二次函数、函数与方程、函数模型及其应用.ppt

《二次函数、函数与方程、函数模型及其应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数、函数与方程、函数模型及其应用.ppt（67页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五节 二次函数、函数与方程、函数模型及其应用1.1.理解并掌握二次函数的图象、性质，会求二次函数的最值，理解并掌握二次函数的图象、性质，会求二次函数的最值，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的相互关能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的相互关系解决有关问题系解决有关问题.2.2.结合函数图象，了解函数的零点与方程的根的联系，能够用结合函数图象，了解函数的零点与方程的根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解二分法求相应方程的近似解.3.3.了解幂函数、指数函数、对数函数的增长特征，了解函数模了解幂函数、指数函数、对数函数的增长特征，了解函数模型型(指数函数、对数函数、幂函

2、数、分段函数等指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)在社会生活中在社会生活中的应用，会用这些模型解决简单的实际应用问题的应用，会用这些模型解决简单的实际应用问题.1.1.二次函数与一元二次方程、二次不等式是中学数学主要的运二次函数与一元二次方程、二次不等式是中学数学主要的运算载体，是解决问题的主要方法，很多问题最终都要化归到这算载体，是解决问题的主要方法，很多问题最终都要化归到这方面解决方面解决.2.2.函数零点及二分法是新课标中的新增内容，是高考常考点函数零点及二分法是新课标中的新增内容，是高考常考点.3.3.函数模型的应用是理论与实践结合的需要，顺应时代的发展，函数模型的应用是理论与实践

3、结合的需要，顺应时代的发展，是高考热点是高考热点.4.4.零点问题一般以选择、填空形式考查，难度不大，为低中档零点问题一般以选择、填空形式考查，难度不大，为低中档题；函数模型应用主要以解答题的形式考查，难度稍大，为中题；函数模型应用主要以解答题的形式考查，难度稍大，为中等偏上难度等偏上难度.二次函数、函数模型及其应用二次函数、函数模型及其应用高考指数高考指数:1.(20121.(2012重庆高考重庆高考)设函数设函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3，g(x)=3g(x)=3x x-2-2，集合，集合M=xR|f(g(x)M=xR|f(g(x)00，N=xR|g(x)N=xR|

4、g(x)22，则，则MNMN为为()()(A)(1(A)(1，+)(B)(0+)(B)(0，1)1)(C)(-1(C)(-1，1)(D)(-1)(D)(-，1)1)【解题指南】【解题指南】根据指数函数的性质及二次不等式的解法进行计根据指数函数的性质及二次不等式的解法进行计算算.【解析】【解析】选选D.f(g(x)=(3D.f(g(x)=(3x x-2)-2)2 2-4(3-4(3x x-2)+3-2)+30,0,解得解得3 3x x5 5或或3 3x x3,3,即即x xloglog3 35 5或或x x1,1,又又g(x)=3g(x)=3x x-2-22,2,解得解得x xloglog3 3

5、4,4,所以所以MNMN为为(-,1).(-,1).2.(20112.(2011福建高考福建高考)若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+mx+1=0+mx+1=0有两个不相等的有两个不相等的实数根，则实数实数根，则实数m m的取值范围是的取值范围是()()(A)(-1,1)(B)(-2,2)(A)(-1,1)(B)(-2,2)(C)(-(C)(-，-2)(2-2)(2，+)(D)(-+)(D)(-，-1)(1-1)(1，+)+)【解题指南】【解题指南】方程方程x x2 2+mx+1=0+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足若有两个不相等的实数根，需满足其判别式其判别式=m=m2 2

