有限元法应力张量.pptx

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1、会计学1有限元法应力张量有限元法应力张量外力外力:体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）体力体力 弹性体内单位体积上所受的外力弹性体内单位体积上所受的外力 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOf1、f2、f3为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：(1)f 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)f 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3)f1、f2、f3的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。第第3讲讲 应力张量应力张量

2、3.1外力与应力矢量外力与应力矢量（1）第1页/共41页面力面力 作用于物体表面单位面积上的外力作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投面力矢量在坐标轴上投影影单位：单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：说明：(1)T 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)T 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。（2）第第3讲讲 应力张量应力张量3.1外力与应力矢量外力与应力矢量第2页/共41页3、应力、应力(1)一点应力的概念一点应力的概念S

3、F内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P(1)P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分应力分量量n(法线法线)应力的法向分应力的法向分量量 正应力正应力应力的切向分应力的切向分量量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的（3）第3页/共41页应力矢量应力矢量T(n)

4、的下标的下标n表示微分面表示微分面的外法线方向，它用于反映应力作的外法线方向，它用于反映应力作用面的方向。用面的方向。(5)式中式中n n和和s s分别为微分面的单位法向量和分别为微分面的单位法向量和单位切向量单位切向量(6)T为应力矢量为应力矢量T(n)的大小，称为的大小，称为总应力总应力分别为应力矢量分别为应力矢量T(n)沿三个坐标方向的分量沿三个坐标方向的分量（4）(7)第4页/共41页3.2 应力张量应力张量通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：i,j,

5、k为为x,y,z轴的单位矢量轴的单位矢量,则各面的应力矢则各面的应力矢量可表示为量可表示为第5页/共41页e1面的应力：面的应力：e2面的应力：面的应力：e3面的应力：面的应力：三个微分面的外法向单位矢量三个微分面的外法向单位矢量e1,e2,e3.对应的应力矢量为对应的应力矢量为（8）第6页/共41页以上以上9个分量，构成个分量，构成应力张量应力张量在笛卡儿坐标系下的分量在笛卡儿坐标系下的分量张量表示张量表示 用用1、2、3取代下标取代下标x、y、z，的第一个下标表示应力分量的作用面，第二个下标表示应的第一个下标表示应力分量的作用面，第二个下标表示应力分量的方向。力分量的方向。（9）第7页/共

6、41页过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂直的过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂直的微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应力张量表微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应力张量表示出来。故应力张量完全确定了一点的应力状态。示出来。故应力张量完全确定了一点的应力状态。应力张量也满足张量的变换规律应力张量也满足张量的变换规律第8页/共41页弹性体的应力边界条件：弹性体的应力边界条件：当面当面abc为为物体的边界面时，则其应力分量物体的边界面时，则其应力分量成为面力分量成为面力分量由由其中：其中：第9页/共41页3.3平衡方程和运动方程平衡方程和运动方程运动方程运动方程 应力的变化并不是

7、任意的，应力张量的变化必须满足平衡条件或应力的变化并不是任意的，应力张量的变化必须满足平衡条件或动量定理和动量矩定理。动量定理和动量矩定理。对任一块体积对任一块体积V,表面为表面为S,作用在作用在V上的上的体积力、惯性力和面力的合力必须为零。即体积力、惯性力和面力的合力必须为零。即（10）V的任意性的任意性（11a）分量形式分量形式 若若 平衡方程平衡方程（11b）矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。第10页/共41页作用在作用在V上的动量矩之和为零，即上的动量矩之和为零，即（12）0 V的任意性的任意性第11页/共41页应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个

