第六章二次型优秀PPT.ppt

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1、第六章二次型第一页，本课件共有50页一 二次型及其矩阵表示 矩阵合同在平面解析几何中，为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质，可以坐标变换（二次曲线）（二次曲线）（标准型）（标准型）第二页，本课件共有50页1.二次型定义及其矩阵表示 定义1 含有n个变量 的称为二次型二次型.二次齐次函数 第三页，本课件共有50页记则二次型可记作 第四页，本课件共有50页第五页，本课件共有50页其中A为对称矩阵（）.第六页，本课件共有50页二次型 用矩阵记号写出来第七页，本课件共有50页因此二次型二次型一一对应对称矩阵对称矩阵任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵；反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个

2、二次型.我们把对称矩阵A叫做二次型二次型f 的矩阵的矩阵，也把 f叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型二次型 f 的秩的秩.第八页，本课件共有50页例例1 已知二次型解解 二次型 f 的矩阵为 由 知 ，即的秩为2，求参数 c.第九页，本课件共有50页2.矩阵的合同对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 第十页，本课件共有50页或使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式),也就是将线性变换（1）代入二次型，能使定义2 （线性变换定义的扩充）的线性变换（1）的系数矩阵为 1)记从变量 到变量第十一页，本课件共有50页1)当C是满秩矩阵时，称（1）为满秩

3、满秩(线性线性)变变换换（或非退化变换非退化变换）.2)当C是降秩矩阵时，称（1）为降秩（线性）降秩（线性）变换变换（或退化变换退化变换）.3)当C是正交矩阵时，称（1）为正交变换正交变换.第十二页，本课件共有50页定义3 设 为两个 阶方阵定理1 若矩阵 与 合同，则 与 等价，合同性质：（1）反身性 （2）对称性 （3）传递性如果存在可逆矩阵 ，使则称矩阵 与 合同合同，或 合同合同于 .且第十三页，本课件共有50页例例2 2 设 和 为实对称矩阵，则由 与 相似可推出 与 合同，反之不然.证证 由 与 相似可知，与 有相同的特征值又由 和 都是实对称矩阵可知，存在正交矩阵 和使得 和 都

4、与对角矩阵 相似，即第十四页，本课件共有50页从而记 ，则由 有于是 ，即 与 合同.第十五页，本课件共有50页反之，虽然都是实对称矩阵，且取有 ，即 与 合同.第十六页，本课件共有50页但由于对任意可逆矩阵 故 和 不相似，反例说明，在所给条件下合同不一定相似.第十七页，本课件共有50页二、化二次型为标准形 化二次型为标准形，就是对实对称矩阵（1 1）正交变换法）正交变换法定理1 对于二次型 ，寻找可逆矩阵 ，使 成对角矩阵.总有正交变换 ，将 化为标准形 是 的矩阵 的特征值第十八页，本课件共有50页例例1 1 求一个正交变换，化二次型 为标准形,并指出方程 表示何种二次曲面 第十九页，本

5、课件共有50页解解 二次型 的矩阵为 它的特征多项式为 第二十页，本课件共有50页于是 的特征值为 当 时，解方程组 第二十一页，本课件共有50页得基础解系单位化即得 第二十二页，本课件共有50页当 时，解方程组得基础解系第二十三页，本课件共有50页将 正交化，令再将 单位化，第二十四页，本课件共有50页令于是所求的正交变换为 第二十五页，本课件共有50页化二次型为标准形 显然，表示的二次曲面为单叶双曲面.（2 2）配方法）配方法例例2 2 用配方法化二次型 为标准形,并求所用的变换矩阵.第二十六页，本课件共有50页解解 先将含 的项配方,有 再对后面含有 的项配方，有 第二十七页，本课件共有

6、50页令即第二十八页，本课件共有50页所求的满秩变换为 相应的变换矩阵为 将原二次型化为标准形 第二十九页，本课件共有50页（3 3）初等变换法）初等变换法1)构造 矩阵 ，对 每施以一次2)初等行变换，就对 施行一次同种的初等3)列变换；2)当 化为对角矩阵时，将化为满秩矩阵 ；3)得到满秩线性变换 及二次型的标准形 第三十页，本课件共有50页例例3 3 用初等变换法化例1中的二次型 为标准形，并求所作的满秩线性变换.解解 二次型 的矩阵为 第三十一页，本课件共有50页于是第三十二页，本课件共有50页第三十三页，本课件共有50页令 则所求的满秩线性变换为将原二次型化为第三十四页，本课件共有5

7、0页小结小结比较例1和例3的结果可以看到，用不同的满秩线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的，但有两点是相同的：1)标准形中平方项的项数，即二次型的秩.2)标准形中正平方项和负平方项的项数.第三十五页，本课件共有50页三 惯性定理和二次型的正定性1.惯性定理和规范形 定理1 设实二次型 的秩为，使标准型有两个实满秩变换 及第三十六页，本课件共有50页及则 ，且称 为二次型（或矩阵 ）的这个定理称为惯性定理惯性定理.正惯性指数正惯性指数为二次型（或矩阵 ）的负惯性指数负惯性指数第三十七页，本课件共有50页对二次型 的标准形再作满秩变换 第三十八页，本课件共有50页则有称之为二次型 的规范

8、形规范形.定理定理2 2 实对称矩阵 与 合同的充分必要条件是 与 有相同的规范形.第三十九页，本课件共有50页2.二次型的正定性 定义1 设实二次型 ，如果对任何 都有 （显然 ）则称 为正定二次型正定二次型，并称对称矩阵 是正定正定的的,记作 ；如果对任何 ，都有 则称 为负定二次型负定二次型，并称对称矩阵 是负定的,记作 .第四十页，本课件共有50页例例1 1 设 均为 阶正定矩阵，证明 为正定矩阵.证证 由 为正定矩阵，故对任意非零向量所以为正定矩阵.而于是第四十一页，本课件共有50页定理定理3 3 若 是 阶实对称矩阵,则下列命题等价（1）是正定二次型(或 是正定矩阵)；（2）的 个

9、特征值全为正；（3）的标准形的 个系数全为正；（4）的正惯性指数为 ；（5）与单位矩阵 合同（或 为 的规范形）第四十二页，本课件共有50页（6）存在可逆矩阵 ，使 ；（7）的各阶顺序主子式都为正，即 第四十三页，本课件共有50页证证 (1)(2)由实二次型的性质知，存在正交变换 ，分别取其中为 的特征值.化二次型 为标准形第四十四页，本课件共有50页相应地 ，使又由二次型的正定性可知，显然.因为 与 合同，故存在可逆矩阵 使即取 即可.第四十五页，本课件共有50页对任意 ，有 ，于是等价条件（7）在此不予证明.第四十六页，本课件共有50页例例2 2 设二次型 试问 为何值时，该二次型为正定二次型.解解 该二次型的矩阵为 第四十七页，本课件共有50页由定理3可知，要 为正定矩阵，则 解之得即当 时，该二次型为正定二次型.第四十八页，本课件共有50页定理4 若 是 阶实对称矩阵,则下列命题等价（1）是负定二次型(或 是负定矩阵)；（2）的 个特征值全为负；（3）的标准形的 个系数全为负；（4）的负惯性指数为 ；（5）与负单位矩阵 合同（或 为 的规范形）；第四十九页，本课件共有50页（6）存在可逆矩阵 ，使 ；（7）的各阶顺序主子式中，即奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，第五十页，本课件共有50页