6、-40-40，由此即可解得，由此即可解得m m的取值范围的取值范围.【解析】【解析】选选C.C.方程方程x x2 2+mx+1=0+mx+1=0有两个不相等的实数根，需判别有两个不相等的实数根，需判别式式=m=m2 2-40-40，解得，解得m2m2或或m-2.m0a0，由抛物线与由抛物线与x x轴的另一个交点知轴的另一个交点知0 1,0 1 1，AA不正确不正确.在在B B中由抛物线的开口方向得到中由抛物线的开口方向得到a0a0，由抛物线与由抛物线与x x轴的另一个交点知轴的另一个交点知0 1,0 1 1，BB不正确不正确.在在C C中由抛物线的开口方向得到中由抛物线的开口方向得到a0a0，

7、由抛物线与由抛物线与x x轴的另一个交点知轴的另一个交点知 -1,1 1，此时对数函数应该单调递增，此时对数函数应该单调递增，CC项错误项错误.在在D D中由抛物线的开口方向得到中由抛物线的开口方向得到a0a0，由抛物线与由抛物线与x x轴的另一个交点知轴的另一个交点知 -1,-1,得到得到 1 1，此时得到对数函数单调递减，此时得到对数函数单调递减，DD项正确项正确.4.(20124.(2012江苏高考江苏高考)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+b(a,bR)+ax+b(a,bR)的值域为的值域为0,+)0,+)，若关于，若关于x x的不等式的不等式f(x)cf(x)c的

8、解集为的解集为(m,m+6)(m,m+6)，则实数，则实数c c的值为的值为_【解题指南】【解题指南】以一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的以一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识.解题关解题关键是不等式解集的端点是对应方程的两根键是不等式解集的端点是对应方程的两根.【解析】【解析】由题意由题意a a2 2-4b=0-4b=0，所以，所以f(x)f(x)c,c,可换为可换为x x2 2+ax+-c+ax+-c0,0,答案：答案：9 95.(20115.(2011湖北高考湖北高考)里氏地震里氏地震M

9、 M的计算公式为：的计算公式为：M=lgA-lgAM=lgA-lgA0 0，其，其中中A A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A A0 0是相应的标准地震是相应的标准地震的振幅的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 0001 000，此，此时标准地震的振幅为时标准地震的振幅为0.0010.001，则此次地震的震级为，则此次地震的震级为_级；级；9 9级级地震的最大振幅是地震的最大振幅是5 5级地震最大振幅的级地震最大振幅的_倍倍.【解题指南】【解题指南】“在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是在一次地震中，测震

10、仪记录的最大振幅是1 0001 000，此时标准地震的振幅为，此时标准地震的振幅为0.001”0.001”，即，即A A0 0=0.001,A=0.001,A=1 0001 000时，求时，求M M；第二问可将里氏地震；第二问可将里氏地震M M的计算公式用的计算公式用A A0 0、A A9 9、A A5 5表示后，再求解表示后，再求解.【解析】【解析】当当A A0 0=0.001,A=1 000=0.001,A=1 000时，时，M=lgA-lgAM=lgA-lgA0 0=lg1 000-lg0.001=lg10=lg1 000-lg0.001=lg106 6=6=6；设设9 9级地震最大振幅

11、是级地震最大振幅是A A9 9，5 5级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是A A5 5，则则9=lgA9=lgA9 9-lgA-lgA0 0，5=lgA5=lgA5 5-lgA-lgA0 0所以所以lgAlgA9 9-lgA-lgA5 5=4=4，即，即答案：答案：6 10 0006 10 000 函数与方程函数与方程高考指数高考指数:6.(20116.(2011新课标全国卷新课标全国卷)在下列区间中，函数在下列区间中，函数f(x)=ef(x)=ex x+4x-3+4x-3的的零点所在的区间为零点所在的区间为()()【解题指南】【解题指南】结合函数结合函数f(x)f(x)的单调性，将的单调性，

12、将4 4个选项中涉及的端个选项中涉及的端点值代入函数点值代入函数f(x)f(x)的解析式，零点所在的区间必在使得端点函的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内数值异号的区间内.【解析】【解析】选选C.f(x)C.f(x)是是R R上的增函数且图象是连续的，又上的增函数且图象是连续的，又f(x)f(x)定在定在(,)(,)内存在唯一零点内存在唯一零点.7.(20107.(2010福建高考福建高考)函数函数f(x)=f(x)=的零点个数为的零点个数为()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】【解析】选选C.f(x)=C.f(x)=绘制