8、是独立的。这一结应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个是独立的。这一结论称为论称为剪应力互等定理剪应力互等定理。剪应力互等定理剪应力互等定理：过物体内任意一点的两个相互垂直的微分面：过物体内任意一点的两个相互垂直的微分面上，和这两个微分面的交线垂直的两个剪应力相等。上，和这两个微分面的交线垂直的两个剪应力相等。即即（13)独立的应力分量有六个，独立的应力分量有六个，而运动方程或平衡方程只而运动方程或平衡方程只有三个。所以在一般的情有三个。所以在一般的情况下，弹性力学问题是超况下，弹性力学问题是超静定的，要确定应力分量静定的，要确定应力分量必须补充其它条件。必须补充其它条件。第12页/共41页

9、在主平面上，在主平面上，正应力取极值、剪应力为零正应力取极值、剪应力为零。3.4主应力主应力如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直，即这如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直，即这一微分面上只有正应力而无剪应力，则这一微分面称为一微分面上只有正应力而无剪应力，则这一微分面称为主平面主平面，其法线方向称为其法线方向称为应力主方向应力主方向，其上的应力称为，其上的应力称为主应力主应力。如果三。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系主坐标系。（14)n主平面上的单位法向量，主平面上的单位法向量，主应力，主平面上的应力矢量主应

10、力，主平面上的应力矢量主应力主应力是应力张量是应力张量 的特征值，的特征值，n是是 的特征矢量的特征矢量谱定理可知，必有三个相互垂直的应力主方向，对应的谱定理可知，必有三个相互垂直的应力主方向，对应的有三个主应力有三个主应力因此必定存在一个主坐标系。因此必定存在一个主坐标系。第13页/共41页xyzCABn设主平面存在，其外法线为设主平面存在，其外法线为n，方向余弦：方向余弦：n1，n2，n3则：其上应力：则：其上应力：在在x，y，z轴上的投影为：轴上的投影为：代代入入主应力的确定：主应力的确定：第14页/共41页有：方向余弦的关系：有：方向余弦的关系：故故n1，n2，n3不同时为零，有非零解

11、的条件：不同时为零，有非零解的条件：(15)其中：其中：该求解主应力的方程该求解主应力的方程为为应力状态的特征方程应力状态的特征方程或：或：可以表示为矩阵形式，三个矩阵相加第15页/共41页求解（求解（15）式：由代数方程理论：设方程有实根，为式：由代数方程理论：设方程有实根，为1、2、3，则方程可写为：则方程可写为：展开比较后：展开比较后：用主应力表示的用主应力表示的应力不变量应力不变量(物体内任一点由应力分量所组成的不随坐标变换而改变的量)（16）第16页/共41页应力张量不变量及其应用应力张量不变量及其应用由应力张量的由应力张量的三个主不变量三个主不变量可确定应力张量状态特征可确定应力张

12、量状态特征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由此定义了此定义了应力的状态应力的状态。判断两个判断两个应力的状态应力的状态是否相同，可以通过判断对应的是否相同，可以通过判断对应的三个主不变量三个主不变量是否相同来实现。是否相同来实现。第17页/共41页 试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？例例 题题第18页/共41页对于对于同理，对于同理，对于结论结论两个应力张量表示同一应力状态。例例 题题 解解 答答第19页/共41页3.5最大剪应力最大剪应力（1）三个主应力相等）三个主应力相等 由由(4.26)得得n=0,过点上的任何微分面上均

13、无剪应力。任何方过点上的任何微分面上均无剪应力。任何方向都是主方向向都是主方向.(17)由谱定理由谱定理在法向单位矢量为在法向单位矢量为n的微分面上的微分面上(18)(19)(20)求一点处的最大剪应力及其作用的微分面求一点处的最大剪应力及其作用的微分面第20页/共41页（3）当）当n是是ni的函数的函数,三个三个ni不独立不独立（2）三个）三个 中有两个相等。中有两个相等。(a)令令得得由由最大剪应最大剪应力力最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的任何微分面上任何微分面上,这个圆锥面与这个圆锥面与x3轴轴 成角成角 第21页/共41页(b)引入拉格朗日乘

