线控状态空间表达式的解.pptx

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1、会计学1线控状态空间表达式的解线控状态空间表达式的解 一一一一.线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解1 1、线性齐次状态方程解的定义线性齐次状态方程解的定义2 2、线性齐次状态方程解的物理意义线性齐次状态方程解的物理意义3 3、状态转移矩阵的状态转移矩阵的引出引出引出引出 返回主页返回主页第1页/共35页1.1.1.1.一阶齐次微分方程组解的定义一阶齐次微分方程组解的定义一阶齐次微分方程组解的定义一阶齐次微分方程组解的定义 一阶齐次微分方程：一阶齐次微分方程：解为：解为：一阶齐次微分方程组：一阶齐次微分方程组：，解为：解为：返回返回

2、推导第2页/共35页2.2.齐次方程解的物理意义齐次方程解的物理意义齐次方程解的物理意义齐次方程解的物理意义 由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解 确定确定的，状态向量在任意时刻的，状态向量在任意时刻t1t1的取值可由的取值可由 获得。并可获得。并可以在以以在以x x（t t）向量为坐标系的向量为坐标系的n n维状态空间里绘制系统状态随时间维状态空间里绘制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹运动的轨迹，称为状态轨迹。返回返回第3页/共35页 3.3.3.3.状态转移矩阵的引出状态转移矩阵的引出状态转移矩阵的引出状态转移矩阵的引出 系统由初始条件引起的运

3、动的规律及特性主系统由初始条件引起的运动的规律及特性主要取决与要取决与e eAtAt，e eAtAt是由系统矩阵是由系统矩阵A A唯一确定的。系唯一确定的。系统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小形式有关与系统的结构及小形式有关与系统的结构及e eAtAt的形式也密切相的形式也密切相关，定义关，定义 为系统状态转移矩阵。为系统状态转移矩阵。显然，状态空间表达式的求解关键在于求取系显然，状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态转移矩阵。统的状态转移矩阵。返回返回 第4页/共35页二二二二.状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵1 1、状态转

4、移矩阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质2 2 2 2、几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵 3 3、一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法 返回主页返回主页返回主页返回主页第5页/共35页 (1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)状态转移矩阵的逆为时间的逆转。状态转移矩阵的逆为时间的逆转。(6)(6)(7)(7)(8)(8)若若 ，则有，则有注：上述性质由定义导出。注：上述性质由定义导出。p59 p59 返回返回1 1.状态转移矩

5、阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质第6页/共35页 2.2.几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵 （1 1）若若 为对角阵，为对角阵，则则 （2 2）若若 T T-1-1AT=AT=为对角阵，为对角阵，则则 （3 3）A=A=为约旦阵，为约旦阵，则则 书上书上p61p61页页2-152-15，2-162-16，2-172-17，2-182-18，2-192-19第7页/共35页（4 4）T T-1-1AT=AT=为约旦阵，为约旦阵，则则 （5 5）若若 ，则则 举例举例11：若若 则则 举例举例22

6、：若若 则则 返回返回第8页/共35页3.3.一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法 (1)(1)利用定义计算利用定义计算(2)(2)利用利用LaplaceLaplace变换计算变换计算 (3)(3)化化A A阵为对角型或约旦标准型计算阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）（利用状态转移矩阵的性质计算）n n求特征值和特征向量求特征值和特征向量n n由变换阵由变换阵P P化化A A为对角阵或约旦标准型为对角阵或约旦标准型n n求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵n n求原矩阵求原矩

7、阵A A的状态转移矩阵。的状态转移矩阵。返回返回 推导第9页/共35页三三三三.线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解1 1、非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式n n直接求解直接求解n nLaplaceLaplace变换求解变换求解 2 2、典型输入下典型输入下典型输入下典型输入下非齐次方程解非齐次方程解非齐次方程解非齐次方程解n n脉冲输入脉冲输入n n阶跃输入阶跃输入n n斜坡输入斜坡输入 返回主页返回主页返回主页返回主页第10页/共35页 已知系统状态空间表达式为：已知系统状态空间表达

8、式为：n n直接法积分求解直接法积分求解直接法积分求解直接法积分求解 初始状态引起的解：初始状态引起的解：输入作用引起的解：输入作用引起的解：由输出方程可以求出系统的输出解。由输出方程可以求出系统的输出解。1.1.1.1.非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式第11页/共35页 n n LaplaeLaplae变换求解变换求解 状态方程两边同时求拉氏变换得：状态方程两边同时求拉氏变换得：系统的状态与输出的形式取决与系统结构系统的状态与输出的形式取决与系统结构初始条件和输入信号的形式，所以在系统为初始条件和输入信号的形式，所以在系统为典型输入信号作用时的状态解和

