江苏省南通市2023届高三2月一模数学试题及详解.doc

《江苏省南通市2023届高三2月一模数学试题及详解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通市2023届高三2月一模数学试题及详解.doc（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、南通市 2023 届高三第一次调研测试数学本试卷共 6 页 ，22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效4. 考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，

2、将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共 8 小题，每小题 5 分 ，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 A = x1 x 3 ，B = x2 x m + 1) P(X m) = 0.5；丙 ：PX m = 0.5；丁 ：P(m - 1 X m) P(m + 1 X 0, 的部分图象如图所示，则 ( )2A. = 2B. = 6 C. f x 的图象关于点D. f x 在区间 , 5 对称,012 上单调递增4y15 6O x3-111. 一个袋中有大小形状完全相同的 3 个小球，颜色分别为红黄蓝从袋中先后无放回地取出 2 个球，记“第一次取到红球”为事件

3、 A，“第二次取到黄球”为事件 B，则 ( )A. PA = 13B. A，B 为互斥事件 C. PB A = 12D. A，B 相互独立12. 已知抛物线 x2 = 4y 的焦点为 F，以该抛物线上三点 A，B，C 为切点的切线分别是 l1，l2，l3，直线 l1，l2 相交于点D，l3 与 l1，l2 分别相交于点 P，Q记 A，B，D 的横坐标分别为 x1，x2，x3，则 ( ) A. DA DB = 0 B. x1 + x2 = 2x3 C. AF BF = |DF|2 D. AP CQ = PC PD 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分13. 已知函数 f x

4、 =1 + log22 - x ,x 1,2x-1,x 1,14. 写出一个同时满足下列条件的等比数列 an 的通项公式 an = anan+1 0； an 0)，设直线 x + 3y - 3 = 0 与两坐标轴的交点分别为 A，B，若 圆 O 上有且只有一个点 P 满足 AP = BP ，则 r 的值为 16. 已知正四棱锥 S - ABCD 的所有棱长都为 1，点 E 在侧棱 SC 上，过点 E 且垂直于 SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形 ，则 的边数至多为 ， 的面积的最大值为 (第一空 2 分，第二空 3 分)四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算

5、步骤17. (10 分) 在 S1，S2，S4 成等比数列， a4 = 2a2 + 2， S8 = S4 + S7 - 2 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且满足 ， (1) 求 a 的通项公式；n(2) 求 1a1a2+ 1a2a3+ 1a3a4+ + 1anan+1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。218. (12 分) 第二十二届卡塔尔世界杯足球赛 (FIFAWorldCupQatar2022) 决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团足球

6、社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男女同学各 100 名进行调查，部分数喜欢足球 不喜欢足球 合计男生 40女生 30合计(1) 根据所给数据完成上表，并判断是否有 99.9% 的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2) 社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生示范点球射门已知男生进球的概率为 23女生进球的概率为 1，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求 3 人进球总次数的分布列和数学期望2 n(ad - bc)2附：K2 =a + b c + d a + c b + d ，PK2 k 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10

7、.82819. (12 分) 在 ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，acosB - 2acosC = 2c - b cosA(1) 若 c = 3a，求 cosB 的值；(2) 若 b = 1，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，求 AD 长度的取值范围20. (12 分) 如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为折痕，将 ACD 折至 APD 的位置，使得 PB ABP CADB(1) 证明：PB 平面 ABD；(2) 若 AD = PB = 4，BD = 2，求二面角 B - PA - D 的正弦值3y221. (12 分) 已知双曲线 C：x-

8、 = 1(a 0,b 0) 的左顶点为 A，过左焦点 F 的直线与 C 交于 P，Q 两点当 PQa2 b2 x 轴时，PA = 10，PAQ 的面积为 3(1) 求 C 的方程；(2) 证明：以 PQ 为直径的圆经过定点22. (12 分) 已知函数 f x = xaex-1(1) 求实数 a；和 gx = a + lnxx有相同的最大值(2) 设直线 y = b 与两条曲线 y = f x 和 y = gx 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 x1，x2，x3，x4x1 x2 x3 x4 ，证明 ：x1x4 = x2x342023 届高三第一次调研测试数学答案与解析一选择题本题共 8 小题

