《复变函数》第1章.ppt

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1、复 变 函 数（第四版）电 子 教 案中山大学公共卫生学院刘素芳 邓卓燊 编写2/25/20231复变函数(第四版)第一章 复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念复变函数自变量为复数的函数.复变函数研究的中心对象:解析函数复变函数论又称为解析函数论i 虚数单位 i 2=1复数：z=x+iy(或 z=x+yi),x,y 为实数实部：x=Re(z)虚部：y=Im(z)纯虚数：z=iy(y 0)2/25/20232复变函数(第四版)2.复数的代数运算(1)加(减)法:(2)乘法:按多项式法则相乘z=0 x=y=0z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2 x1=x2,y1=y2注意

2、：任意两个复数不能比较大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共轭复数：z1 z2=(x1 x2)+i(y1 y2)z1 z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1 x2 y1 y2)+i(x2 y1+x1 y2)2/25/20233复变函数(第四版)(3)除法:复数的运算满足交换律、结合律和分配律.(4)共轭复数性质i)ii)iii)iv)2/25/20234复变函数(第四版)证例1解:P.4设 z1=55i,z2=3+4i,求与2/25/20235复变函数(第四版)例2解:设求 Re(z),Im(z)与2/25/20236复变函数(第四版)2 复数的几何意义1.复平面,复数的其它

3、表示法复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.(1)z=x+iy点(x,y)(几何表示法)直角坐标平面 xoy复平面.x 实轴y 虚轴(2)z=x+iy(向量表示法)模由此:or2/25/20237复变函数(第四版)结论:辐角:辐角主值:(两边之和大于第三边)(两边之差小于第三边)(z 0)无穷多个,相差2k.k=0,1,2,当z=0时,|z|=0,而辐角不确定.2/25/20238复变函数(第四版)Arg z的主值arg z(z 0)可由Arc tan 的主值arc tan 来确定:例:其中z=3+3i(图示)2/25/20239复变函数(第四版)(3)三角表示法(4)指数表示法例

4、由欧拉公式得求和的辐角主值.解:2/25/202310复变函数(第四版)例1解:1)将下列复数化为三角表示式与指数表示式:1)2)(或 z 在第三象限)三角式:指数式:书 P.72/25/202311复变函数(第四版)解:2)例2.见书 P.8 (自阅)续上页例 1三角式:指数式:2/25/202312复变函数(第四版)平面图形与复数形式方程例3通过两点 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线的方程解法一:由过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的参数方程得复数形式的参数方程解法二:如图,z z1与z2 z1共线即z2ozz12/25/202313复变函数(第四版)例4解:1)解:2

5、)求下列方程所表示的曲线1)|z+i|=2;2)|z 2i|=|z+2|;3)几何上看|z+i|=|z(i)|=2:的距离为2的点轨迹,即中心为(i),半径为2的圆.代数推导:设 z=x+iy 则|x+(y+1)i|=2x2+(y+1)2=4|z 2i|=|z+2|到点 2i 和2 距离连结2i 和2 的线段的垂直平分线.与点i相等的点轨迹:|x+(y2)i|=|(x+2)+yi|x2+(y2)2=(x+2)2+y2 y=x(见书P10 图1.5)2/25/202314复变函数(第四版)解:3)问:续上页例 41y=4 y=3|z+3|+|z+1|=4 中 z 的轨迹?到定点 z=3和 z=1

6、的距离和为常数 椭圆.(左焦点)(右焦点)2/25/202315复变函数(第四版)2.复球面 任取一与复平面切于原点的球面,原点称球面的南极,过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点,又在平面上引入一个假想点与球面北极对应,构成扩充复平面与球面点的一一对应,即复数与球面上的点的一一对应,球面称为复球面.2/25/202316复变函数(第四版)规定:注:1.在高等数学中,可以分为+和.而在复 变函数中只有唯一的无穷远点.(这样才能 与复球面一一对应)2.引入唯一无穷远点在理论上有重要意义.可以作为复平面的唯一的边界点.在扩充的复平面上,

7、直线可看成是一个圆.|=+,+=+=无特殊说明,平面仍指有限平面.2/25/202317复变函数(第四版)3 复数的乘幂与方根1.乘积与商(两端可能值相等,即集相等)2/25/202318复变函数(第四版)几何意义:特别:z1z2:z1 逆时针旋转一个角度arg z2,并伸长|z1|到|z2|倍.z2 顺时针旋转一个角度arg z1,并伸长i z1 对 z1 实行一次旋转变换,旋转角 2/25/202319复变函数(第四版)例1方法一:已知正三角形的两个顶点为 z1=1 与z2=2+i,求它的另一个顶点.解:设 z3=x+yi 2/25/202320复变函数(第四版)方法二:类似可得续上页例

8、1(书P14 图1.8)Z3xy0Z1Z2Z3 /32/25/202321复变函数(第四版)2.幂与根 棣莫弗(De Moivre)公式 z 的 n 次方根:(n为负整数时亦成立)r=1:(k=0,1,2,n-1)为以原点为中心,为半径的圆的内接正n 边形的 n 个顶点.2/25/202323复变函数(第四版)特别:补例1:1 的 n 次方根也叫 n 次单位根.1 的三次方根:x11+x7+x3=x2+x+1解:x31=(x1)(x2+x+1),而 x2+x+1=0故 x 是一个三次单位根.从而 x11=x9 x2=x2,x7=x,x3=1.=0已知 x2+x+1=0,求 x11+x7+x3

