二次函数解析式的几种解法.ppt

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1、春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获求二次函数的解析式求二次函数的解析式春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获复习复习抛物线抛物线 的对称轴及顶点的对称轴及顶点坐标：坐标：(1)对称轴：对称轴：直线直线 (2)顶点坐标：顶点坐标：春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获1.求下列函数的对称轴和顶点坐标求下列函数的对称轴和顶点坐标解：对称轴直线方程对称轴直线方程顶点坐标顶点坐标解：对称轴直线方程对称轴直线方程顶点坐标顶点坐标春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获已知一次函数的图像经过已知一次函数的图像经过点点A(0,-3)点点(2,-1)，求一次函，求一次函数的解析式数的解析式解：解：点点A(0,-3)点点B(2,-1)在所求

2、的一次函数在所求的一次函数y=kx+b的图象上。的图象上。所以解得：所以所求的一次函数解析式为所以所求的一次函数解析式为y=x-3设所求的一次函数的解析式设所求的一次函数的解析式y=kx+b为（为（k0）一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？1.一般式：一般式：yax2+bx+c(a0)2.顶点式：顶点式：ya(x-h)2+k (a0)特殊形式特殊形式3.交点式：交点式：ya(x-x1)(x-x2)(a0)春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获知识讲解知识讲解1.用待定系数法求二次函数的解析式用待定

3、系数法求二次函数的解析式主要主要步骤步骤（1）设：设函数的一般形式）设：设函数的一般形式（2）把点的坐标代人函数关系式中）把点的坐标代人函数关系式中（3）求出函数中字母常数）求出函数中字母常数（4）代回（）代回（1）求出函数解析式）求出函数解析式怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。学习是我们青年无悔的选择。春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题1：二次函数的对称轴是二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，且图象经过轴，顶点是原点，且图象经过点（点（-3,4）;求二次函数的解析式？求二次函数的解析式？解：根据题

4、意设函数的解析式是：解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2(a0)点（点（-3,4）在函数）在函数y=ax2 图象上图象上 4=a（-3）2即：即：9a=4函数的解析式是函数的解析式是：用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题2：抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（0，-3）,点（点（2,1）在）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？函数的图象上，求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2+k(a0)抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（0，-3）k=-3 点（点（2,1）在函数

5、）在函数y=ax2+k的图象上，的图象上，1=a22+k 由由和和得：得：a=1这个抛物线的解析式这个抛物线的解析式:y=x2-3春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题3：抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（-3，0）,点（点（-2,25）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2(a0)抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（-3，0）h=-3 点（点（-2,25）在函数）在函数y=a(x-h)2 的图象上，的图象上，25=a(-2-h)2 由由和和得：得：a=25这个抛物线的

6、解析式这个抛物线的解析式:y=25(x+3)2春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题4：抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（-2，2）,点（点（-1,-5）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2+k(a0)抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（-2，2）h=-2 ,k=2 这个抛物线的解析式这个抛物线的解析式:y=a(x+2)2+2点（点（-1,-5）在函数）在函数y=a(x-h)2+k的图象上，的图象上，-5=a(-1+2)2+2 由由得：得：a=-7这个抛物线的解析式这

7、个抛物线的解析式:y=-7(x+2)2 +2春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题5：抛物线抛物线y=x2+bx+c的图象经过点的图象经过点A（-2，2）点）点B（-1,-5）求这个抛物线的解析式？求这个抛物线的解析式？解：根据题意知：解：根据题意知：点点A（-2，2）点）点B（-1,-5）在函）在函数数y=x2+bx+c的图象上的图象上2=（-2）2+（-2）b+c -5=（-1）2+（-1）b+c 联立联立和和解得：解得：b=-4;c=-10这个抛物线的解析式这个抛物线的解析式:y=x2 -4x-10春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题6：已知抛物线图象与已知抛物线图象与y=2x2 形状

8、，大小相同。抛物线顶点形状，大小相同。抛物线顶点的横坐标是的横坐标是3；且函数的图象经过点；且函数的图象经过点A（4,6）求这个）求这个抛物线的解析式？抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2+k(a0)抛物线的图象经过点抛物线的图象经过点A（4，6）抛物线图象与抛物线图象与y=2x2 形状，大小相同形状，大小相同a=2 抛物线顶点的横坐标是抛物线顶点的横坐标是3h=3 6=2(4-3)2 +k 由由解得：解得：k=4这个抛物线的解析式这个抛物线的解析式:y=2(x-3)2 +4春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题7：二次函数的对称轴是二