13、出图象大致如图，所以零点个数为绘制出图象大致如图，所以零点个数为2.2.【方法技巧】【方法技巧】关于判断函数零点个数的方法总结关于判断函数零点个数的方法总结(1)(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点.(2)(2)画出函数画出函数y=f(x)y=f(x)的图象，判定它与的图象，判定它与x x轴的交点个数，进而判轴的交点个数，进而判定零点的个数定零点的个数.(3)(3)结合单调性，利用结合单调性，利用f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,可判定可判定y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上上零点的个数零点的个数.(4)(4)

14、转化成两个函数图象的交点问题转化成两个函数图象的交点问题.8.(20108.(2010浙江高考浙江高考)已知已知x x0 0是函数是函数f(x)=f(x)=的一个零点的一个零点.若若x x1 1(1(1，x x0 0)，x x2 2(x(x0 0，+)+)，则，则()()(A)f(x(A)f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 (B)f(x0 (B)f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 0(C)f(x(C)f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 (D)f(x0 (D)f(x1 1)0 0，f(xf(x2 2)0 0【解析】【解析】选选B.y=2B.y=2x x与与y=y=在

15、在(1,+)(1,+)上都为增函数，所以上都为增函数，所以f(x)=2f(x)=2x x+在在(1,+)(1,+)上单调递增，上单调递增，因为因为f(xf(x0 0)=0)=0，x x1 1xxx0 0,所以所以f(xf(x1 1)0,f(x)0.)0.9.(20109.(2010天津高考天津高考)函数函数f(x)=ef(x)=ex x+x-2+x-2的零点所在的一个区间的零点所在的一个区间是是()()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)(C)(0,1)(D)(1,2)【解析】【解析】选选C.f(x)=eC.f(x)=ex

16、 x+x-2,+x-2,f(0)=-10,f(0)=-10,故选故选C.C.10.(201210.(2012北京高考北京高考)已知已知f(x)=m(x-2m)(xf(x)=m(x-2m)(xm m3)3)，g(x)=2g(x)=2x x-2.2.若若xRxR，f(x)f(x)0 0或或g(x)g(x)0 0，则，则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】当当x x1 1时，时，g(x)g(x)0 0；当；当x1x1时，时，g(x)0g(x)0，只需，只需f(x)f(x)0 0，易知，易知m=0m=0时，不成立，所以时，不成立，所以解得解得-4-4m m0.0.综上综上,-4,-4

17、m m0.0.答案：答案：-4-4m m0 011.(201111.(2011福建高考福建高考)商家通常依据商家通常依据“乐观系数准则乐观系数准则”确定商确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价品销售价格，即根据商品的最低销售限价a a，最高销售限价，最高销售限价b(bb(ba)a)以及常数以及常数x(0 x(0 x x1)1)确定实际销售价格确定实际销售价格c=a+x(b-a)c=a+x(b-a)，这里，这里，x x被称为乐观系数被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数经验表明，最佳乐观系数x x恰好使得恰好使得(c-a)(c-a)是是(b-c)(b-c)和和(b-a)(b-a)的等比中项，

18、据此可得，最佳乐观系数的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x x的值等的值等于于_._.【解题指南】【解题指南】(c-a)(c-a)是是(b-c)(b-c)和和(b-a)(b-a)的等比中项的等比中项(c-a)(c-a)2 2=(b-=(b-c)(b-a)c)(b-a)，将，将c=a+x(b-a)c=a+x(b-a)代入上式，化简整理可得关于代入上式，化简整理可得关于x x的方程，的方程，解方程即可解方程即可.【解析】【解析】由题意得：由题意得：(c-a)(c-a)2 2=(b-c)(b-a)=(b-c)(b-a)，c=a+x(b-a),c=a+x(b-a),将其代入上式，将其代入上式，得得a+

