线性代数总结.pptx

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1、会计学1线性代数总结线性代数总结由此得向量组由此得向量组 的秩为的秩为2，且，且 是一个是一个极大无关组。于是，生成子空间极大无关组。于是，生成子空间 的维的维数是数是2，且，且 是它的一个基。是它的一个基。构造向量构造向量 ，由于，由于 第1页/共22页 线性无关，即可作为线性无关，即可作为 R4 的一个基。的一个基。因此，只需取因此，只需取 ，则，则第2页/共22页例例3.2.73.2.7 已知已知 R3 中的三个向量中的三个向量（1）证明：）证明：是是 R3 的一个基；的一个基；（2）求向量）求向量 关于基关于基 的坐标的坐标 解解（1）只须证只须证 线性无关；线性无关；（2）设设把把

2、均表示为列向量，则有均表示为列向量，则有 第3页/共22页故故 关于基关于基 的坐标为的坐标为（3,-1,-1）。）。第4页/共22页称上面两式为称上面两式为基基 到基到基 的的基基变换公式变换公式。称称 A 为为由基由基 到基到基 的的过渡过渡矩阵矩阵。可记为可记为第5页/共22页 定理定理3.4.23.4.2(3.2.33.2.3)设设 V 是是 n 维线性空间，维线性空间，与与 是是 V 的两个基，的两个基，A 是是 到到 的过渡矩阵。任取的过渡矩阵。任取 V,设设 关于基关于基 和基和基 的坐标分的坐标分别为别为 和和 则则上式称为上式称为由由 到到 的的坐标变换坐标变换公式公式。第6

3、页/共22页 定义定义3.6.43.6.4 设设 是数域是数域F上的线性空间上的线性空间V的的一个变换。如果对任意的一个变换。如果对任意的 均有均有 (3.6.1)那么就称那么就称 是是V的一个的一个线性变换线性变换。是线性变换的充要条件为是线性变换的充要条件为第7页/共22页 例例3.6.53.6.5 变换变换是是 的一个线性变换。的一个线性变换。例例3.6.43.6.4 求导变换求导变换D:是是 的一个线性变换。的一个线性变换。证明证明 设设 ，则，则第8页/共22页43 行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.性性质质1 1 将将行行列列式式

4、的的各各行行变变成成相相应应的的各各列列，行行列列式的值不变，即式的值不变，即 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.=第9页/共22页性质性质2 对调行列式的任意两行（列），其值反对调行列式的任意两行（列），其值反号号,即即 第10页/共22页例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.第11页/共22页性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以

5、同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.第12页/共22页推论推论推论推论1 1 1 1 行列式中某一行（列）的公因子可以提出来。行列式中某一行（列）的公因子可以提出来。行列式中某一行（列）的公因子可以提出来。行列式中某一行（列）的公因子可以提出来。推论推论2 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，若行列式中某一行（列）的元素全为零，则该行列式等于零。则该行列式等于零。推论推论3 3 若行列式中某两行（列）成比例，则该若行列式中某两行（列）成比例，则该行列式等于零。行列式等于零。问题问题 对方阵对方阵A，|kA|与与|A|有什么关系？有什么关系？第13页/共22页性质性

6、质4 4 若行列式中某行（列）的所有元素都可若行列式中某行（列）的所有元素都可以表示为两项之和，则该行列式可表示为两个行以表示为两项之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即列式之和，即 第14页/共22页性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数同一数k然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，对应的元素上去，行列式不变行列式不变第15页/共22页其中其中 为方阵。为方阵。由数学归纳法可以证明，由数学归纳法可以证明，上述上述结论可推广到结论可推广到一般的准上（下）三角阵的情形。特别地，有一般的准上（下）三角阵的情形。特别地，有第16页/共2

7、2页定理定理 设设A、B是是n阶方阵，则阶方阵，则 推论推论1 设设A是是n 阶可逆方阵，则阶可逆方阵，则 推论推论2 设设A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 第17页/共22页其中其中 A*为为 A 的伴随矩阵的伴随矩阵。定理定理4 45 55 5 方阵方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0，且当且当 A 可逆时，可逆时，第18页/共22页线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵 定理定理3.6.53.6.5 在线性空间在线性空间 中取定两组基中取定两组基由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为P。设设 中的线性变换中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为A和和 B，那末，那末 第19页/共22页 定理定理 设设 是是n阶方阵，阶方阵，是是 A的的n个特征值，则个特征值，则（1）（2）推论推论（1）（2）可逆矩阵没有零特征值。）可逆矩阵没有零特征值。注注 矩阵矩阵 A 的主对角线上的所有元素之和的主对角线上的所有元素之和 称为称为矩阵矩阵A的迹的迹，记作记作 t r(A)。第20页/共22页正交化：正交化：第21页/共22页