马尔可夫预测与决策法.pptx

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1、会计学1马尔可夫预测与决策法马尔可夫预测与决策法要求掌握以下内容：要求掌握以下内容：要求掌握以下内容：要求掌握以下内容：n n1.1.什么是马尔柯夫链什么是马尔柯夫链n n2.2.计算部分：计算部分：市场占有率预测和人力资源结市场占有率预测和人力资源结构预测方法。构预测方法。第1页/共64页12.1 基本概念基本概念n n马尔柯夫（马尔柯夫（马尔柯夫（马尔柯夫（A.A Markov A.A Markov 是俄国数学家）。是俄国数学家）。是俄国数学家）。是俄国数学家）。n n2020世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的世纪初，他在研究中发现自然界中

2、有一类事物的世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的变化过程仅与事物的变化过程仅与事物的变化过程仅与事物的近期状况有关近期状况有关近期状况有关近期状况有关，而与事物的过，而与事物的过，而与事物的过，而与事物的过去状态无关。去状态无关。去状态无关。去状态无关。n n例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来市场需求

3、变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。描述或近似。描述或近似。描述或近似。n n所谓所谓所谓所谓马尔柯夫链马尔柯夫链马尔柯夫链马尔柯夫链，就是一种，就是一种，就是一种，就是一种随机时间序列随机时间序列随机时间序列随机时间序列，它在将，它在将，它在将，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即什么值无关，即什么值无关，即什么值无关，即无后效性无后效性无后效性无后效性。具备这个性质的离散型。具备这个性质的离散型。具备这个性质的离散型。具

4、备这个性质的离散型随机过程，称为随机过程，称为随机过程，称为随机过程，称为马尔柯夫链马尔柯夫链马尔柯夫链马尔柯夫链。回本章目录第2页/共64页马尔柯夫预测法马尔柯夫预测法n n马尔柯夫（马尔柯夫（A.A Markov）预测法）预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一借此分析预测未来变化趋势的一种方法。种方法。分别介绍基于马尔柯夫链基本理论分别介绍基于马尔柯夫链基本理论分别介绍基于马尔柯夫链基本理论分别介绍基于马尔柯夫链基本理论的状态预测、市场占有率预测和人的状态预测、市场占有率预测和人的状

5、态预测、市场占有率预测和人的状态预测、市场占有率预测和人力资源结构预测方法。力资源结构预测方法。力资源结构预测方法。力资源结构预测方法。第3页/共64页123第4页/共64页123第5页/共64页基本概念基本概念一、状态一、状态n n状态：状态：客观事物可能出现或存客观事物可能出现或存在的状况。在的状况。n n如：市场上的产品可能如：市场上的产品可能畅销畅销也也可能可能滞销滞销；机器运转可能；机器运转可能正常正常也可能有也可能有故障故障等。等。n n同一事物的不同状态之间必须同一事物的不同状态之间必须相互独立相互独立，即事物不能同时处，即事物不能同时处在两种状态。在两种状态。第6页/共64页用

6、用用用状态变量状态变量状态变量状态变量来表示状态：来表示状态：来表示状态：来表示状态：它表示随机运动系统，在时刻它表示随机运动系统，在时刻它表示随机运动系统，在时刻它表示随机运动系统，在时刻 所处的状态为所处的状态为所处的状态为所处的状态为n n状态转移：状态转移：状态转移：状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物由一种状态到另一种状态的变化。n n如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由如：产品质量或替代

7、产品的变化，市场上产品可能由畅畅畅畅销销销销变为变为变为变为滞销滞销滞销滞销。基本概念基本概念第7页/共64页二、状态转移概率二、状态转移概率n n客观事物可能有客观事物可能有客观事物可能有客观事物可能有 共共共共 种状态，其中每次只能处于种状态，其中每次只能处于种状态，其中每次只能处于种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有一种状态，则每一状态都具有一种状态，则每一状态都具有一种状态，则每一状态都具有 个转向（包括转向自身），个转向（包括转向自身），个转向（包括转向自身），个转向（包括转向自身），即即即即 。n n由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转由于状态转移是随机

