线性代数相似矩阵与二次型二次型化为标准型的方法.pptx

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1、会计学1线性代数相似矩阵与二次型二次型化为标线性代数相似矩阵与二次型二次型化为标准型的方法准型的方法用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第1页/共34页解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例1 1第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第2页/共34页从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向

2、量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第3页/共34页4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第4页/共34页于是所求正交变换为于是所求正交变换为第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第5页/共3

3、4页解解例例2 2.22 2222 ,434232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx+=第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第6页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第7页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第8页/共34页

4、第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第9页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第10页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例例例3 3.用正交变换把用正交变换把用正交变换把用正交变换把将将将将二次型二次型二次型二次型 f f(x x11,x x22,x x33)=)=x x1122+x x2

5、222+x x3322 2 2x x11x x33 化为标准形化为标准形化为标准形化为标准形.|E E AA|=|=(1)(1)(2).2).所以所以所以所以AA的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为 11=0 0,22=1,=1,33=2.=2.代入代入代入代入(E E AA)x x=0=0求得对应的特征向量求得对应的特征向量求得对应的特征向量求得对应的特征向量 11=(1,0,1)(1,0,1)TT,22=(0,1,0)(0,1,0)TT,33=(1,0,=(1,0,1)1)TT.它们是两两正交的它们是两两正交的它们是两两正交的它们是两两正交的.解解解解:f f 的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵

6、AA=1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1,第11页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 所以所以所以所以AA的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为 11=0 0,22=1,=1,33=2.=2.代入代入代入代入(E E AA)x x=0=0求得对应的特征向量求得对应的特征向量求得对应的特征向量求得对应的特征向量 11=(1,0,1)(1,0,1)TT,22=(0,1,0)(0,1,0)TT,33=(1,0,=(1,0,1)1)TT.它们是两两正交的它们

7、是两两正交的它们是两两正交的它们是两两正交的.把它们单位化可得正交矩阵把它们单位化可得正交矩阵把它们单位化可得正交矩阵把它们单位化可得正交矩阵 QQ=0 0 1 1 0 0 0 0,2 22 22 22 21 1 1 11 11 10 0 令令令令x x=QyQy,得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 f f=y y2222+2+2y y3322.第12页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例例例4 4.求二次型求二次型求二次型求二次型f f

8、=3=3x x1122+3+3x x2222+2+2x x11x x22+4+4x x11x x33 4 4x x22x x33 在条件在条件在条件在条件x x1122+x x2222+x x3322=1=1下的最大下的最大下的最大下的最大,最小值最小值最小值最小值.由此可得由此可得由此可得由此可得AA的的的的对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值 =4 4的一个特的一个特的一个特的一个特 征向量征向量征向量征向量:11=(1,1,0)(1,1,0)TT,|E E AA|=(|=(4)4)22(+2).+2).解解解解:f f 的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵AA=3 3 1 1 2 2 1

9、 1 3 3 2 2 2 2 2 2 0 0,4 4E E AA=1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 初等初等初等初等 行行行行变换变换变换变换 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 第13页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 此外此外此外此外AA的的的的对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值 =2 2的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量 为为为为 33=(1,(1,1,1,2 2)TT,

10、得得得得 22=(1,(1,1,1)1,1)TT,由此可得由此可得由此可得由此可得A A的的的的对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值 =4 4的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量:1 1=(1,1,0)(1,1,0)T T,4 4E E A A=1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 初等初等初等初等 行行行行变换变换变换变换 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 为了求为了求为了求为了求对应于对应于对应于对应于 =4 4 的另外一个与的另外一个与的另外一个与的另外一个与 1 1 正交的特正交的特

11、正交的特正交的特 征向量征向量征向量征向量,再解方程组再解方程组再解方程组再解方程组1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 x x=0=0 第14页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 f f=4=4y y1122+4+4y y2222 2 2y y3322 由此可得正交矩阵由此可得正交矩阵由此可得正交矩阵由此可得正交矩阵QQ=且且且且x x1122+x x2222+x x3322=1=1化为化为化为化为y y1122+y y2222+y y3322=1,=1,此时此时此时此时 0

12、 0,6 61 16 6 2 22 21 12 21 13 31 13 3 1 13 31 16 6 1 1令令令令x x=QyQy,得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 f f=4=4y y1122+4+4y y222 2 2 2y y3322.=4(=4(y y1122+y y2222+y y3322)6 6y y3322=4 =4 6 6y y3322 最大值为最大值为最大值为最大值为4,4,最小值为最小值为最小值为最小值为 2.2.=6(=6(y y1122+y y2222)2(2(y y1122+y y2222+y y3322)=6()=6

13、(y y1122+y y2222)2 2 第15页/共34页1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;配方法的步骤配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.二二二二.用配方法化实二次型为标准形用配

14、方法化实二次型为标准形用配方法化实二次型为标准形用配方法化实二次型为标准形第16页/共34页解解例例1 1含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第17页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第18页/共34页所用变换矩阵为所用变换矩阵为第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标

15、准形化二次型为标准形第19页/共34页解解例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第20页/共34页再配方，得再配方，得第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第21页/共34页所用变换矩阵为所用变换矩阵为第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第22页/共3

16、4页小结小结将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少

17、，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形第23页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例例例3 3.用配方法化

18、用配方法化用配方法化用配方法化f f=4 4x x1 12 2+3+3x x2 22 2+3+3x x3 32 2+2+2x x2 2x x3 3为标准形为标准形为标准形为标准形.解解解解:f f=4 4x x1 12 2+3+3x x2 22 2+3+3x x3 32 2+2+2x x2 2x x3 3 令令令令 则则则则 f f=4 4y y1 12 2+3+3y y2 22 2+(8/3)+(8/3)y y3 32 2.第24页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例例例4 4.用