9、的值.2/25/202324复变函数(第四版)补例2:证:求证易知比较虚部与实部,即得所证.2/25/202325复变函数(第四版)补例3:解:但(1+z)5=(1z)5 验证知 z1.故原方程可写成:则 w5=1.k=0,1,2,3,4故原方程的根为:解方程2/25/202326复变函数(第四版)4 区域1.区域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的邻域:|zzo|的全体点.(半径为的圆域)模zo的去心邻域:0|zzo|M内点:zoG,zo的某个邻域属于G,zo为G的内点开集:集内的每个点都是内点.连通集:连接G内任意两点的折线也属于G.区域:连通的开集.边界点:zo的任意一

10、个邻域内既有属于G的点又有不属于G的点.zo为边界点。闭区域:区域+边界=边界可以是曲线,也可以是孤立点.2/25/202327复变函数(第四版)2.单连通域与多连通域(1)简单闭曲线:(2)光滑曲线:设 z(t)=x(t)+i y(t)(atb)为复平面上一条连续曲线,(x(t),y(t)连续)一条没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线,如果简单曲线的起点与终点重合,称为简单闭曲线.简单曲线自身不相交(t1 t2z(t1)z(t2)称为光滑曲线.(a t b)由几条光滑曲线依次连接而成的曲线,称为按段光滑曲线.曲线 z=z(t)=x(t)+i y(t)2/25/202328复变函数(第四版

11、)(3)单连通域:从几何上看:特征:若属于区域G的任何简单闭曲线C的内部也属于G,则称G为单连通域;否则称为多连通域.单连通域即是无洞、无割痕的域.属于单连通域的任何一条简单闭曲线,在域内可以经过连续变形而缩成一点.常见曲线与区域:2/25/202329复变函数(第四版)常见曲线与区域:2/25/202330复变函数(第四版)1.定义 设 G 是复平面上的一个点集,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数 z,都有一个或几个复数w=u+i v 与之对应,那么称复变数w 是复变数 z 的函数(简称复变函数),记作w=f(z)单值:一个 z 对应 w 的一个值.多值:一个

12、z 对应 w 的两个或两个以上的值.5 复变函数2/25/202331复变函数(第四版)一个复变函数确定了自变量为 x、y 的两个二元实变函数.例:z=x+y i,w=f(z)=f(x+i y)=u+i v相当于两个关系式:u=u(x,y),v=v(x,y).令 z=x+i y,w=u+i v 2/25/202332复变函数(第四版)例:涉及四个变量 x、y、u、v,故不能用一个平面,也不能用三维空间中的几何图形表示.反映 z 平面上的一个点集 G(定义集合)到 w平面上一个点集 G*(函数值集合)的一个映射.x2+y21u2+v21 几何意义:2/25/202333复变函数(第四版)代入法：

13、已知将其写成关于 z=x+i y 的解析式.补例:解:常用的方法有三种.2/25/202334复变函数(第四版)设零法：将式中项凑成 x iy 的组合设式中 y=0,得 f(x),代回 f(z)最简单拼凑法：2/25/202335复变函数(第四版)Gz平面G*w平面z原象w象(映象)w=f(z)今后不再区分函数与映射(变换).若 G 与 G*的映射是一一对应,则有逆映射 z=(w).即 w=f(w),z=f(z).2.映射的概念2/25/202336复变函数(第四版)(1)w=关于实轴的一个对称映射(将z与w重叠)象与映象是关于实轴对称的全同图形.例:2/25/202337复变函数(第四版)(

14、2)w=z2z=x+y i w=u+i v,u=x2y2,v=2xy.arg w=2arg z 辐角增大一倍.角形域角形域2/25/202338复变函数(第四版)z 平面:x2y2=c1,2xy=c2(以 y=x 和坐标轴为渐近线的等轴双曲线)两族平行直线:u=c1,v=c2.(图示见书 P24 图1.17)2/25/202339复变函数(第四版)1.函数的极限(1)定义:(2)几何意义w=f(z)在 zo的去心邻域 0|zzo|0,()0,使 0|zzo|时,有|f(z)A|0,0,当 0|(x+i y)(xo+i yo)|时,|(u+i v)(uo+i vo)|,|(uuo)+i(vvo)

15、|.|uuo|,|vvo|0,0,|f(z)A|=|(uuo)+i(vvo)|uuo|+|vvo|=证:充分性.2/25/202343复变函数(第四版)由此知：复变函数极限的定义，形式上与一 元实函数类似，实质上却相当于二元函数的极限。（导致导数概念的苛刻）例:2/25/202344复变函数(第四版)Th2.同样有基本式:如果则2/25/202345复变函数(第四版)证:证明函数当 z 0 时的极限不存在.它随 k 的不同而不同,例:2/25/202346复变函数(第四版)当 z 沿不同射线 arg z=趋于零时,f(z)趋于不同的值.如,沿正实轴,f(z)1;沿正虚轴,f(z)0;另证:2/

16、25/202347复变函数(第四版)Th3.Th4.(与实函数有类似的结论)定义:f(z)在 z=zo处连续.f(z)在D内连续f(z)在D内处处连续.f(z)=u+i v 在 zo=xo+i yo连续u(x,y)和 v(x,y)在(xo,yo)处连续.连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍连续.注:在连续点上2.函数的连续性2/25/202348复变函数(第四版)解:1)计算下列极限补例:2/25/202349复变函数(第四版)解:2)2/25/202350复变函数(第四版)解:3)2/25/202351复变函数(第四版)重点:难点:复数:定义、表示法及运算.区域:单连通域、多连通域;简单曲线.复球面及无穷远点;复变函数:定义、极限、连续.复数表示法之间的转换、区域的确定、复变函数的概念.复球面概念,复变函数理解为复平面上两个集合间的映射,以及复变函数的极限与连续性.小 结2/25/202352复变函数(第四版)