8、的，因此，必须用概率来描述状态转由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率状态转移概率状态转移概率状态转移概率。基本概念基本概念第8页/共64页二、状态转移概率二、状态转移概率n n对于由状态对于由状态对于由状态对于由状态 E Ei i 转移到状态转移到状态转移到状态转移到状态E Ej j 的概率，称它为从的概率，称它为从的概率

9、，称它为从的概率，称它为从 i i 到到到到 j j 的转移概率。记为：的转移概率。记为：的转移概率。记为：的转移概率。记为：它表示由状态它表示由状态它表示由状态它表示由状态E Ei i 经过一步转移到状态经过一步转移到状态经过一步转移到状态经过一步转移到状态E Ej j 的概率。的概率。的概率。的概率。基本概念基本概念第9页/共64页 某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用一千个用户（或购货点），假定在研

10、究期间无新用一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知 2006 2006 年年年年 5 5 月份有月份有月份有月份有 500 500 户是甲厂的顾客；户是甲厂的顾客；户是甲厂的顾客；户是甲厂的顾客；400 400 户是乙厂户是乙厂户是乙厂户是乙厂的顾客；的顾客；的顾客；的顾客；100 100 户是丙厂的顾客。户是丙厂的顾客。户是丙厂的顾客。户是丙厂的顾客。6 6 月份，甲厂有月份，

11、甲厂有月份，甲厂有月份，甲厂有400 400 户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有 50 50 户转乙厂，户转乙厂，户转乙厂，户转乙厂，50 50 户转户转户转户转丙厂；乙厂有丙厂；乙厂有丙厂；乙厂有丙厂；乙厂有 300 300 户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有 20 20 户转甲厂，户转甲厂，户转甲厂，户转甲厂，80 80 户转丙厂；丙厂有户转丙厂；丙厂有户转丙厂；丙厂有户转丙厂；丙厂有 80 80 户原来的顾客，户原来的顾客，户原来的顾客，户原来的顾客

12、，上月的顾客有上月的顾客有上月的顾客有上月的顾客有 10 10 户转甲厂，户转甲厂，户转甲厂，户转甲厂，10 10 户转乙厂。试计算其户转乙厂。试计算其户转乙厂。试计算其户转乙厂。试计算其状态转移概率。状态转移概率。状态转移概率。状态转移概率。例例12-1：第10页/共64页解：解：解：解：由题意得由题意得由题意得由题意得 6 6 月份顾客转移表月份顾客转移表月份顾客转移表月份顾客转移表 1 1：甲乙丙合计甲4005050500乙2030080400丙101080100合计4303602101000从从 到到 表表 1 第11页/共64页三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵将事件将事件将事

13、件将事件 个状态的转移概率依次排列起来，就个状态的转移概率依次排列起来，就个状态的转移概率依次排列起来，就个状态的转移概率依次排列起来，就构成一个构成一个构成一个构成一个 N N行行行行 N N 列的矩阵，这种矩阵就是列的矩阵，这种矩阵就是列的矩阵，这种矩阵就是列的矩阵，这种矩阵就是状态转状态转状态转状态转移概率矩阵移概率矩阵移概率矩阵移概率矩阵。通常，称矩阵通常，称矩阵通常，称矩阵通常，称矩阵 P P 就是状态转移概率矩阵，没有特别说就是状态转移概率矩阵，没有特别说就是状态转移概率矩阵，没有特别说就是状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。明步数时，一般均为一步转移概

14、率矩阵。明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为矩阵中的每一行称之为矩阵中的每一行称之为矩阵中的每一行称之为概率向量概率向量概率向量概率向量。基本概念基本概念第12页/共64页状态转移概率矩阵具有如下特征：状态转移概率矩阵具有如下特征：状态转移概率矩阵具有如下特征：状态转移概率矩阵具有如下特征：（1 1）（2 2）三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵第13页/共64页状态转移概率的估算状态转移概率的估算n n 主观概率法。主观概率法。主观概率法。主观概率法。（一般是在缺乏历史统计资料或资料不（一般是在缺乏历史统计资料或资料不（一般是在缺乏