19、配方法化用配方法化用配方法化用配方法化f f=x x1122 3 3x x2222 2 2x x11x x22 6 6x x22x x33+2 2x x11x x3 3 为标准形为标准形为标准形为标准形,并求所用的可逆线性变换并求所用的可逆线性变换并求所用的可逆线性变换并求所用的可逆线性变换.解解解解:f f=x x1122 3 3x x2222 2 2x x11x x22 6 6x x22x x33+2 2x x11x x33 =x x1122 2 2x x11(x x22 x x33)+(x x22 x x33)22 (x x22 x x33)22 3 3x x2222 6 6x x22x

20、 x33 =(x x11 x x22+x x33)22 (2(2x x22+x x33)22 =y y1122 y y2222 其中其中其中其中y y=x x.1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 因而因而因而因而x x=y y.1 1 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 3/2 3/2 1/21/2 1 1 第25页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 三三三三.用初等变换法化实二次型为标准形用初等变换法化实二次型为标准形用初等变换法

21、化实二次型为标准形用初等变换法化实二次型为标准形 例例例例5 5.f f=2=2x x11x x22+2+2x x11x x3 3 6 6x x22x x33的矩阵为的矩阵为的矩阵为的矩阵为 AA=0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 1 1 3 3 0 0,AA,E E=0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 1 1 3 3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 2 2 3 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 第26页/共34页5.5 5

22、.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 3 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 (1/2)1/2)1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 2 2 3 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 1/2 1/2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 1 1 (

23、)1 1 2 2 第27页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 2 2 0 0 2 2 0 0 1/2 1/2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 1/2 1/2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 1 1 ()1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 2 2 2 2 2 2 2

24、 2 1 1 1/2 1/2 1 1 1 1 1/2 1/2 1 1 0 0 0 0 1 1 第28页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 1 1/2 1/2 1 1 1 1 1/2 1/2 1 1 0 0 0 0 1 1 (4)4)(4)4)2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1/2 1/2 1 1 1 1 1/2 1/2 1 1 0 0 0 0 1 1

25、 2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 2 2 6 6 1 1 1/2 1/2 3 3 1 1 1/2 1/2 1 1 0 0 0 0 1 1 第29页/共34页5.5 5.5 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 (4)4)2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 2 2 6 6 1 1 1/2 1/2 3 3 1 1 1/2 1/2 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 6 6 1 1 1/2 1/

26、2 3 3 1 1 1/2 1/2 1 1 0 0 0 0 1 1 令令令令CC=,1 1 1 1 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 3 3 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 6 6 则则则则CCTTACAC=,即即即即x x=CyCy把该二次型化为把该二次型化为把该二次型化为把该二次型化为 第30页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.5 5.5 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 四四四四.惯性定理惯性定理惯性定理惯性定理(Inertia LawInertia Law)定理定理定理定理.实

27、二次型实二次型实二次型实二次型f f(x x)=)=x xTTAxAx总可以通过总可以通过总可以通过总可以通过RRn n 中的可逆线性变换将其化为标准形中的可逆线性变换将其化为标准形中的可逆线性变换将其化为标准形中的可逆线性变换将其化为标准形 f f=k k11y y1122+k knny ynn22 其中其中其中其中k k11,k knn中非零的个数中非零的个数中非零的个数中非零的个数r r=秩秩秩秩(f f),),且且且且 正项的个数正项的个数正项的个数正项的个数p p与负项的个数与负项的个数与负项的个数与负项的个数q q (p p+q q=r r)都都都都 是在可逆线性变换下的不变量是在

28、可逆线性变换下的不变量是在可逆线性变换下的不变量是在可逆线性变换下的不变量.f f(或或或或AA)的的的的正惯性指数正惯性指数正惯性指数正惯性指数 f f(或或或或AA)的的的的负惯性指数负惯性指数负惯性指数负惯性指数 (positive index of inertia)(positive index of inertia)(negative index of inertia)(negative index of inertia)第31页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.5 5.5 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 例如例如例如例如 f f=2=2x

29、x11x x22+2+2x x11x x33 6 6x x22x x33 在三种不同的可在三种不同的可在三种不同的可在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形逆线性变换下可分别化为下列标准形逆线性变换下可分别化为下列标准形逆线性变换下可分别化为下列标准形:f f=3=3y y1122 (3+)(3+)y y2222+(+(3)3)y y332 2 1 1 2 2 171717171 1 2 2 f f=2=2z z1122 2 2z z2222+6+6z z3322 可见秩可见秩可见秩可见秩(f f)=3,)=3,f f的正惯性指数的正惯性指数的正惯性指数的正惯性指数p p=2,=2,f

30、 f的负惯性的负惯性的负惯性的负惯性 指数指数指数指数q q=1.=1.第32页/共34页第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.5 5.5 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 推论推论推论推论a a.实二次型实二次型实二次型实二次型f f(x x)=)=x xTTAxAx总可以通过总可以通过总可以通过总可以通过RRnn中中中中 的可逆线性变换将其化为的可逆线性变换将其化为的可逆线性变换将其化为的可逆线性变换将其化为规范形规范形规范形规范形 且规范形且规范形且规范形且规范形(normalized form)(normalized form)是唯一的是唯一的是唯一的是唯一的.推论推论推论推论b b.设设设设n n实阶对称矩阵实阶对称矩阵实阶对称矩阵实阶对称矩阵AA的秩为的秩为的秩为的秩为r r,则存在可则存在可则存在可则存在可 逆阵逆阵逆阵逆阵P P,使使使使P PTTAPAP=E Epp E Eqq OO ,其中其中其中其中p p+q q=r r.第33页/共34页