19、x(b-a)-aa+x(b-a)-a2 2b-a-x(b-a)(b-a)b-a-x(b-a)(b-a)xx2 2(b-a)(b-a)2 2=(b-a)=(b-a)2 2(1-x)(1-x)，ba,b-a0,xba,b-a0,x2 2=1-x,=1-x,即即x x2 2+x-1=0,+x-1=0,解得解得又又0 x1,x=.0 x1,x=.答案：答案：12.(201012.(2010全国全国)直线直线y=1y=1与曲线与曲线y=xy=x2 2-|x|+a-|x|+a有四个交点，则有四个交点，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】方法一：如图，在同一直角坐标系内画出方法一：如图，

20、在同一直角坐标系内画出y=1y=1与曲线与曲线y=xy=x2 2-|x|+a-|x|+a的图象的图象,观察图象可知，观察图象可知，a a的取值必须满足的取值必须满足解得解得1a .1a .方法二：由方法二：由x x2 2-|x|+a=1-|x|+a=1得得(|x|-)(|x|-)2 2=-a+=-a+，作出作出y=(|x|-)y=(|x|-)2 2的图象如图所示的图象如图所示.故当故当0 0-a+-a+,即即1 1a a 时，时，(|x|-)(|x|-)2 2=-a+=-a+有四个解，即直线有四个解，即直线y=1y=1与曲线与曲线y=xy=x2 2-|x|+a-|x|+a有四个交点有四个交点.

21、答案：答案：1a1a【误区警示】【误区警示】利用数形结合思想研究函数的零点利用数形结合思想研究函数的零点(方程的根方程的根)、曲线交点问题，要注意以下两个方面曲线交点问题，要注意以下两个方面(1)(1)在去掉绝对值时要格外注意绝对值里面数值符号的变化在去掉绝对值时要格外注意绝对值里面数值符号的变化.(2)(2)在画图象时要考虑到端点等特殊情况在画图象时要考虑到端点等特殊情况.函数与方程函数与方程【典例【典例1 1】(2012(2012北京高考北京高考)函数函数f(x)f(x)的零点个数的零点个数为为()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解题视角】

22、【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由题目获取已知信息并分析如下：(1)(1)已知信息：已知信息：f(x)f(x)解析式中含有两个函数解析式中含有两个函数题目要求判断函数题目要求判断函数f(x)f(x)的零点的个数的零点的个数.(2)(2)信息分析：利用函数与方程思想信息分析：利用函数与方程思想,把函数零点个数问题化为把函数零点个数问题化为方程解的个数问题方程解的个数问题,再转化为两个函数图象的交点个数问题再转化为两个函数图象的交点个数问题.【解题流程】【解题流程】选选B.B.函数函数f(x)f(x)的零点个数，是方程的零点个数，是方程 =0 =0的解的个数，是方程的解的个数，是方程 的

23、解的个数，也就是的解的个数，也就是函数函数 与与y=()y=()x x的图象的交点个数的图象的交点个数.在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为两个函数的图象，可得交点个数为1.1.【命题人揭秘】【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：有：(1)(1)已知函数判断零点的个数，所在区间，求函数零点已知函数判断零点的个数，所在区间，求函数零点.(2)(2)利用函数零点及函数对应的方程解决综合性问题等利用函数零点及函数对应的方程解决综合性问题等.此类问此类问题经常以选择题、填空题的形式考查

24、，一般为中档难度题经常以选择题、填空题的形式考查，一般为中档难度.由于由于该部分知识为新课标新增内容，所以是高考考查热点该部分知识为新课标新增内容，所以是高考考查热点.备考策略：备考策略：函数、方程是解决数学问题的两个重要工具，是高考复习的重函数、方程是解决数学问题的两个重要工具，是高考复习的重点，零点问题将二者结合在一起，是高考的新增考点点，零点问题将二者结合在一起，是高考的新增考点.在训练在训练时时(1)(1)要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧；要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧；(2)(2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间会结合图象利用数形结合判断零点个数、零