15、历史统计资料或资料不（一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用的）。全的情况下使用的）。全的情况下使用的）。全的情况下使用的）。n n 统计估算法。统计估算法。统计估算法。统计估算法。第14页/共64页例例例例12-2 12-2 设味精市场的销售记录共有设味精市场的销售记录共有设味精市场的销售记录共有设味精市场的销售记录共有 6 6 年年年年 24 24 个季度个季度个季度个季度的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。季度季度123456789101112销售销售状态状

16、态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1用用“1”表示畅表示畅销销用用“2”表示滞表示滞销销第15页/共64页季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 共有共有24个季度数据，其中有个季度数据

17、，其中有15个季度畅销，个季度畅销，9个季度滞销，个季度滞销，现分别统计出连续畅销、由畅销转入滞销、由滞销转入畅销和连现分别统计出连续畅销、由畅销转入滞销、由滞销转入畅销和连续滞销的次数。续滞销的次数。以以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：分子数分子数 7 是表中连续出现畅销的次数，分母中的是表中连续出现畅销的次数，分母中的 15 是表中出是表中出现畅销的次数，因为第现畅销的次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故应减季度是畅销，无后续记录，故应减1。第16页/共64页季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅

18、1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 以以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性，同理：表示由畅销转入滞销的可能性，同理：分子数分子数 7 是表中由畅销转入滞销的次数。是表中由畅销转入滞销的次数。以以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性，同理：表示由滞销转入畅销的可能性，同理：分子数分子数 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表是表中出现滞销的次数。中出现滞销的次数。第17页/共64页

19、季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 以以 p22 表示连续滞销的可能性，同理：表示连续滞销的可能性，同理：分子数分子数 2 是表中连续出现滞销的次数。是表中连续出现滞销的次数。综上所述，得到销售综上所述，得到销售状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵为：为：第18页/共64页状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变状态转移概率矩

20、阵完全描述了所研究对象的变状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义给出。给出。给出。给出。定义定义定义定义 3.3.若系统在时刻若系统在时刻若系统在时刻若系统在时刻 处于状态处于状态处于状态处于状态 ，经过，经过，经过，经过 步转步转步转步转移，在

21、时刻移，在时刻移，在时刻移，在时刻 处于状态处于状态处于状态处于状态 。那么，对这种转移的可。那么，对这种转移的可。那么，对这种转移的可。那么，对这种转移的可能性的数量描述称为能性的数量描述称为能性的数量描述称为能性的数量描述称为 步转移概率。记为步转移概率。记为步转移概率。记为步转移概率。记为 并令并令并令并令三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵第19页/共64页称称称称 为为为为 步转移概率矩阵。步转移概率矩阵。步转移概率矩阵。步转移概率矩阵。多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质多步转移概率

22、矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质外，还具有以下的性质：外，还具有以下的性质：外，还具有以下的性质：外，还具有以下的性质：第20页/共64页某经济系统有三种状态某经济系统有三种状态某经济系统有三种状态某经济系统有三种状态 （如畅销、一般、滞（如畅销、一般、滞（如畅销、一般、滞（如畅销、一般、滞销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。状态转移概率矩阵。状态转移概率矩阵。状态转移概率矩阵。解：得到一步状态转移

23、解：得到一步状态转移解：得到一步状态转移解：得到一步状态转移例例12-3：系统本步所处状态系统本步所处状态系统下步所处状态系统下步所处状态E1E2E3E121714E216812E31082第21页/共64页二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式 计算可得：计算可得：计算可得：计算可得：例（续）：例（续）：第22页/共64页四、初始状态概率向量四、初始状态概率向量四、初始状态概率向量四、初始状态概率向量记记记记 为过程的开始时刻，则称：为过程