14、子法来求引入拉格朗日乘子法来求 的极值的极值(c)为拉氏乘子为拉氏乘子（对（对j不求和）不求和）（对（对j不求和）不求和）式式(c)为为即即第22页/共41页(d)n是单位矢量是单位矢量,若若ni全不为零全不为零与假设矛与假设矛盾盾ni中只能有一个为零且必须一个为零中只能有一个为零且必须一个为零若若由由(d)第23页/共41页代入代入(4.25),得得同理得同理得相应的正应力与剪应力相应的正应力与剪应力第24页/共41页规定规定 故最大剪应力是故最大剪应力是 如图如图4.7所示所示 第25页/共41页3.6球应力张量和偏应力张量球应力张量和偏应力张量球应力张量球应力张量若若设设球应力张量的三个

15、主值相等球应力张量的三个主值相等,任意方向都是它的主方向任意方向都是它的主方向应力张量的第一不变量应力张量的第一不变量球应力张量球应力张量偏应力张量偏应力张量（4.27a）或或（4.27b）第26页/共41页即应力张量分解为即应力张量分解为偏应力张量或应力偏量偏应力张量或应力偏量第27页/共41页若若n是应力主方向的单位矢量是应力主方向的单位矢量,由由(4.20)得得(4.20)（4.28）用用S表示偏应力张量的主值表示偏应力张量的主值,则则（4.29）偏应力张量的主方向和应力主方向一致偏应力张量的主方向和应力主方向一致,偏应力张量的主值为偏应力张量的主值为（4.30）偏应力张量的特征方程偏应

16、力张量的特征方程第28页/共41页偏应力张量的三个不变偏应力张量的三个不变量量主应力空间中的偏应力张量的三个不变量主应力空间中的偏应力张量的三个不变量(4.31)也可表示为也可表示为(4.32)第29页/共41页为偏应力张量的主值，其方向与应力张量的主方向一致为偏应力张量的主值，其方向与应力张量的主方向一致应力张量分解的意义应力张量分解的意义经常用到的其它表达式经常用到的其它表达式对金属材料，球形应力张量与塑性变形无关，塑性变形是由对金属材料，球形应力张量与塑性变形无关，塑性变形是由偏应力张量引起的偏应力张量引起的第30页/共41页应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此

17、时的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准形的问题相同。可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。1）主应力）主应力应力状态特征方程应力状态特征方程（1）齐次线性应力平衡方程组齐次线性应力平衡方程组（2）方向余弦条件方向余弦条件（3）3.7 几个重要的应力计算几个重要的应力计算第31页/共41页2）最大剪应力）最大剪应力与正应力一样，剪应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值最大的剪应力为最大剪应力，记为 。塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与剪应力有关。取应力主轴为坐标轴

18、，则任意斜微分面上的切应力为最大切应力计算公式最大切应力计算公式第32页/共41页以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面体平面，八面体平面上的应力称为八面体应力。八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究一个应力状态有重要作用。3）八面体应力）八面体应力Q123第33页/共41页八面体平面的方向余弦八面体平面的方向余弦Q123第34页/共41页3）等效应力）等效应力2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的

19、参数。1）取八面体切应力绝对值的 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应力或应力强度，用 表示。等效应力定义式等效应力定义式第35页/共41页对于对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为例例 题题1)画出该点的应力单元体；画出该点的应力单元体；2)试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；3)求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。第36页/共41页例例 题题 解解 答答1)画出该点的应力单元体画出该点的应力单元体Oxyz5-55-5-5第37页/共41页2)用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例例 题题 解解 答答计算应力张量的三个主不变量应力状态特征方程第38页/共41页例例 题题 解解 答答齐次线性应力齐次线性应力平衡方程组平衡方程组方向余弦条件方向余弦条件代入数据将各主应力代入方程组（将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向）可得对应的主方向解之第39页/共41页3)最大切应力最大切应力八面体应力八面体应力等效应力等效应力第40页/共41页