9、输出解的形典型输入信号作用时的状态解和输出解的形式可以依据上述通式导出。式可以依据上述通式导出。返回返回 第12页/共35页 2 2 2 2 典型输入下非齐次方程的解典型输入下非齐次方程的解典型输入下非齐次方程的解典型输入下非齐次方程的解 （1 1 1 1）脉冲脉冲脉冲脉冲 输入下的解为：输入下的解为：输入下的解为：输入下的解为：（2 2 2 2）阶跃阶跃阶跃阶跃 输入下的解为：输入下的解为：输入下的解为：输入下的解为：(使用条件使用条件使用条件使用条件A A A A的逆存在的逆存在的逆存在的逆存在)（3 3 3 3）斜坡）斜坡）斜坡）斜坡 输入下的解为：输入下的解为：输入下的解为：输入下的解

10、为：(使用条件使用条件使用条件使用条件A A A A的逆存在的逆存在的逆存在的逆存在)注意：线性系统的输出输入特性。注意：线性系统的输出输入特性。返回返回第13页/共35页四四四四.线线线线性时变系统状态方程的解性时变系统状态方程的解性时变系统状态方程的解性时变系统状态方程的解 请参考书上内容自学，请参考书上内容自学，本课程对此不做要求。本课程对此不做要求。返回主页返回主页 第14页/共35页五五五五.离离离离散系统状态方程的解散系统状态方程的解散系统状态方程的解散系统状态方程的解1 1 1 1、差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法n n迭代法迭代法

11、n nZ Z变换法变换法2 2、引入状态转移矩阵，简化离散引入状态转移矩阵，简化离散引入状态转移矩阵，简化离散引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解系统状态方程的求解系统状态方程的求解系统状态方程的求解 返回主页返回主页第15页/共35页1.1.1.1.差分方程组的求解方法（差分方程组的求解方法（差分方程组的求解方法（差分方程组的求解方法（1 1 1 1）（1）迭代法迭代法 得系统状态的迭代计算式为：注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。与连续状态方程的求解公式在形式上类似第16页/共35页（2 2）z z 变换法变换法变换法变换法 注：计算结果为封闭的解析形式。注：计算

12、结果为封闭的解析形式。返回返回 第17页/共35页2.2.引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解（1 1）状态转移矩阵的定义及计算：）状态转移矩阵的定义及计算：）状态转移矩阵的定义及计算：）状态转移矩阵的定义及计算：第18页/共35页（2 2）G G 阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算G G为对角型时为对角型时 G G为约旦型为约旦型 G G可化对角

13、型（变换阵为可化对角型（变换阵为P P）G G可化约旦型（变换阵为可化约旦型（变换阵为P P）第19页/共35页（3 3 3 3）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质 返返回回第20页/共35页六六六六.连续系统的离散化连续系统的离散化连续系统的离散化连续系统的离散化 1.连续系统离散化的意义连续系统离散化的意义 意义意义2.连续系统离散化的假设条件连续系统离散化的假设条件(1)(1)离散化按等采样周期处理；离散化按等采样周期处理；(2)(2)采样脉冲为理想脉冲信号；采样脉冲为理想脉冲信号；(3)(3)输入向量输入向量u u（t t）只在采样点变化，两

14、相邻采样点）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变；之间的输入由零阶保持器保持不变；(4)(4)采样周期的选择满足香农定理。采样周期的选择满足香农定理。第21页/共35页 3.线性定常系统状态方程的离散线性定常系统状态方程的离散化方法化方法(1)(1)化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程 连续系统状态方程：连续系统状态方程：连续系统状态方程：连续系统状态方程：理论理论理论理论推导可得推导可得推导可得推导可得：取：取：取：取 时，时，时，时，T T T T为采样周期，为采样周期，为采样周期，为采样周

15、期，则离散化以后的状态空间表达式为：则离散化以后的状态空间表达式为：则离散化以后的状态空间表达式为：则离散化以后的状态空间表达式为：例例例例8888：P89 P89 P89 P89 例例例例2-122-122-122-12。例题第22页/共35页（3 3）近似离散近似离散近似离散近似离散化化 连续系统状态方程：连续系统状态方程：连续系统状态方程：连续系统状态方程：当当当当T T T T足够小时，有足够小时，有足够小时，有足够小时，有代入代入代入代入连续系统状态方程连续系统状态方程连续系统状态方程连续系统状态方程中得：中得：中得：中得：离散后的状态空间表达式为：离散后的状态空间表达式为：离散后的