24、的开始时刻，则称：为过程的开始时刻，则称：为过程的开始时刻，则称：为为为为初始状态概率向量初始状态概率向量初始状态概率向量初始状态概率向量。若记若记若记若记向量向量向量向量 ，则则则则:由此可得由此可得由此可得由此可得第23页/共64页例例例例12-412-4：考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床的运行看作一种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床的运行看作一种状态。由于出现故障带有随机性

25、，故可将机床的运行看作一种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床的运行看作一个状态随时间变化的随机系统。个状态随时间变化的随机系统。个状态随时间变化的随机系统。个状态随时间变化的随机系统。可以认为，机床以后的状态只与其当前的状态有关，而与可以认为，机床以后的状态只与其当前的状态有关，而与可以认为，机床以后的状态只与其当前的状态有关，而与可以认为，机床以后的状态只与其当前的状态有关，而与过去的状态无关，即具有无后效性。因此，机床的运行可看作过去的状态无关，即具有无后效性。因此，机床的运行可看作过去的状态无关，即具有无后效性。因此，机床的运行可看作过去的状态无关，即具有无后效性。因此，机床的运行

26、可看作马尔科夫链。马尔科夫链。马尔科夫链。马尔科夫链。机床的状态空间机床的状态空间正常状态为正常状态为1 故障状态为故障状态为2 第24页/共64页机床运行过程中出现故障，这时从状态机床运行过程中出现故障，这时从状态机床运行过程中出现故障，这时从状态机床运行过程中出现故障，这时从状态 1 1 1 1 转移到状态转移到状态转移到状态转移到状态 2 2 2 2；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态即从状态；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态即从状态；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态即从状态；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态即从状态 2 2 2 2 转转转转移到状态移到状态

27、移到状态移到状态1 1 1 1。现以现以现以现以1 1 1 1个月为时间单位，经观察统计，知从某月份到下月个月为时间单位，经观察统计，知从某月份到下月个月为时间单位，经观察统计，知从某月份到下月个月为时间单位，经观察统计，知从某月份到下月份机床出现故障的概率为份机床出现故障的概率为份机床出现故障的概率为份机床出现故障的概率为0.2 0.2 0.2 0.2，即，即，即，即 p p p p12 12 12 12=0.2=0.2=0.2=0.2 。保持正常状态的。保持正常状态的。保持正常状态的。保持正常状态的概率为为概率为为概率为为概率为为 p p p p11 11 11 11=0.8=0.8=0.

28、8=0.8 。在这一时间，故障机床经维修返回到正常。在这一时间，故障机床经维修返回到正常。在这一时间，故障机床经维修返回到正常。在这一时间，故障机床经维修返回到正常状态的概率为状态的概率为状态的概率为状态的概率为 0.9 0.9 0.9 0.9，即，即，即，即 p p p p21 21 21 21=0.9=0.9=0.9=0.9 ；不能修好的概率为；不能修好的概率为；不能修好的概率为；不能修好的概率为 p p p p22 22 22 22=0.1=0.1=0.1=0.1 。12机床状态转移图机床状态转移图p12=0.2p21=0.9p11=0.8p22=0.1第25页/共64页12p12=0.

29、2p21=0.9p11=0.8p22=0.1由机床的一步转移概率得状态转移概率矩阵：由机床的一步转移概率得状态转移概率矩阵：若已知本月机床的状态向量若已知本月机床的状态向量 P(0)=(0.85，0.15)，现要预，现要预测机床测机床两个月两个月后的状态。后的状态。第26页/共64页若已知本月机床的状态向量若已知本月机床的状态向量 P(0)=(0.85，0.15)，现要预，现要预测机床测机床两个月两个月后的状态。后的状态。求出两步转移概率矩阵求出两步转移概率矩阵 预测。两个月后的状态向量预测。两个月后的状态向量本月处于正常状态的机床，两月后仍然处于正常状态的转移概率为本月处于正常状态的机床，两