9、次函数的对称轴是y轴轴,图象经过点图象经过点A（-3,2）和点）和点B（2,7）;求二次函数的解析式？求二次函数的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2+k(a0)点点A（-3,2）和点）和点B（2,7）在函数）在函数y=ax2+k 图象上2=a（-3）2 +k 7=a 22 +k 联立联立和和解得：解得：a=-1;k=11这个抛物线的解析式这个抛物线的解析式:y=-x2 +11春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题8：二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象向右平移的图象向右平移3个单位长度，个单位长度，在向下平移在向下平移2个单位，得到函数个单位，

10、得到函数y=x2+2x+3求求a,b,c的的值和求二次函数的解析式。值和求二次函数的解析式。解：解：y=x2+2x+3=(x+1)2+2(a0)抛物线顶点坐标是抛物线顶点坐标是(-1,2)把函数把函数y=（x+1）2+2图象向上平移图象向上平移2个单位得个单位得y=（x+1）2+4向左平移向左平移3个单位长度个单位长度y=（x+4）2+4即：即：y=ax2+bx+c=（x+4)2+4即：即：a=1,b=8,c=20二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=ax2+bx+c=（x+4)2+4春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题9：抛物线过点抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点，求函数的解

11、析式三点，求函数的解析式解解:设二次函数解析式设二次函数解析式为为y=ax2+bx+c点点(0,0)(1,2)(2,3)在二次函数图象上在二次函数图象上解得：解得：所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为:（3）求出函数中字母常数）求出函数中字母常数a,b,c的值的值小结：小结：过三点求出抛物线解析式过三点求出抛物线解析式（1）设出二次函数一般式）设出二次函数一般式y=ax2+bx+c(a0)（2）将题目中三点坐标代入已设函数解析式中）将题目中三点坐标代入已设函数解析式中（3）把）把a,b,c的值代人函数解析式中的值代人函数解析式中春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获练习题：已知抛物线与练习题：已知

12、抛物线与x轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式），求抛物线的解析式.解：设所求的二次函数的解析式为解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+ca-b+c=0a+b+c=0c=1a=-1 b=0 c=1解得解得故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=-x2+1春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题10：抛物线抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线的对称轴是直线 x=2，且函数的，且函数的最大值是最大值是-3,求求 抛物线的解析式。抛物线的解析式。解：解：抛物线抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线的对称轴是直线 x=2

13、，且函数，且函数的最大值是的最大值是-3 抛物线的抛物线的顶点坐标顶点坐标(2,-3)联立和解得：抛物线的解析式抛物线的解析式春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例题例题11：二次函数的图象与二次函数的图象与X轴交于轴交于A(2,0),B(-1,0)且过点且过点(0,-2),求二次函数的解析式。求二次函数的解析式。解解:抛物线与抛物线与X轴交于点轴交于点(2,0)(-1,0)设解析式为设解析式为:y=a(x-2)(x+1)把点把点(0,-2)代入代入a(0-2)(0+1)=-2解得解得 a=1y=(x-2)(x+1)即即:y=x2-x-2本例中函数的图像与本例中函数的图像与x轴的交点轴的交点A(x1

14、,0),B(x2,0)求求函数的解析式通过设为函数的解析式通过设为y=a(x-x1)(x-x2)；代值求出；代值求出a在求出函数的解析式。在求出函数的解析式。春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获1.已知抛物线已知抛物线y=x2-4x+c (1)过点过点A(1,3)求求c例题例题12：(2)顶点在顶点在X轴上，求轴上，求c解：解：(1)点点A(1,3)在抛物线在抛物线y=x2-4x+c上上,求得求得 c=6 3=12-41+C抛物线的解析式是抛物线的解析式是y=x2-4x+6解：解：抛物线抛物线y=x2-4x+c=（x-2)2+(4-c)抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（2,4-c)抛物线的顶点

15、坐标在抛物线的顶点坐标在x轴上。轴上。4-c=0 c=4春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获抛物线抛物线y=2x2+bx+c过点过点(2,3)且顶点在直线且顶点在直线y=3x-2上求上求抛物线的解析式抛物线的解析式例题例题13：解：解：抛物线的顶点坐标顶点抛物线的顶点坐标顶点在直线在直线y=3x-2上，上，设抛物线的顶点坐标为设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)抛物线的解析式变形为抛物线的解析式变形为y=2(x-m)2+(3m-2)点（点（2,3）在抛物线）在抛物线y=2(x-m)2+(3m-2)图像上图像上 3=2(2-m)2+(3m-2)m=1，春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获例例14.要修建一个