25、点所在区间.考考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，在复习中要有所准备，但题量不必太大在复习中要有所准备，但题量不必太大.创设新情境多方面考查学生探索能力创设新情境多方面考查学生探索能力【典例【典例2 2】(2010(2010北京高考北京高考)如图放置的边长为如图放置的边长为1 1的正方形的正方形PABCPABC沿沿x x轴滚动轴滚动.设顶点设顶点P(x,y)P(x,y)的轨迹方程是的轨迹方程是y=f(x)y=f(x)，则函数，则函数f(x)f(x)的的最小正周期为最小正周期为_；y=f(x)y=f(x)在其两个相邻零

26、点间的图象与在其两个相邻零点间的图象与x x轴所围区域的面积为轴所围区域的面积为_._.说明：说明：“正方形正方形PABCPABC沿沿x x轴滚动轴滚动”包括沿包括沿x x轴正方向和沿轴正方向和沿x x轴负轴负方向滚动方向滚动.沿沿x x轴正方向滚动指的是先以顶点轴正方向滚动指的是先以顶点A A为中心顺时针旋为中心顺时针旋转，当顶点转，当顶点B B落在落在x x轴上时，再以顶点轴上时，再以顶点B B为中心顺时针旋转，如为中心顺时针旋转，如此继续此继续.类似地，正方形类似地，正方形PABCPABC可以沿可以沿x x轴负方向滚动轴负方向滚动.【解题视角】【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：由

27、题目获取已知信息并分析如下：(1)(1)已知信息：已知信息：正方形正方形PABCPABC边长为边长为1 1，函数，函数y=f(x)y=f(x)为正方形顶为正方形顶点点P(x,y)P(x,y)的轨迹方程的轨迹方程.正方形沿正方形沿x x轴正方向滚动轴正方向滚动.先以顶点先以顶点A A为为中心顺时针旋转，当顶点中心顺时针旋转，当顶点B B落在落在x x轴上时，再以顶点轴上时，再以顶点B B为中心顺为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABCPABC可以沿着可以沿着x x轴负方轴负方向滚动向滚动.(2)(2)信息分析：信息分析：让正方形沿让正方形沿x x轴正方

28、向滚动，观察分析轴正方向滚动，观察分析P P点运点运动轨迹，正方形以顶点动轨迹，正方形以顶点A A为中心顺时针旋转时，为中心顺时针旋转时，P P点做以点做以A A为圆为圆心，心，|PA|PA|为半径的圆周运动；以顶点为半径的圆周运动；以顶点B B为中心顺时针旋转，为中心顺时针旋转，P P点点做以做以B B为圆心，为圆心，|PB|PB|为半径的圆周运动；以此类推为半径的圆周运动；以此类推.作出点作出点P P的图象，从图象可求出最小正周期与面积的图象，从图象可求出最小正周期与面积.【规范解答】【规范解答】点点P P在一个周期内的运在一个周期内的运动轨迹如图所示动轨迹如图所示.y=f(x).y=f(

29、x)的最小正周的最小正周期为期为4.y=f(x)4.y=f(x)在其两个相邻零点间在其两个相邻零点间的图象与的图象与x x轴所围区域的面积为三个扇形：扇形轴所围区域的面积为三个扇形：扇形PPAPPA，扇形，扇形 扇形扇形 与两个与两个RtPAB,Rt RtPAB,Rt 的面积之和，的面积之和，即即答案：答案：4 +14 +1【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】创创新新点点拨拨 1.1.本本题题在在设设置置问问题题情情境境上上有有创创新新：利利用用几几何何图图形形，从从质质点点运运动动变变化化的的角角度度引引出出了了函函数数，利利用用质质点点轨轨迹迹即即函函数数图图象象，观观察察函函数数性性质质、零零点