9、，每小题 5 分 ，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】A【解 析】A B = x 2 m + 1) = P(X P(X 0， t 1 或 t 1 或 t -3，gt = -tet+1，t 0，gt ，0 gt 1 时 ，gt 0，gt ，gt g1 = 0，综上：y1y2 -,0 0,4e-2 ，选 D二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.【答 案】ABD【解 析】AD1 BC1，AD1 平面 BOC1，BC1 平面 BOC1， A

10、D1 平面 BOC1，A 对 BD CO，BD CC1，CD CC1 = C， BD 平面 COC1，B 对C1C 平面 ABCD，C1O 与平面 ABCD 所成角为 C1OC，tanC1OC = 22 C1OC 45，C 错 1，C1-BOC = 11 = VVC-BOC3 12 2 1 2 = 23，D 对选 ABD10.【答 案】ACD【解析】T2= 56 - 3= 2， T = = 2， = 2，f x = sin2x + ，f 2 = sin + = 1， = -3 3 6，A 对 ，B 错f x = sin 2x - = k，x = + k，k Z ，2x -6 6 12 2k =

11、 0 时，f x 关于 ,0 对称，C 对12- + 2k 2x - + 2k，- + k x + k，k Z，2 6 2 6 3f x 在5 , 45 ，而 , 6 3 45 , 4 5 ， f x 在 , ，D 对， 6 3 4选 ACD11.【答 案】AC【解 析】PA = 13，A 对A，B 可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A，B 不互斥，B 错在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为 1，C 对2PB = 2 1 + 1 0 = 1 ，PAB = 1 1 = 1，PAB PA PB ， A，B 不独立，3 2 3 3 3 2 6D 错，选 AC12.【答 案】

12、BCDx12 x2 x20【解 析】：A x1, 2, 0, = 1 ，Bx ，Cx ，y4 4 4 2x，k1 = 12x1，x21l1：y -= 1 x1x - x1 ，即 y = 14 2 2l2：y = 1 x2x - 1x2，2 4x1x - 14x216y = 1 x1x - 1 1 + x2 x21x = x x1 + x2 2 4, ，即 x3 =2时， y = 1 x2x - 1y = x1x22 x242 4 x1 + x2 x1 + x2 x2x21 x1x2 x1x2DA DB = x1 - , - x2 - , -2 4 4 2 4 4=x1 - x22,x1x1 -

13、 x2 4x2 - x1 x2x2 - x1 , 2 4 2= - - 4x1 - x2x21 BF =AF4x1x2x1 - x2 2 x1 - x2 = - 4 + x 1x2 不一定为 0，A 错16 16x2 x21x2 x21 x2+ 1 + 1 + + + 1, =4 16 4 4DF2 =x1 + x2 24+x1x22- 1 = 4x21 + 2x1x2 + x24+x12x216-x1x22+ 1x21x2 x21 x2= + + + 1 = AF BF ，C 对16 4 4x1 + x2 x1 + x0 x2 + x0x1x2 x1x0 x2x0D ，Q ， ，P, , ,

14、2 4 2 4 2 40 - x1 1x0 - x20AP = x + x22= 2 4x0 - x1 4 + x214，2 - x0 2x0 - x20CQ = x + x2 = 2 4x2 - x0 4 + x204，1 - x0 1x0 - x20PC = x + x22= 2 4x1 - x0 4 + x2042 - x0 0 - x2PD = x + x2 x12= 2 4 AP CQ = PC PD，D 对x2 - x0 4 + x214三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分13.【答案】4【解 析】f -2 = 1 + log22 - -2 = 1 + log

15、24 = 3，f f -2 = f 3 = 23-1 = 22 = 414.【答案】an = - 1n 2【解析】可构造等比数列，anan+1 an+1 ， 1 q ，q 取 - 12，an = - 1n 215.【答案】12【解 析】A 3,0 ，B0,1 ，PA = PB， P 在 AB 的垂直平分线 y = 3x - 1 上，P 在圆 O:x2 + y2 = r2 满足条件的 P 有且仅有一个， 直线与圆相切， r = 1216.【答案】5； 23【解析】方法一： 的边数至多为 5，延长 EF，CD 交于点 J，延长 EI，CB 交于点 K，连 接 JK 分别与 AD，AB 交于 G，H