16、状态空间表达式为：离散后的状态空间表达式为：（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）例例例例11111111：P92 P92 P92 P92 例例例例2-142-142-142-14（2 2 2 2）。）。）。）。返回主页第23页/共35页4 4 4 4、线线性性时时变变系系统统状状态态方方程程的的离离散化散化 （自学）自学）返回主页返回主页返回主页返回主页 第24页/共35页1.1.设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为

17、 。其中其中:n n求系统的状态转移矩阵。求系统的状态转移矩阵。n n求零输入、初始状态为求零输入、初始状态为时，系统的状态解和输出解。时，系统的状态解和输出解。n n求零状态、输入为单位阶跃信号时系统的状态解和输出解。求零状态、输入为单位阶跃信号时系统的状态解和输出解。单元练习单元练习2第25页/共35页2 2、检验下列矩阵是否为系统的状态转移矩阵。若是，求对应、检验下列矩阵是否为系统的状态转移矩阵。若是，求对应的矩阵的矩阵A A。（1 1）（2 2）第26页/共35页1阶齐次微分方程的解阶齐次微分方程的解返回返回第27页/共35页第28页/共35页Laplace变换法变换法返回第29页/共

18、35页（2 2）化被控对象的连续状态方程为离散状态方程，根据系统反馈化被控对象的连续状态方程为离散状态方程，根据系统反馈化被控对象的连续状态方程为离散状态方程，根据系统反馈化被控对象的连续状态方程为离散状态方程，根据系统反馈 结构及开关位置求闭环系统的离散状态空间表达式结构及开关位置求闭环系统的离散状态空间表达式结构及开关位置求闭环系统的离散状态空间表达式结构及开关位置求闭环系统的离散状态空间表达式 例例例例9999：P92 P92 P92 P92 例例例例2-142-142-142-14（1 1 1 1）。）。）。）。解：求连续被控对象的状态空间表达式解：求连续被控对象的状态空间表达式解：求

19、连续被控对象的状态空间表达式解：求连续被控对象的状态空间表达式 求状态转移矩阵求状态转移矩阵求状态转移矩阵求状态转移矩阵 T=0.1r（t）e（t）e*（t）u（t）y（t）第30页/共35页求离散后被控对象的状态空间表达式为求离散后被控对象的状态空间表达式为求离散后被控对象的状态空间表达式为求离散后被控对象的状态空间表达式为由系统反馈结构得：由系统反馈结构得：由系统反馈结构得：由系统反馈结构得：代入代入代入代入T=0.1T=0.1T=0.1T=0.1秒得：秒得：秒得：秒得：第31页/共35页 (2)(2)根据离散系统结构方框图求脉冲传递函数及状态空间表达式根据离散系统结构方框图求脉冲传递函数

20、及状态空间表达式根据离散系统结构方框图求脉冲传递函数及状态空间表达式根据离散系统结构方框图求脉冲传递函数及状态空间表达式 例例例例10101010：P92 P92 P92 P92 例例例例2-14 2-14 2-14 2-14 （另外一种解题方法）（另外一种解题方法）（另外一种解题方法）（另外一种解题方法）分子和分母整理成降幂排列的方式后直接写出离散后的状态分子和分母整理成降幂排列的方式后直接写出离散后的状态分子和分母整理成降幂排列的方式后直接写出离散后的状态分子和分母整理成降幂排列的方式后直接写出离散后的状态 空间表达式。空间表达式。空间表达式。空间表达式。返回第32页/共35页连续系统的离

21、散化的意义连续系统的离散化的意义连续系统的离散化的意义连续系统的离散化的意义 线性连续系统的状态方程为线性连续系统的状态方程为1 1阶微分方程组。可阶微分方程组。可采用解析法求解。也可以采用数值解法求解，采用解析法求解。也可以采用数值解法求解，此时对微分方程做近似解，给出离散采样时此时对微分方程做近似解，给出离散采样时刻的状态方程解的近似值。利用计算机对线刻的状态方程解的近似值。利用计算机对线性定常连续系统求数值解是现代科学技术研性定常连续系统求数值解是现代科学技术研究中常用的一种方法，不但方便而且精确。究中常用的一种方法，不但方便而且精确。由于实际工业生产中线性定常连续系统的被由于实际工业生产中线性定常连续系统的被控对象需要在线控制等，必须将连续系统的控对象需要在线控制等，必须将连续系统的状态方程化为离散系统的状态方程，即对矩状态方程化为离散系统的状态方程，即对矩阵微分方程化成差分方程，这就是连续系统阵微分方程化成差分方程，这就是连续系统的离散化。的离散化。返回第33页/共35页第34页/共35页