30、月后仍然处于正常状态的转移概率为0.82，转移到故障状态的转移概率为，转移到故障状态的转移概率为0.18。本月处于故障状态的机床，两月后转移到正常状态的转移概率为本月处于故障状态的机床，两月后转移到正常状态的转移概率为0.81，仍然处于故障状态的转移概率为仍然处于故障状态的转移概率为0.19。第27页/共64页 12.2 稳态概率矩阵稳态概率矩阵在马尔可夫链中，已知系统在马尔可夫链中，已知系统的的初始状态初始状态和和状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵，就可推断出系统在就可推断出系统在任意任意时刻可能时刻可能所处的状态。所处的状态。现在需要研究当现在需要研究当 k 不断增大不断增大时，时，P(k)

31、的变化趋势。的变化趋势。回本章目录第28页/共64页n n例例 有有A A、B B、C C三家企业的同三家企业的同种产品上个月在某地区市场上种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：的占有率分别为：0.520.52、0.300.30、0.180.18。根据市场调查情况，每。根据市场调查情况，每10001000户顾客中分别购买户顾客中分别购买A A、B B、C C三家企业产品的变化情况如三家企业产品的变化情况如表表12-312-3。试用马尔柯夫预测法。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。三家企业产品占有率的状况。第29页/共64页企

32、业占有顾客变化情况企业占有顾客变化情况企业占有顾客变化情况企业占有顾客变化情况 单位：人单位：人单位：人单位：人第30页/共64页1 1 1 1确定初始状态。确定初始状态。确定初始状态。确定初始状态。S S S S（0 0 0 0）=(0.52 0.30 0.18=(0.52 0.30 0.18=(0.52 0.30 0.18=(0.52 0.30 0.18）2 2 2 2确定转移概率矩阵。确定转移概率矩阵。确定转移概率矩阵。确定转移概率矩阵。第31页/共64页3.3.计算本期市场占有率。计算本期市场占有率。计算本期市场占有率。计算本期市场占有率。n n根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率根据

33、马尔柯夫预测模型，本月市场占有率根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率 S S S S（1 1 1 1）=S=S=S=S（0 0 0 0）P=P=P=P=（0.435 0.297 0.2680.435 0.297 0.2680.435 0.297 0.2680.435 0.297 0.268）4.后续周期趋势预测后续周期趋势预测n n第第第第K K K K个月的市场占有率为个月的市场占有率为个月的市场占有率为个月的市场占有率为 S S S S（K KK K）=S=S=S=S（0 0 0 0）P P P PK KK K。n n根据上式，计算第一月至第十二月的市场

34、占有率于表根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表12-412-412-412-4：第32页/共64页 逐期市场占有率计算表逐期市场占有率计算表逐期市场占有率计算表逐期市场占有率计算表第33页/共64页分析分析n n（1 1）A A企业和企业和B B企业产品的市场占有率逐期企业产品的市场占有率逐期下降，并且下降，并且A A企业产品的市场占有率下降幅企业产品的市场占有率下降幅度较大；度较大；n n（2 2）C C企业产品的市场占有率却以较大的企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。幅度逐期上升。

35、n n（3 3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。第34页/共64页一、平稳分布一、平稳分布如存在非零向量如存在非零向量 X=(x1，x2，xN)，使得：，使得：X P=X其中其中P为一概率矩阵，则称为一概率矩阵，则称 X 为为 P 的固定概率向量。的固定概率向量。特别地，设特别地，设 X=(x1，x2，xN)为一为一状态状态概率向概率向量，量，P为状态转移概率矩阵，若为状态转移概率矩阵，若 X P=X称称 X 为该马尔可夫链的一个平稳分布为该马尔可夫链的一个平稳分布第35页/共64页若随机过程某时刻的状态概率向量若随机过程某时刻的状态概率向量若随机过程某时刻的

