《数学归纳法》好.ppt

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1、 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法论的推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法思考：归纳法有什么优点和缺点？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：优点：可以帮助我们从一些具体事可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律例中发现一般规律缺点：缺点：仅根据有限的特殊事例归纳仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有

2、时是不正确的得到的结论有时是不正确的解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得啊啊,有完有完没完啊没完啊?正整数正整数无数个无数个!对于数列，已知，对于数列，已知，（1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？情境二情境二（一）视频播放（一）视频播放你见过多米诺骨牌游戏吗你见过多米诺骨牌游戏吗?对我们解决本题证明有什么启示？对我们解决本题证明有什么启示？二、引导探究，寻求解决方法二、引导探究，寻求解决方法1、第一块骨牌倒下、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块、

3、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下倒下条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第设第K块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第K+1块也倒下块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件条件(二二)师生互助师生互助多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若若第第k块块倒倒下下时时，则则相相邻邻的的第第k+1块块也也倒下。倒下。根根据据（1）和和（2），可可知知不不论论有有多多少少块块骨骨牌牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）

4、当n=1时，猜想成立时，猜想成立根根据据（1）和和（2），可可知知对对任任意意的的正正整整数数n，猜猜想想都成立。都成立。通项公式为通项公式为 的证的证明方法明方法（2）若若当当n=k时时猜猜想想成成立，即立，即 ，则当，则当n=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即即 。三、类比问题，师生合作探究三、类比问题，师生合作探究（一）类比归纳当一个命题满足上述（当一个命题满足上述（1）、（）、（2）两个条件时，我们能把证明无限问题两个条件时，我们能把证明无限问题用有限证明解决吗用有限证明解决吗?（二）理解升华（二）理解升华一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列一般的，证明一个与正整数有关的命题

5、，可按下列步骤进行：步骤进行：（1 1）【归纳奠基归纳奠基】证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0 N*)时命题成立时命题成立;（2 2）【归纳递推归纳递推】假设当假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题时命题成立，证明当成立，证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.从而就可以断定命题对于从而就可以断定命题对于n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立。都成立。这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法。（四）提炼概念（四）提炼概念对于数列，已知，对于数列，已知，写出数列前写出数列前4项项,并猜想其通项公式并

6、猜想其通项公式 ;同学们同学们,你能验证你能验证你的猜想是不是正确吗你的猜想是不是正确吗?四、例题研讨，学生实践应用四、例题研讨，学生实践应用（一）典例析剖（一）典例析剖（二）变式精炼（二）变式精炼用数学归纳法证明用数学归纳法证明 135（2n1）用数学归纳法证明用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式

7、成立。，等式成立。135（2k1）k2 +2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。证证明明传传递递性性（凑结论）凑结论）（三）能力提升（三）能力提升用数学归纳法证明用数学归纳法证明 证明：证明：（1）当）当n=1时，时，左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即那么那么,当当n=k+1时时即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成

8、立.凑出目标凑出目标用用到到归归纳假设纳假设数学归纳法步骤，用框图表示为：数学归纳法步骤，用框图表示为：验证验证n=n0 0时时命题成立。命题成立。若若n=k(k n0 0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。命题对从命题对从n0 0开始的所有开始的所有的正整数的正整数n都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推 注：两个步骤注：两个步骤,一个结论一个结论,缺一不缺一不可可思考思考1 1：试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2n+2nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学同学用数学归纳法给出了

9、如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？得到的结论正确吗？解解:设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4+6+2kk2+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1)k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何所以等式对任何nN*nN*都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提时，等式是否成立的前提下，就断言等式

10、对任何下，就断言等式对任何nN*nN*都成立，为时尚早都成立，为时尚早证证明：明：当当n=1时时，左，左边边右右边边假假设设n=k时时，等式成立，等式成立，那么那么n=k+1时时等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考2 2：下面是某同学下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗

11、？为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132-=L 因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一题的两个步骤，缺一不可。第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。缺了第一步递推失。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。依据，因此无法递推下去。1.在应用数学归纳法证明凸在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验条时，第一步检验n等于等于 ()A.1B.2 C.3 D.0解析：解析：因为因为n3，所以

12、，第一步应检验，所以，第一步应检验n3.答案：答案：C2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1aa2an1 (a1)，在验证在验证n1时，等式左端计算所得的项是时，等式左端计算所得的项是 ()A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3解析：解析：因为当因为当n1时，时，an1a2，所以验证，所以验证n1时，时，等式左端计算所得的项是等式左端计算所得的项是1aa2.答案：答案：C3.利用数学归纳法证明利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从时，从“nk”变到变到“nk 1”时，左边应增乘的因式是时，左边应增乘的因式是 ()A.2k1 B.2(2k1)C.

13、D.解析：解析：当当nk(kN*)时，左式为时，左式为(k1)(k2)(kk)；当当nk1时，左式为时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是则左边应增乘的式子是 2(2k1).答案：答案：B4.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：，第一步应验证左式是第一步应验证左式是，右式是右式是.解析：解析：令令n1则左式为则左式为1 ，右式为，右式为 .答案：答案：5.记凸记凸k边形的内角和为边形的内角和为f(k)，则凸，则凸k1边形的内角和边形的内角和 f(k1)f(k).解析：解析：由凸由凸k边形变为凸边形变为凸k1边形时，增加了一个三角边形时，增加了一个三角形，故形，故f(k1)f(k).答案：答案：六、巩固作业，分层布置六、巩固作业，分层布置课本课本P P9696习题习题2.3 A2.3 A组组 1 1、2 2（必做）（必做）（选做题）（选做题）用数学归纳法证明用数学归纳法证明时，由时，由n=kn=k（k1k1）时不等式成立，推证）时不等式成立，推证n=k+1n=k+1，左边，左边应增加的项数是（应增加的项数是（）项）项A.2A.2k k-1 B.2-1 B.2k k+1 C.2+1 C.2k-1k-1 D.2 D.2k k