线性代数课件第1章行列式.pptx

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1、会计学1线性代数课件第线性代数课件第1章行列式章行列式2第第1章章 行列式行列式1.1 全排列及其逆序数第1页/共51页3n n1.1.1 排列与逆序n n自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序n n定义定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 n n若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）第2页/共51页4n n计算排列逆序数的方法：n n设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大

2、且排在 前面的数有 个，就说这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数，即第3页/共51页5n n例例1 求下列排列的逆序数：n n（1）；（2）n n解解 此排列为偶排列n n（2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定第4页/共51页6n n1.1.2 对换 n n定义定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换n n定理定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶性n n由定理1可得下面的推论n n推论推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数

3、第5页/共51页7n n推论推论2 全体 元排列（）的集合中，奇、偶排列各占一半 第6页/共51页81.2 行列式的概念第7页/共51页9n n1.2.1 1.2.1 二、三阶行列式二、三阶行列式n n一、二阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式n n求解二元一次方程组求解二元一次方程组求解二元一次方程组求解二元一次方程组 (1.2.1)(1.2.1)引入符号引入符号引入符号引入符号 称称称称 为二阶行列式（为二阶行列式（为二阶行列式（为二阶行列式（1.2.11.2.1）的系数行列式），它代）的系数行列式），它代）的系数行列式），它代）的系数行列式），它代表一个数，简记为表一个数，

4、简记为表一个数，简记为表一个数，简记为 ，其中数，其中数，其中数，其中数 称为行列式称为行列式称为行列式称为行列式 的第的第的第的第 （行标）行、第（行标）行、第（行标）行、第（行标）行、第 （列标）列的元（列标）列的元（列标）列的元（列标）列的元素素素素第8页/共51页10n n当 时，求得方程组(1.2.1)的解为 ，根据二阶行列式的定义，方程组根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的解中的分子也可用二阶行列式表示若的分子也可用二阶行列式表示若记记其中其中 表示将表示将 中第中第 列换成列换成(1.2.1)式式右边的常数项所得到的行列式右边的常数项所得到的行列式 ，其中第9页/共

5、51页11n n于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解，第10页/共51页12n n二、三阶行列式二、三阶行列式 求解三元一次方程组 (1.2.2)引入符号引入符号称为三阶行列式（称为三阶行列式（1.2.2)的系数行的系数行列式）列式）第11页/共51页13n n三阶行列式的对角线法则：n n当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解 ，其中 第12页/共51页14n n三阶行列式具有以下特点：（1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成，而第

6、二个下标（列标）排列成 ，它是自然数 的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列：；带负号的三项列标排列是：由上节知，前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排列的逆序数；第13页/共51页15n n（3）因 共有 个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和 因此，三阶行列式可以写成其中 为排列 的逆序数，即 ，上式表示对 三个数的所有排列 求和 第14页/共51页16n n1.2.2 阶行列式的定义n n定义定义3称由 个数 排成 行列组成的记号为 阶行列式，简记为 第15页/共51页17n n 阶行列式可表示为其

7、中表示对 的所有排列取和，数 称为行列式 的元素n n定理定理2 阶行列式也可定义为其中 为行标排列 的逆序数第16页/共51页18n n定义定义4对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式 阶上三角行列式 第17页/共51页19n n同理，阶下三角行列式 第18页/共51页201.3 行列式的性质第19页/共51页21转置行列式:设将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为第20页/共51页22 称 为 的转置行列式显然 也是 的转置行列式，即性质性质1 行列式与其转置行列式相等，即性质性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号推论推论 行列式有两行（列）相同，则此行

8、列式为零性质性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式第21页/共51页23n n推论推论1 行列式的某一行（列）中行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面式符号的外面n n推论推论2行列式的某一行（列）中行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零所有元素为零，则此行列式为零n n性质性质4 行列式中有两行（列）的行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为元素对应成比例，则此行列式为零零n n性质性质5 若行列式中某一行（列）若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列的元素都是两数之和，则

9、此行列式等于两个行列式之和式等于两个行列式之和 第22页/共51页24n n即第23页/共51页25n n性质性质6 将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变即第 行乘 加到第 行上，有第24页/共51页26 为叙述方便，引进以下记号：n n（1）交换行列式的 两行（列），记为 ；n n（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；n n（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为 第25页/共51页27n n例例1 计算n n解解 第26页/共51页28例例2 计算解解 第27页/共51页29n n例例3计算 n

10、n解解从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列第28页/共51页30第29页/共51页31n n例例4计算 阶行列式解解从第1行开始前行乘加到后行上，得第30页/共51页32 其中记号“”表示全体同类因子的乘积第31页/共51页33 1.4 行列式按行（列）展开第32页/共51页341.4.1 行列式按某一行（列）展开定义定义5 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行和第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ；称为元素 的代数余子式引理引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零，则此行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即第33页/共51页35n

11、 n定理定理3 行列式等于它的任意一行（列）的各n n或第34页/共51页36n n例例1 计算n n解解 第35页/共51页37n n从而解得第36页/共51页38n n例例2计算n n解解按第1行展开，有第37页/共51页39n n以此作递推公式，得第38页/共51页40n n例例3证明范德蒙德（Vander-monde）行列式n n证证对行列式阶数用数学归纳法当 时，第39页/共51页41n n结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立n n从第 行开始，后行减前行的 倍，得n n按第1列展开，并提出每一列的公因子 ，第40页/共51页42n n有n n上式右

12、端的行列式是一个 阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘积，其中 ，即第41页/共51页43n n推论推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即n n或第42页/共51页44n n结合定理3及推论，得到代数余子式的重要性质：或其中第43页/共51页45 1.5 克拉默（Cramer）法则第44页/共51页46 设含有 个未知数，个方程的线性方程组为 (1.5.1)阶行列式 称为方程组(1.5.1)的系数行列式第45页/共51页47n n定理定理5（克拉默法则）（克拉默法则）若线性方程组(1.5.1)的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (1.5

13、.2)其中 是将系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式，即第46页/共51页48n n克拉默法则等价地指出：如果方程组(1.5.1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式 n n当方程组(1.5.1)的右端常数项 全为零时，即 (1.5.3)称(1.5.3)为齐次线性方程组当 不全为零时，称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组第47页/共51页49n n显然，齐次线性方程组(1.5.3)必定有解称之为零解，若解 不全为零，则称为非零解定理定理6若齐次线性方程组(1.5.3)的系数行列式 ，则它只有零解（没有非零解）反之，若齐次线性方程组(1.5.3)有非零解，则它的系数行列式 第48页/共51页50n n例例 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解n n解解由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 ，而第49页/共51页51由 ，解得 、或 不难验证，当 、或 时，原齐次线性方程组确有非零解 第50页/共51页