36、状态概率向量若随机过程某时刻的状态概率向量 X X 为平稳分布，为平稳分布，为平稳分布，为平稳分布，则称过程处于平衡状态。则称过程处于平衡状态。则称过程处于平衡状态。则称过程处于平衡状态。一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。过程一旦处

37、于平衡状态后将永远处于平衡状态。过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。对于我们所讨论的状态有限（即对于我们所讨论的状态有限（即对于我们所讨论的状态有限（即对于我们所讨论的状态有限（即N N个状态）的马尔个状态）的马尔个状态）的马尔个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。可夫链，平稳分布必定存在。可夫链，平稳分布必定存在。可夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为特别地，当状态转移矩阵为特别地，当状态转移矩阵为特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵正规概率矩阵正规概率矩阵正规概率矩阵时，平稳时，平稳时，平稳时，平稳分布分布分布分布唯一唯一唯一唯

38、一。第36页/共64页定义定义定义定义1 1 1 1：如果：如果：如果：如果 P P P P 为概率矩阵，且存在为概率矩阵，且存在为概率矩阵，且存在为概率矩阵，且存在 m mm m0000，使，使，使，使 P P P Pm mm m 中诸元素中诸元素中诸元素中诸元素皆非负非零。则称皆非负非零。则称皆非负非零。则称皆非负非零。则称 P P P P 为正规概率矩阵。为正规概率矩阵。为正规概率矩阵。为正规概率矩阵。例如：例如：例如：例如：均为正规概率矩阵。均为正规概率矩阵。均为正规概率矩阵。均为正规概率矩阵。P P P P1 1 1 1为正规概率矩阵是明显的（为正规概率矩阵是明显的（为正规概率矩阵是

39、明显的（为正规概率矩阵是明显的（m=m=m=m=1 1 1 1）P P P P2 2 2 2是正规概率矩阵也也易于论证：是正规概率矩阵也也易于论证：是正规概率矩阵也也易于论证：是正规概率矩阵也也易于论证：即存在（即存在（即存在（即存在（m=m=m=m=2 2 2 2），使），使），使），使 P P P P2 2 2 2 的元素皆非负非零。的元素皆非负非零。的元素皆非负非零。的元素皆非负非零。第37页/共64页是非正规概率矩阵。是非正规概率矩阵。是非正规概率矩阵。是非正规概率矩阵。正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率正规概率矩阵

40、的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。抵消。抵消。抵消。第38页/共64页二、平稳分布二、平稳分布n n 一一个马尔柯夫链如

41、果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态i i的概的概的概的概率如用率如用率如用率如用x xi i表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：表示，则系统整体的状态可用下面的概率

42、向量来表示：表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：n n X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n）第39页/共64页系统的平稳状态系统的平稳状态n n 系统的平稳状态是指系统即使再经过系统的平稳状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。状态。n n 即：即：XP=Xn n 式中：式中：P是反映状态转移的正规概率矩是反映状态转移的正规概率矩阵，阵，X称为对称为对P的平稳状态概率向量。若知的平稳状态概率向量。若知正规概率矩阵正规概率矩阵P，就可以根据以上关系式求，就可以根据以上关系式求出系统的平稳状态概率向量出系统的平

43、稳状态概率向量X。第40页/共64页求平稳状态概率向量求平稳状态概率向量n n若已知概率矩阵若已知概率矩阵n n所求的平稳状态概率向量所求的平稳状态概率向量 X=（x1，x2，xn）。）。第41页/共64页求平稳状态概率向量求平稳状态概率向量n n并且并且x1+x2+xn=1第42页/共64页从而有：从而有：P11x1+P21x2+Pn1xn=x1P12x1+P22x2+Pn2xn=x2 P1 nx1+P2 nx2+Pn nxn=xnx1+x2+xn=1由联立方程组，解得由联立方程组，解得x1、x2、xn。第43页/共64页例例例例12-5:12-5:设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其设一

