线性代数06矩阵的秩.pptx
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1、会计学1线性代数线性代数06矩阵的秩矩阵的秩2第三节 矩阵的秩一、概念的引入一、概念的引入用初等变换把矩阵 化为标准形.解第1页/共36页3问题:在 的标准形中,左上角的单位矩阵的 阶数是否唯一呢?在第一节中,已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的,完全由 确定.这个数也就是 的行阶梯形中非零行的行数,这个便是矩阵 的秩.第2页/共36页4二、子式二、子式定义 在 矩阵 中,任取 行与 列 ,位于这些行列交叉处的 个元素,不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式,称为矩阵 的 阶子式.例如 是 的一个2阶子式,的2阶子式共有 个.一般地,矩阵 的 阶子式共有 个.第3页/
2、共36页5三、矩阵的秩三、矩阵的秩定义 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ,且所有 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 称为矩阵 的最高阶非零子式,数 称为矩阵的秩,记作 或 .规定:零矩阵的秩等于0.例1 求矩阵 和 的秩.第4页/共36页6在 中,容易看出一个2阶子式 的3阶子式只有一个因此在 中,由于它是行阶梯形矩阵,容易看出它的4阶子式全为零,而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零,因此这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式第5页/共36页7说明根据行列式的展开法则知,在 中当所有 阶子式全为零时,所有高于 阶的子式也全为零,因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式
3、;矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶数,这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征;当矩阵 中有某个 阶子式不为0,则 当矩阵 中所有 阶子式都为0,则第6页/共36页8矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数,这也可以作为矩阵的秩定义,但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于 阶矩阵 ,当 时,称为满秩矩阵;否则称为降秩矩阵.由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ,当 时,所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称降秩矩阵.第7页/共36页9四、四、矩阵的秩的计算矩阵的秩的计算定理3 若 ,则即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用 初等行变
4、换变成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明第8页/共36页10例2 设求矩阵 的秩,并求 的一个最高阶非零子式.解析:根据定理3,为求 的秩,只需将 化为行阶梯形矩阵.第9页/共36页11所以大多情况下只用初等行变换,不用初等列变换第10页/共36页12再求 的一个最高阶非零子式.因此 在 中,找一个3阶非零子式是比较容易的,另外注意到,的子式都是 的子式,所以易求得的一个最高阶非零子式第11页/共36页13说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法,另外 观察法也是常用的方法.第12页/共36页14例3 设已知 ,求 与 的值.解析:这是一道
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