30、点，并并利利用用图图象象解解决决了了面面积问题积问题.2.2.本本题题在在能能力力考考查查方方面面有有创创新新：借借助助实实物物运运动动考考查查了了学学生生动动手手、动动脑脑的的实实践践能能力力、观观察察能能力力、分分析析能能力力；考考查查了了学学生生面面对对新新情情境境、新新问问题题的的思思维维品品质质，充充分分体体现了新课改理念的具体要求现了新课改理念的具体要求.备备考考策策略略 1.1.通通过过创创设设新新情情境境、设设置置新新问问题题考考查查基基础础知知识识、基基本本能能力力是是高高考考试试题题改改革革的的主主要要方方向向，在在复复习习过过程程中中要要积积极极收收集集有有关关信信息息，

31、总总结结题题目目类类型型，探探索索研研究究解解决决新新问问题题的的思思路与方法，提高解题能力路与方法，提高解题能力.2.2.要要培培养养借借助助数数学学思思想想方方法法解解决决新新问问题题的的能能力力，比比如如利利用用数数形形结结合合思思想想，化化归归转转化化思思想想，分分类类讨讨论论思思想想解解决决函函数与方程结合的问题数与方程结合的问题.二次函数二次函数1.1.二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式(1)(1)一般式：一般式：f(x)=_;f(x)=_;(2)(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h,k)(h,k)，则其解析式，则其解析式为为:f(x

32、)=_;:f(x)=_;(3)(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为两根式：若相应一元二次方程的两根为x x1 1,x,x2 2，则其解析式，则其解析式为为f(x)=_.f(x)=_.【考点突破区】【考点突破区】axax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)a(x-h)a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0)(a0)2.2.二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质解析式解析式f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a(a0)0)图象图象定义

33、域定义域_值域值域R RR R解析式解析式f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a(a0)0)最值最值单调性单调性在在x_x_上单调递减上单调递减在在x_x_上单调递增上单调递增在在x_x_上单调递增上单调递增在在x_x_上单调递减上单调递减奇偶性奇偶性当当_时为偶函数，时为偶函数，_时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数顶点顶点对称性对称性图象关于直线图象关于直线_成轴对称图形成轴对称图形b=0b=0b0b0【状元心得】【状元心得】1.1.选择二次函数解析式的规律选择二次函数解析式的规律根据已知条件确定二次函数

34、解析式，一般用待定系数法，选择根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：规律如下：2.2.影响二次函数最值的三个要素与求法影响二次函数最值的三个要素与求法(1)(1)与抛物线的开口方向、对称轴位置、区间三个要素有关，常与抛物线的开口方向、对称轴位置、区间三个要素有关，常见三者中有两定一不定见三者中有两定一不定;(2)(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得端点或二次函数图象的顶点处取得.提醒：提醒：当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论当开口方向或对称轴位置或区间

35、不确定时要分情况讨论.3.3.三个二次之间的关系三个二次之间的关系二次函数、二次方程、一元二次不等式之间可以相互转化二次函数、二次方程、一元二次不等式之间可以相互转化.一一般规律：般规律：(1)(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从四个方面分析：的图象数形结合来解，一般从四个方面分析：开口方向；开口方向；对称轴位置；对称轴位置；判别式；判别式；端点函数值符号端点函数值符号.(2)(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求

36、解函数的图象、性质求解.(3)(3)研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应二研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应二次不等式的解集来确定图象形状次不等式的解集来确定图象形状.函数与方程函数与方程1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)函数零点的定义函数零点的定义对于函数对于函数y=f(x)(xD),y=f(x)(xD),把使把使_的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)(xD)y=f(x)(xD)的零点的零点.(2)(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x x轴交点三者间轴交点三者间的关系的关系方程方程f(x)=0f(x)=

37、0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与_有交点有交点函函数数y=f(x)y=f(x)有有_._.f(x)=0f(x)=0 x x轴轴零点零点(3)(3)函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理)如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是_的一条曲的一条曲线，并且有线，并且有_,_,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间_内有内有零点零点,即存在即存在c(a,b)c(a,b)，使得，使得_,_,这个这个_也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根的根.连续不断连续不断f(a)f(b)0f(