16、，连接 FG，HI 得截面五边形 EFGHI设 SE = x， SF = 2x，EF = 3x，CJ = 2 - 2x， JD = 1 - 2x = DG，JF = 31 - 2x ，JK = 22 - 2x = 2 21 - x ，JG = HK = 21 - 2x ，FG = 1 - 2x， JG2 + FG2 = JF2， JG GF SJGF = 12 21 - 2x 1 - 2x = SJHK，而 EJ = 31 - x = EK，JK = 2 21 - x ，7SEJK = 12 2 2(1 - x)2 = 2(1 - x)2，显然五边形时截面面积最大， S截面五边形 = 2(1

17、- x)2 - 2(1 - 2x)2= 2-3x2 + 2x 2 -4 -12= 23，x = 13时取“=”， 面积的最大值为 23应填：5； 23方法二：取 SC 中点 F，BF SC，DF SC， SC 平面 BDF作平面与 BDF 平行，如图至多为五边形令 SE = ， EP = BF = 3 SF 2，SP = SB = ， PB = 1 - ，BQ = 1 - ，PQ = 1 - ，NQ = MP = BD = 23 32 23 32= - 13，sinDFB = 2 23cosDFB =SEMP = 12 32 32 2 23= 242MN 与 NQ 的夹角为 SA 与 BD 夹

18、角，而 SA 与 BD 垂直， S PMNQ = 21 - ，S = 21 - + 2PMNQ = 21 - ，S = 21 - + 242 = - 3422 + 2， = 23时 ，S 取最大值 23四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.【解析】(1) 设 a 公差为 d，若选，n则S1S4 = S22a4 = 2a2 + 2a14a1 + 6d = 2a1 + d 2a1 + 3d = 2a1 + d + 2 d = 2a1 7a1 = 6a1 + 2，a1 = 2，d = 4， an = 2 + 4n - 1 = 4n - 2若选或同理可得 a

19、n = 4n - 2(2) 1anan+1= 1 = 1 4n - 2 4n + 2 4 1 = 1 2n - 1 2n + 1 81- 1 2n - 1 2n + 1 1a1a2+ 1a2a3+ + 1anan+1= 181 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 3 3 52n - 1 2n + 1= 181 - 1 =2n + 1n42n + 1 18.【解析】(1)2 2 列联表如下：喜欢足球 不喜欢足球 合计男生 60 40 100女生 30 70 100合计 90 110 200200 (60 70 - 40 30)2K2 = 18.182 10.828， 100 100 90

20、 110 有 99.9% 的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关(2)3 人进球总次数 的所有可能取值为 0，1，2，3P = 0 = 1 2 1 3 2= 118，P = 1 = C1 2 22 23 13 12+ 12 1 2 = 5 3 188P = 2 = C1 2 22 23 13 12+ 2 2 1 3 2= 49，P = 3 = 2 2 1 3 2= 29 的分布列如下： 0 1 2 3P 1185184929 的数学期望：E = 1 518+ 2 49+ 3 29= 11619.【解析】(1) acosB - 2acosC = 2c - b cosA， sinAcosB - 2s

21、inAcosC = 2sinC - sinB cosA sinAcosB + cosAsinB = 2sinAcosC + 2cosAsinC sinA + B = 2sinA + C sinC = 2sinB c = 2b，c = 3a b = 3a，2a2 + 3a2 - 34 a22 + c2 - b2 cosB = a = 13 3 2ac 2a 3a 24=(2) 由 (1) 知 c = 2b， b = 1， c = 2，设 BAD = ，SABC = 1 2 sin2 = 1 2 AD sin + 1 1 AD sin2 2 2 AD = 4 cos， 0, 4 ， AD 0, 3

22、 2 320.【解析】(1) 证明： PD AD，AD BD，PD BD = D， AD 平面 PBD， AD PB，又 PB AB，AD，AB 平面 ABD，AD AB = A， PB 平面 ABD(2) 如图建系，则 B0,2,0 ，P0,2,4 ，A4,0,0 ，D0,0,0 ， BP = 0,0,4 ，PA = 4,-2,-4 ，DA = 4,0,0 ， 设平面 BPA 与平面 PAD 的一个法向量分别为 n1 ，n2 ，= x1,y1,z1 = x2,y2,z2 n1 BP = 0 4z1 = 0 n = 1,2,0 , 1n1 PA 4x1 - 2y1 - 4z1 = 0= 0 n

