质(1)加,减,乘法.由绝对收敛性,则在|z|=R 内,两级数可做即书中漏写 zn2/25/202338复变函数(第四版)第4章注意:上两式的意思是|z|R 时,等号成立,而不是说右边级数的收敛半径为 R(可能大于R).(见书P115例13)2/25/202339复变函数(第四版)第4章重要的代换(复合运算)例4.解:2/25/202340复变函数(第

7、四版)第4章从而设|ba|=R,上式右端的收敛半径 R=|b a|(方法和结论以后常用)2/25/202341复变函数(第四版)第4章(2)(3)f(z)在收敛圆可逐项求导.如何解释?而在收敛圆上至少有一个奇点;2/25/202342复变函数(第四版)第4章(4)2/25/202343复变函数(第四版)第4章3 泰勒级数我们已知：一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.问题:任何一个解析函数是否能用幂级数表达?1.泰勒定理.设 f(z)在D 内解析,只要圆 k:|z-zo|d含于D.则 f(z)在 k 内能展成幂级数 泰勒级数其中系数 泰勒系数.且展开式唯一.2/25/202344

8、复变函数(第四版)第4章略证:设 z 为 k 内任一点,按柯西积分公式,在圆周 k 上,有2/25/202345复变函数(第四版)第4章代入,得此等号须证(要条件)2/25/202346复变函数(第四版)第4章唯一性,注:1o2o若另有展式即如果 f(z)在zo 解析,那末使 f(z)在zo 的泰勒展开式成立的圆域的半径R就等于从zo到f(z)的距zo最近一个奇点之间的距离.即R=|-zo|当 zo=0时,级数称为麦克劳林级数.2/25/202347复变函数(第四版)第4章2.解析函数的等价定义(1)(2)1o f(z)在zo某邻域内可导;2o f(z)=u+iv 的实部u,虚部v在点zo的某

9、邻域 内有连续偏导数,且满足C-R条件.f(z)在 zo 解析 f(z)在 zo 的某邻域可展成幂级数 f(z)在D内解析 f(z)在D内任一点的某邻域可展成幂级数至此得函数 f(z)在一点zo解析的四种等价说法:2/25/202348复变函数(第四版)第4章4o3.几个常用初等函数的泰勒展开式3o任一条分段光滑闭曲线,有f(z)在zo的某邻域内连续且对此邻域内的f(z)在zo的某邻域内可展开成幂级数.求导2/25/202349复变函数(第四版)第4章续上页积分2/25/202350复变函数(第四版)第4章4.展开解析函数 f(z)成幂级数(1)直接法:(2)间接法:的主要方法:利用已知展式以

10、及幂级数的分析运算性质和其他数学技巧,求展开式.其中有其中有:代换法.部分分式法:(最多的是代换2/25/202351复变函数(第四版)第4章续上页微分方程法:利用被展开函数与导数的关系,建立微分方程.逐项积分法:逐项求导法:幂级数乘法:分解为两个已知展开式函数的乘积.幂级数除法:待定系数法:长除法其他:如,利用组合,搭配等等.2/25/202352复变函数(第四版)第4章例一.解:(用代换法,关键将 f(z)变形为含所需因式的形式,并可利用已知展开式得到需要的幂级数)2/25/202353复变函数(第四版)第4章方法二:转下页2/25/202354复变函数(第四版)第4章续上页2/25/20

11、2355复变函数(第四版)第4章例二.解:对方程逐次求导,得(得一微分方程)2/25/202356复变函数(第四版)第4章由于f(z)只有唯一奇点 z=1,练习:所以收敛半径为1,f(z)可在|z|1 内展开,其展开式为用类似方法求的麦克劳林级数.2/25/202357复变函数(第四版)第4章例三.解:故有是偶函数,所以幂级数只有偶次幂项,设2/25/202358复变函数(第四版)第4章比较两端同次幂系数，得解出法二：直接用长除法(升幂排列)2/25/202359复变函数(第四版)第4章4 洛朗级数由上一节知:双边幂级数:在圆|zzo|=R 内解析的函数 f(z)可以展成幂级数那么在环 R1|

12、zz0|R2 内解析的函数呢?它也可以展成幂级数2/25/202360复变函数(第四版)第4章定义:则收敛均收敛(1)的收敛域为在收敛圆环内的双边幂级数的和函数为一解析函数.其公共圆环域(2)的收敛域为R1|zzo|R2 为2/25/202361复变函数(第四版)第4章1.洛朗定理.其中且展开式唯一.设 f(z)在圆环域R1|z-zo|R2内处处解析,那末洛朗展开式这里C为在圆环域内绕 zo的任何一条正向简单闭曲线.洛朗级数(即一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.这个级数就是 f(z)的洛朗级数).2/25/202362复变函数(第四版)第4章注:1o2o3o一般

13、f(z)在C 内不是处处解析,不能对cn的表达式应用高阶求导公式.泰勒级数是洛朗级数的特殊情形.(此时 R1=0,cn=0)洛朗级数的解析部分洛朗级数的主要部分(正则部分)4o用公式计算cn 很难,一般不用.(恰恰相反,我们后面要用cn 求积分2/25/202363复变函数(第四版)第4章2.将圆环内解析函数展成洛朗级数的方法例：解：直接法直接法:用公式求 cn.求导、积分、代换等方法展开.间接法:利用已知函数的泰勒展式,再利用2/25/202364复变函数(第四版)第4章解：间接法：2/25/202365复变函数(第四版)第4章间接法中常用公式：例1：解:内处处是解析的.试把 f(z)在这些

14、区域内展开成洛朗级数.2/25/202366复变函数(第四版)第4章(结果中不含 z 的负幂项,原因 f(z)在 z=0 处是解析的)2/25/202367复变函数(第四版)第4章解:ii)2/25/202368复变函数(第四版)第4章2/25/202369复变函数(第四版)第4章解:iii)2/25/202370复变函数(第四版)第4章注:此例是同一个函数在不同的圆环中的洛朗展式,这里展式不同与洛朗展式的唯一性并无矛盾.2/25/202371复变函数(第四版)第4章问:解:此例若改成在两个孤立奇点 z=1 和 z=2的最大的去心邻域内的洛朗展式如何求?2/25/202372复变函数(第四版)

15、第4章例2:看教材(P134)注意:2/25/202373复变函数(第四版)第4章补例一:解:在 0|zi|1 内展为洛朗级数.使 f(z)解析且以 i 为中心的圆环域有2/25/202374复变函数(第四版)第4章而2/25/202375复变函数(第四版)第4章在 1|z i|+内,因为2/25/202376复变函数(第四版)第4章补例二:解:转下页2/25/202377复变函数(第四版)第4章(对有理分式函数 f(z).先分解为部分分式,仍是有效的方法)2/25/202378复变函数(第四版)第4章补例三:解:1)在1|z|2 内,有奇点 z=i,z=2转下页2/25/202379复变函数(第四版)第4章2)在 0|z 2|内,有续上页 解 1)2/25/202380复变函数(第四版)第4章解:补例四:(习题P14417)内展为洛朗级数.不能.因为的邻域内总有zk存在,且所以不能展成洛朗级数.2/25/202381复变函数(第四版)第4章