38、a)f(b)0)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 00=0=000)(a0)的图象的图象 与与x x轴的交点轴的交点_,_,_交点交点零点个数零点个数_(x(x1 1,0),0)(x(x2 2,0),0)(x(x1 1,0),0)无无2 21 10 0【状元心得】【状元心得】1.1.函数零点个数的三种判定方法函数零点个数的三种判定方法(1)(1)直接法：令直接法：令f(x)f(x)0 0，则有几个解就有几个零点，则有几个解就有几个零点.(2)(2)零点存在性定理法零点存在性定理法.(3)(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函图象法：先把所求函数分解为两个

39、简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点同的值，就有几个不同的零点.2.2.用二分法求函数用二分法求函数f(x)f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤第一步：确定区间第一步：确定区间a a，b b，验证，验证f(a)f(b)0f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度；第二步：求区间第二步：求区间a a，b b中点中点x x1 1第三步：计算第三步：计算f(xf(x1 1)(1)f(x(1)f(x1 1)=0,)=0,则则x x1 1就是函数的零点就是函数的零点(2)(2)若若f

40、(a)f(xf(a)f(x1 1)0,)0,则令则令b=xb=x1 1(3)(3)若若f(b)f(xf(b)f(x1 1)0,)0,则令则令a=xa=x1 1第四步：判断是否达到精确度第四步：判断是否达到精确度即若即若|a-b|,|a-b|0a0且且a1a1，b0)b0)对数函数模型对数函数模型f(x)=blogf(x)=bloga ax+cx+c(a,b,c(a,b,c为常数，为常数，a0a0且且a1,b0)a1,b0)幂函数模型幂函数模型f(x)=axf(x)=axn n+b(a+b(a，b b为常数，为常数，a0)a0)2.2.解函数应用问题的步骤解函数应用问题的步骤(四步八字四步八字)

41、(1)_(1)_：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；选择数学模型；(2)_(2)_：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)_(3)_：求解数学模型，得出数学结论；：求解数学模型，得出数学结论；(4)_(4)_：将数学问题还原为实际问题：将数学问题还原为实际问题.审题审题建模建模解模解模还原还原以上过程用框图表示如下：以上过程用框图表示如下：【状元心得】【状元心得】1.1.一次、二次函数

42、模型的适用条件一次、二次函数模型的适用条件(1)(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于自变量的系数大于0)0)或直线下降或直线下降(自变量的系数小于自变量的系数小于0)0)；(2)(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错调性解决，

43、但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.2.2.分段函数的适用条件分段函数的适用条件(1)(1)很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数间的关系，就是分段函数.(2)(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起到一起.要

44、注意各段变量的范围，特别是端点处要注意各段变量的范围，特别是端点处.忽视一元二次方程有实根的条件导致失误忽视一元二次方程有实根的条件导致失误 二次函数与二次方程联系密切，函数的零点即为相应方程二次函数与二次方程联系密切，函数的零点即为相应方程的根，函数有几个零点一般就意味着方程有几个根，在审题时的根，函数有几个零点一般就意味着方程有几个根，在审题时一定要注意条件的转化和相互利用，避免因审题不细造成错解一定要注意条件的转化和相互利用，避免因审题不细造成错解.【示例】已知：【示例】已知：、是二次函数是二次函数y=xy=x2 2-(k-2)x+k-(k-2)x+k2 2+3k+5(kR)+3k+5(