23、2 PA = 0 4x2 - 2y2 - 4z2 = 0 n = 0,2,-1 , 2n2 DA = 0 4x2 = 0设二面角 B - PA - D 平面角为 ，9 cos = n1 n 2n1 n2 = 45 5= 45， sin = 3521.【解析】(1) 当 PQ x 轴时，PQ = 2b ，PF = b2 2，a ab2 b2 = 32+ (c - a)2 = 10 a = 1 a a , 2 c - a = 11 2b b = 3 c - a = 3 c2 = a2 + b22 a 双曲线 C 的方程为：x2 -y23= 1(2) 方法一：设 PQ 方程为 x = my - 2，

24、Px1,y1 ，Qx2,y2 ， x = my - 23x2 - y2 = 3 3m2y2 - 4my + 4 - y2 = 3 3m2 - 1 y2 - 12my + 9 = 0,以 PQ 为直径的圆的方程为 x - x x - x + y - y y - y = 01 2 1 2 x2 - x1 + x2 x + x1x2 + y2 - y1 + y2 y + y1y2 = 0，由对称性知以 PQ 为直径的圆必过 x 轴上的定点，令 y = 0 x2 - x1 + x2 x + x 1x2 + y1y2 = 0，而 x1 + x2 = m y1 + y2 - 4 = 12m1x2 + y1

25、y2 = 0，而 x1 + x2 = m y1 + y2 - 4 = 12m23m2 - 1x1x2 = my1 - 2 my2 - 2 = m2y1y2 - 2m y1 + y2 + 4- 4 = 43m2 - 1，2 + 4 = -3m2 - 4 = 9m - 2m 12m，3m2 - 1 3m2 - 1 3m2 - 1x + -3m2 - 4= 0 3m2 - 1 x2 - 4x + 5 - 3m2 = 0 x2 - 4 + 93m2 - 1 3m2 - 1 3m2 - 1 3m2 - 1 x + 3m2 - 5 x - 1 = 0 对 m R 恒成立， x = 1 以 PQ 为直径的圆

26、经过定点 1,0 方法二：设 PQ 方程为 x = my - 2，Px1,y1 ，Qx2,y2 ， x = my - 23x2 - y2 = 3 3m2 - 1 y2 - 12my + 9 = 0,由对称性知以 PQ 为直径的圆必过 x 轴上的定点设以 PQ 为直径的圆过 Et,0 ， EP EQ = 0 x1 - t x2 - t + y1y2 = 0 x1x2 - tx1 + x2 + t2 + y1y2 = 0，而 x1x2 = my1 - 2 my2 - 2 = m2y1y2 - 2m y1 + y2 + 4= m2 9 - 2m 12m+ 4 = -3m2 - 4，3m2 - 1 3

27、m2 - 1 3m2 - 1x1 + x2 = m y1 + y2 - 4 = 12m - 4 = 4 3m2 - 1 3m2 - 12 -3m2 - 4- 4t + t2 + 9= 0，3m2 - 1 3m2 - 1 3m2 - 13m2 - 1 t2 - 4t + 5 - 3m2 = 0，即 3m2 - 1 t + 3m2 - 5 t - 1 = 0 对 m R 恒成立， t = 1，即 以 PQ 为直径的圆经过定点 1,0 1022.【解析】(1)fx = 1ax-1 - ex-1 x ex-1 2 e= 1a 1 - xex-1，令 fx = 0 x = 1 f x 有最大值， a 0

28、 且 f x 在 0,1 上 ；1,+ 上 ， f (x)max = f 1 = 1aa = 1 时 ，gx = 1 - a - lnx = -lnx，x2 x2当 0 x 0，gx ；当 x 1 时 ，gx 0；当 x 0, 1x- 1 + lnx 时，e ex-1 x当 x 1,+ 时 ，由 x = lnex = lnex ex ex elnex且 x lnex 1，x = x在 1,+ 上 ， x lnex 方程无解ex当 x 1 时 ，由 1 x lnex，x = x,1 在 0,1 上 ，e ex x lnex 方程有唯一解 x = 1当 0 b 1 时，注意到 F(0) = -b 0，1F + 2 =+ 2b11b +1e- b 12 - b 01b + 1 Fx 在 0,1 和 1, 1+ 21，x3 上各有一个零点 xbf x ，gx 示意图如下注意到 G 14 = -b 0，G 0， e b2 Gt 在 14 ,1 和 1, 上各有一个零点 x2，x4e b2x1 lnex2 x1 lnex2 lnex2且由 f x1 = gx2 = 1-1 = = = ，而 x1，lnex2 0,1 ，ex x2 ex ex2 elnex1 2