线性代数—向量组的秩.pptx

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1、会计学1线性代数线性代数向量组的秩向量组的秩2例如，设有向量组第1页/共17页3 一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.定理证明首先,()是()的部分组,当然可以被()线性表出.其余的向量从而()可由()线性表出.因此()与()等价.定理第2页/共17页4 由等价的传递性可知,一个向量组的任两个极大无关组彼此等价,由前面性质6可知,向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同。定义 向量组的任一极大无关组所包含的向量的个数称为向量组的秩。(6)两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.规定：只含零向量的向量组的秩为零.性质：(1)若向量组()能被向量组()线性表出,则秩()

2、秩().(2)等价的向量组必有相同的秩.第3页/共17页5定义矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。定理矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩。=证略由于矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩，=将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。基本问题：给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。第4页/共17页6例1解设向量组求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.只做行变换，化为阶梯形第5页/共17页7第6页/共17页8第7页/共17页9第8页/共17页10 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示 例2解第9页/共17页11秩为2。第10页/共17页12定理设矩阵A,B可以相乘,则有证即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合,若向量组()能被向量组()线性表出,则秩()秩().同时，第11页/共17页13推论若P,Q为可逆矩阵,则有证或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。第12页/共17页14例3证其中第13页/共17页15所以A可逆，有相同的秩。第14页/共17页16例4证第15页/共17页17练习：练习：练习：练习：P141 习题三第16页/共17页