45、kR)的两个零点，求的两个零点，求2 2+2 2的最大值的最大值【易错易混区】【易错易混区】【错解】【错解】由题意得，由题意得，、是二次方程是二次方程x x2 2-(k-2)x+k-(k-2)x+k2 2+3k+5=0+3k+5=0的的两实根，两实根，所以所以+=k-2+=k-2，=k=k2 2+3k+5+3k+5，所以所以2 2+2 2=(+)=(+)2 2-2=(k-2)-2=(k-2)2 2-2(k-2(k2 2+3k+5)=-(k+5)+3k+5)=-(k+5)2 2+19+19所以所以2 2+2 2的最大值为的最大值为19.19.【错因】【错因】在错解中忽视了方程有两实根，判别式在错

46、解中忽视了方程有两实根，判别式00的条件，的条件，使使k k的范围扩大，从而造成结果错误的范围扩大，从而造成结果错误.【自我校正】【自我校正】【解析】【解析】由题意得，由题意得，、是二次方程是二次方程x x2 2-(k-2)x+k-(k-2)x+k2 2+3k+5=0+3k+5=0的两根的两根,=(k-2),=(k-2)2 2-4(k-4(k2 2+3k+5)0,+3k+5)0,解得解得-4k-.-4k-.又又+=k-2+=k-2，=k=k2 2+3k+5+3k+52 2+2 2=(+)=(+)2 2-2-2=(k-2)=(k-2)2 2-2(k-2(k2 2+3k+5)+3k+5)=-(k+

47、5)=-(k+5)2 2+19+19结合图象知结合图象知k=-4k=-4时有最大值，此时时有最大值，此时2 2+2 2的最大值为的最大值为18.18.函数零点及零点存在性定理理解不透导致失误函数零点及零点存在性定理理解不透导致失误 学习函数零点的求解与判断，必须理解函数零点的意义及函学习函数零点的求解与判断，必须理解函数零点的意义及函数零点与对应方程的根的关系，理解零点存在性定理，熟练掌握数零点与对应方程的根的关系，理解零点存在性定理，熟练掌握判断和求解的方法判断和求解的方法.如果对这些基础知识掌握不熟就会出现一些如果对这些基础知识掌握不熟就会出现一些知识性错误知识性错误.【示例】关于函数零点

48、的下列说法正确的是【示例】关于函数零点的下列说法正确的是()()(A)(A)方程方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间(a,b)(a,b)内有解，则内有解，则f(a)f(b)0f(a)f(b)0(B)(B)单调函数单调函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内与内与x x轴有交点，则轴有交点，则f(a)f(b)0f(a)f(b)0(C)(C)函数的图象函数的图象(图象是连续不断的图象是连续不断的)通过零点后函数值一定变号通过零点后函数值一定变号(D)(D)函数的零点可以是一个数，也可以是一个点函数的零点可以是一个数，也可以是一个点【错解【错解1 1】D D【错因】【错因】错解错解

49、1 1对于函数零点的概念把握不准，函数的零点是对于函数零点的概念把握不准，函数的零点是一个实数，而不是点一个实数，而不是点.【错解【错解2 2】A A【错因】【错因】错解错解2 2对于函数零点的性质掌握得不准确，由函数对于函数零点的性质掌握得不准确，由函数f(x)f(x)在在a,ba,b内连续，内连续，f(a)f(b)0f(a)f(b)0可得方程可得方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间(a,b)(a,b)内有解，反之不成立内有解，反之不成立.【错解【错解3 3】C C【错因】【错因】如如y=xy=x2 2，此函数图象通过零点后函数值不变号，此函数图象通过零点后函数值不变号.【自我校正】【自

50、我校正】【解析】【解析】选选B.B.单调函数单调函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内与内与x x轴有交点，则存在轴有交点，则存在x x0 0(a,b),f(a,b),f(x(x0 0)=0,f(a),f(b)=0,f(a),f(b)一定不等于零，且异号，即一定不等于零，且异号，即f(a)f(b)0.f(a)f(b)0.从从“数数”的角度看，函数的零点是的角度看，函数的零点是f(x)=0f(x)=0对应的对应的x x值；从值；从“形形”的角度看，函数的零点是函数的角度看，函数的零点是函数f(x)f(x)的图象与的图象与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.连续函数的图象通过零点后函数