椭圆的定义及标准方程(姗).ppt

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1、通河县第一中学：张立姗你能列举几个生活你能列举几个生活中见过的椭圆形状中见过的椭圆形状的物品吗？的物品吗？“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 自然界处处存在着椭圆自然界处处存在着椭圆,我们如我们如何用自己的双手画出椭圆呢何用自己的双手画出椭圆呢?（1）取一条细绳）取一条细绳 （2）把它的两端固定在板上的两点）把它的两端固定在板上的两点F1和和F2 （3）用铅笔尖（）用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形什么？慢移动看看画出的图形什么？二、基础知识讲解二、基础知识讲解定点定点F1、F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点。

2、两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距焦距（2c）。）。1.椭圆定义：椭圆定义：F1F2M2c平面上到两个定点的距离的和等于定长平面上到两个定点的距离的和等于定长2a,（2a大于大于|F1F2|）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫椭圆椭圆。结论：结论：绳长记为绳长记为2a，两定点间的距离记为，两定点间的距离记为2c(c0).（1）当）当2a2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（2）当）当2a=2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（3）当）当2a22c)的的动点动点M M的的轨迹方程。轨迹方程。解：以解：以F1F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴建立直角坐标系，建立

3、直角坐标系，(-c,0)(c,0)(x,y)设设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则椭圆就是集合则椭圆就是集合P=M|MF1|+|MF2|=2a如何化简如何化简?则焦点则焦点F1、F2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)整理，得整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)2a2c0，即，即ac0，a2-c20，(ab0)两边同除以两边同除以a2(a2-c2)得得:P那么那么式式如图点如图点P是椭圆与是椭圆与y轴正半轴的交点轴正半轴的交点你能在图中找出你能在图中找出表示表示a，c，的线段吗？的线段

4、吗？OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)(ab0)P那么那么式式你能在图中找出你能在图中找出表示表示a，c，的线段吗？的线段吗？令令 叫做叫做椭圆的标准方程。椭圆的标准方程。它所表示的椭圆是焦点在x轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程,其中.p0 xy(0,c)(0,-c)也是椭圆的标准方程。也是椭圆的标准方程。如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上，如图所示轴上，如图所示,焦点则变成焦点则变成 只要将方程中的只要将方程中的 x,y 调换调换，即可得，即可得 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系|MF1|+|MF2|=2a

5、 (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM共同点共同点（1）两种标准方程中都有两种标准方程中都有ab0；（2）方程的）方程的左边是平方和，右边是左边是平方和，右边是1.（3）焦点在坐标轴上，中心在坐标原点）焦点在坐标轴上，中心在坐标原点不同点不同点;焦点在分母较大的那个轴上焦点在分母较大的那个轴上哪个分母大，它对应的分子就是焦点所在轴哪个分母大，它对应的分子就是焦点所在轴应用举例应用举例用定义判断下列动点用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。的轨迹是否为椭圆。(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)到到F1(0,-2)、

6、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为4的点的轨迹。的点的轨迹。(3)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。解解(1)因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭的轨迹为椭圆。圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)。(3)因因|MF1|+|MF2|=30且且k5/4 k5/4 k1/4 例例2：已知：已知椭圆椭圆的两个焦点坐的两个焦点坐标标分分别别是（是（-2，0），（），（2，0），并且），并且经过经过点（点（,-），求它的标准方程。求

7、它的标准方程。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为轴，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又因为c=2，所以b2 2=a2 2-c2 2=10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为你还能用其他的方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有什么体会？只要求出只要求出a、b则可求出椭圆的方程则可求出椭圆的方程焦点在哪条坐标轴上？焦点在哪条坐标轴上？由已知得，由已知得，c=2又由已知得，又由已知得，联立联立、解方程组得解方程组得因此，所求椭圆的标准方程为因此，所求椭圆的标准方程为例例2：已知：已知椭圆椭圆的两个焦点坐的两个焦点坐标标分分别别是（是（-2，0），（），（2，0）

8、，并且），并且经过经过点（点（,-)，求它的标准方程。求它的标准方程。待定系数法待定系数法解法二：因为椭圆的焦点在解法二：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为轴，所以设它的标准方程为 写出适合下列条件的椭圆的写出适合下列条件的椭圆的标准方程：标准方程：(1)a=4，b=1，焦点在焦点在x轴上；轴上；(2)a=4，c=5，焦点在焦点在y轴上；轴上；(3)a+b=10，c=2 5判定下列椭圆的焦点在判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，哪个轴上，并指明并指明a2、b2，写出焦点坐标。写出焦点坐标。答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（

9、）和（0，5）答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）例.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。解：椭圆方程具有形式其中因此两焦点坐标为椭圆上每一点到两焦点的距离之和为例例1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD例题讲解例题讲解典例分析典例分析例例1 判判断断下下列列各各椭椭圆圆的的焦焦点点位位置置，并并说说出出焦焦点坐标、焦距。点坐标、焦距

10、。（1）y轴（0,1）（0,-1）（2）x轴轴例例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（）、（4，0），），椭圆上的一点椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；变式：两个焦点的距离等于变式：两个焦点的距离等于8，椭圆上的一点，椭圆上的一点P到两焦到两焦点距离的和等于点距离的和等于10.(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐焦点坐标为：标为：_焦距等于焦距等于_;曲曲线上一点线上一点P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为3，则点，则点P到到另一个焦点另一个焦点F2的距离等于的距离等于_，则，则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)2例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足）满足a=4,b=1，焦点在焦点在X轴上的椭圆轴上的椭圆的标准方程为的标准方程为_（2）满满足足a=4,c=，焦焦点点在在Y轴轴上上的的椭椭圆圆的标准方程为的标准方程为_