线性代数课件第一章行列式.pptx

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1、会计学1线性代数课件第一章行列式线性代数课件第一章行列式11 行列式定义用消元法解二元一次方程组：一、二阶和三阶行列式 分母为的系数交叉相乘相减：第1页/共63页定义二阶行列式：主对角线元素图示记忆法例第2页/共63页用消元法解三元线性方程组：可得的分母为(若不为零）：定义三阶行列式：图示记忆法第3页/共63页例 解例 计算三阶行列式的例子：第4页/共63页对于数码 is 和 it：逆序数：一个排列中逆序的个数，例 求 132、436512 的逆序数解逆序数为偶数的排列称为偶排列，n 阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,n组成的有序数组132 是奇排列，436512 是偶排列。但 312是偶

2、排列，634512、436521是奇排列。（二）排列与逆序数大前小后叫逆序(反序)记为：为奇数的称为奇排列。可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！第5页/共63页再分析P.5的表1-1排列1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1逆 序无322121，3131，32 32，31，21逆 序 数011223奇偶性偶偶偶奇奇奇 一个对换改变排列的奇偶性；3!个排列中，奇、偶排列各占一半。第6页/共63页定理1 对换改变排列的奇偶性。证（1）设元素 i,j 相邻：若 ij,则新排列减少一个逆序。改变了奇偶性（2）设元素 i,j 不相邻：共作了2s+1次相邻对换，由（1）

3、知，排列改变了奇偶性。第7页/共63页定理2 n 个数码构成 n!个n 级排列，奇偶排列各占一半（n!/2 个）。证设有p 个奇排列，q 个偶排列，p 个奇排列p 个偶排列q 个偶排列q 个奇排列第8页/共63页（三）n 阶行列式定义2 阶：3 阶：n 阶：1 阶：第9页/共63页几种特殊行列式：例 解 由定义，只有左下三角形行列式第10页/共63页右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：特别：对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)OO第11页/共63页例第12页/共63页的一般项还可记为或（定理1.3）(P.10)列标按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示(证明略）

4、：第13页/共63页例下列元素之积是否为四阶行列式的项？否，因为第二行有两个元素；是，因为四个元素取自不同行不同列，例 解第14页/共63页 1.2 行列式的性质复习：第15页/共63页定义：的转置行列式行变列，列变行例第16页/共63页证D的一般项：它的元素在中位于不同的行不同的列，因而在的转置中位于不同的列不同的行所以这n个元素的乘积在的转置中应为性质1所以由此性质也知：行具有的性质列也同样具有第17页/共63页性质2交换行列式的两行（列）,行列式反号。证D的一般项：交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，即行标排列中，i和s作了对换，改变了排列的奇偶性，故反号。第18页/共63页

5、推论：n 阶行列式某两行（列）对应元素全相等，则行列式等于零。证第19页/共63页性质3证记左边的行列式为D1,有注：该性质对列也成立。第20页/共63页推论：n 阶行列式某两行（列）对应元成比例，则行列式等于零。证提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，由前面的推论知行列式为零。第21页/共63页性质4 注：该性质对列也成立。证左边行列式的一般项为：可推广到 m 个数的情形。第22页/共63页性质5（保值变换）证成比例第23页/共63页例 计算行列式思路：用保值变换化成三角形行列式第24页/共63页将过程记在行列式符号的右边，用“箭头”表示。解第25页/共63页为对称行列式例为反对称行列

6、式例是反对称行列式不是反对称行列式两个重要概念第26页/共63页例 证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有 第27页/共63页用性质计算行列式=9第28页/共63页一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。第29页/共63页关于范德蒙行列式注意以下三点第30页/共63页1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.2.结果:可为正可为负可为零.3.共n(n-1)/2项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？第31页/共63页例：第32页/共63页第33页/共63页1.3第

7、34页/共63页余子式n-1阶行列式Aij=(-1)i+j Mijaij 的 代数余子式（一）按某一行（列）展开第35页/共63页定理4 按行展开按列展开即：D 等于第 i 行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。第36页/共63页证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）第37页/共63页第38页/共63页(3)四阶行列式按第三行展开的结果n阶行列式按第i行展开：第39页/共63页例2 计算行列式解 按第三列展开其中：第40页/共63页所以第41页/共63页解2按第二行展开按第一列展开第42页/共63页例 讨论当为何值时解第43页/共63页所以，当第44页/共63页例4 求证第45

8、页/共63页证按第1列展开第46页/共63页n-1阶第47页/共63页第48页/共63页第49页/共63页第50页/共63页即：第 i 行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。定理5 证0=i 行s 行第51页/共63页综合定理4，定理5对于行：对于列：第52页/共63页1.4第53页/共63页其解：记系数行列式第54页/共63页讨论 n 个方程、n 个未知量的线性方程组的解一、非齐次线性方程组系数行列式：第55页/共63页用常数项列替换 D 的第 j 列，其余列不变。记6911第56页/共63页定理5（克莱姆法则）对于方程组（1），若有唯一解，且第57页/共63页证明思路：1 验证满足

9、各方程（存在性）；2 （1）的 解定能表成形式（唯一性）。所用结果：证1 将 Dj 按第 j 列展开代入第1个方程的左端将4第58页/共63页左（证b1)()D按第1行展开00满足第1个方程第59页/共63页类似验证第2，n个方程也满足。是方程组（1）的解。2 由1知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+=b1a21x1+a22x2a2nxn+=b2an1x1+an2x2annxn+=bn用D的第j列元素的代数余子式乘两边AnjA2jA1jA1j这证明了（1）有解。A1jA1jA2jA2jA2jAnjAnjAnj对应相加整理第60页/共63页由定理4和定理5证毕例第61页/共63页二、齐次线性方程组齐次线性方程组一定有解（零解 xj=0)，现在讨论在什么条件下有非零解。定理6证2 由1可得。例 定理7第62页/共63页