44、马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其平稳分布。平稳分布。平稳分布。平稳分布。解解：(1)P 是正规概率矩阵是正规概率矩阵即存在（即存在（m=2），使），使 P2 的元素皆非负非零。的元素皆非负非零。第44页/共64页(2)由于由于 P 是正规概率矩阵，求解如下方程组：是正规概率矩阵，求解如下方程组：这就是该马尔可夫链的这就是该马尔可夫链的平稳分布平稳分布。第45页/共64页12.3 马尔可夫链预测马尔可夫链预测法法 马尔可夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能马尔可夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能马尔可夫链

45、预测方法的最简单类型是预测下一期最可能马尔可夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来完成。出现的状态。可按以下步骤来完成。出现的状态。可按以下步骤来完成。出现的状态。可按以下步骤来完成。第一步第一步第一步第一步，划分预测对象所出现的状态。，划分预测对象所出现的状态。，划分预测对象所出现的状态。，划分预测对象所出现的状态。从预测目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象从预测目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象从预测目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象从预测目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象所处的状态。所处的状态。所处的状态。所处的状态。第二步第二步第二步第二步，

46、计算初始概率。，计算初始概率。，计算初始概率。，计算初始概率。在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始概率。概率。概率。概率。第三步第三步第三步第三步，计算状态转移概率，计算状态转移概率，计算状态转移概率，计算状态转移概率回本章目录第46页/共64页第四步第四步第四步第四步，根据转移概率进行预测，根据转移概率进行预测，根据转移概率进行预测，根据转移概率进行预测 由状态转移概率矩阵由状态转移概率矩阵由状态转移概率矩阵由状态转移概率矩阵 P P P

47、 P 。如果目前预测对象处于状态。如果目前预测对象处于状态。如果目前预测对象处于状态。如果目前预测对象处于状态E E E Ei i i i，这时，这时，这时，这时 P P P Pij ij ij ij 就描述了目前状态就描述了目前状态就描述了目前状态就描述了目前状态 E E E Ei i i i 在未来将转向状态在未来将转向状态在未来将转向状态在未来将转向状态 E E E Ej j j j（j j j j=1=1=1=1，2 2 2 2，N NN N）的可能性。按最大可能性作为选择的原）的可能性。按最大可能性作为选择的原）的可能性。按最大可能性作为选择的原）的可能性。按最大可能性作为选择的原则

48、，我们选择（则，我们选择（则，我们选择（则，我们选择（P P P Pj j j j1 1 1 1，P P P Pj2 j2 j2 j2，P P P PjNjNjNjN ）中最大者为我们的预）中最大者为我们的预）中最大者为我们的预）中最大者为我们的预测结果。测结果。测结果。测结果。第47页/共64页例例例例12-612-6：某商店在最近：某商店在最近：某商店在最近：某商店在最近2020个月的商品销售量统计记录如下个月的商品销售量统计记录如下个月的商品销售量统计记录如下个月的商品销售量统计记录如下：商品销售量统计表商品销售量统计表 单位：千件单位：千件 时间时间t t1 12 23 34 45 5

49、6 67 78 89 910101111121213131414151516161717181819192020销售量销售量404045458080 120120 110110 38384040505062629090 110110 130130 140140 120120 5555707045458080 110110 120120试预测第试预测第 21 期商品销售量。期商品销售量。第48页/共64页解：解：解：解：1 1、划分状态。划分状态。划分状态。划分状态。按盈利状况为标准选取按盈利状况为标准选取按盈利状况为标准选取按盈利状况为标准选取（1 1）销售量）销售量）销售量）销售量6060千

50、件千件千件千件 属于属于属于属于滞销滞销滞销滞销（2 2）6060千件千件千件千件 销售量销售量销售量销售量 100100千件千件千件千件 属于属于属于属于一般一般一般一般（3 3）销售量）销售量）销售量）销售量100100千件千件千件千件 属于属于属于属于畅销畅销畅销畅销第49页/共64页2 2、计算初始概率计算初始概率计算初始概率计算初始概率 P Pi i。为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线。状态分界线。状态分界线。状态分界线。由图可算出处