16、圆形喷水池要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装在池中心竖直安装一根水管一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处处达到最高达到最高,高度为高度为3m,水柱落地处离池中心水柱落地处离池中心3m,水水管应多长管应多长?x x xO O Oy y y123123A AAB(1B(1B(1，3)3)3)解解:如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,点点(1,3)(1,3)是图中这段抛物线的顶点是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(xy=a

17、(x1)1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)这段抛物线经过点这段抛物线经过点(3,0)(3,0)0=a(30=a(31)1)2 23 3解得解得:3 34 4a=a=因此抛物线的解析式为因此抛物线的解析式为:y=(xy=(x1)1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 4当当x=0 x=0时时,y=2.25,y=2.25答答:水管长应为水管长应为2.25m.2.25m.春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获已知抛物线(已知一个二次函数的图象是由已知一个二次函数的图象是由y=2x2 平移得到的，且函平移得到的，且函数的图象过点（数的图象过点（1，10）、（）、（1，4）、（）、（2，7）

18、三点，）三点，求这个函数的解析式求这个函数的解析式.解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解得：解得：a=2,b=-3 c=5因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：y=2xy=2x2 2-3x+5-3x+5怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。学习是我们青年无悔的选择。春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青

19、年无悔的选择。学习是我们青年无悔的选择。如图：已知抛物线的顶点为如图：已知抛物线的顶点为x=-1;函数的最小值是函数的最小值是-4，图象又经过点图象又经过点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-321 1 2ABC5-3-4解：抛物线的对称轴是直线解：抛物线的对称轴是直线x=-1；可；可以知道以知道如图点如图点A（-1,4）,B(1,0)B(1，0)A设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4因为点因为点C(2，5)在函数的图象上在函数的图象上5=a(2+1)2+4设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获已知二次函数已知二次函数图图象象顶顶点

20、点为为C（1，0），直），直线线 y=x+m 与与该该二次函数二次函数交于交于A，B两点，其中两点，其中A点（点（3，4），），B点在点在y轴轴上上.（1）求）求m值及这个二次函数关系式；值及这个二次函数关系式；（2）P为线段为线段AB上一动点（上一动点（P不与不与A，B重合），过重合），过P做做x轴轴 垂线与二次函数交于点垂线与二次函数交于点E，设线段，设线段PE长为长为h，点，点P横坐标为横坐标为x，求求h与与x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；取值范围；（3）D为线段为线段AB与二次函数对称与二次函数对称 轴的交点，在轴的交点，在AB上是否上是否存在

21、一点存在一点P，使四边形，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请为平行四边形？若存在，请求出求出P点坐标；点坐标；若不存在请说明理由若不存在请说明理由。，春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及(3)是否存在一点P，使SPAB=若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.SCAB图12-2xCOyABD11春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕

22、耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获1.抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与y=-x2形状相同形状相同,对称轴对称轴是直线是直线x=3,最高点在直线最高点在直线y=x+1上上,求抛物线解析式求抛物线解析式;2.已知直线已知直线y=kx+b与与x轴相交于点轴相交于点A；点；点A的横坐标的横坐标为为2,直线与抛物线直线与抛物线y=ax2相交于相交于B、C两点两点,且点且点B与与点点P(-1,1)关于关于y轴对称轴对称.(1)求求直线直线和

23、和抛物线抛物线的解析式的解析式;(2)若抛物线上有若抛物线上有一点一点D,使使S AOD =S BOC,求点求点D的的坐标坐标.春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获3.已知抛物线已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线与直线y=kx+4 相交于相交于点点A(1,m),B(4,8),与与x轴交于坐标原点轴交于坐标原点O和点和点C.(1)求直线和抛物线解析式求直线和抛物线解析式.(2)在在x轴上方的抛物线是否存在轴上方的抛物线是否存在D点点,使得使得S OCD=S OCB.若存在若存在,求出所有符合条件的点求出所有符合条件的点;若不若不存在存在,说明理由说明理由.春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获4.已知二

24、次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程对称轴方程是是x-1=0,抛物线与抛物线与x轴两交点的距离为轴两交点的距离为4,求这个求这个二次函数的解析式二次函数的解析式.春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获小结：小结：求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种方法1.一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为式为_ y=ax2+bx+c(a0)2.顶点式：已知抛物线顶点坐标（顶点式：已知抛物线顶点坐标（h,k），），通常设抛物线解析式为通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a0)3.

25、交点式交点式:已知抛物线与已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a0)春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获1 1、一般式：、一般式：y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)复习小结基础知识求函数解析式2 2、顶顶点式：点式：y=a(xy=a(xh)h)2 2+k+k(a(a0,其中点其中点(h,k)为顶点，对称轴为为顶点，对称轴为x=h。，3.交点式：y=a(xx1)(x-x2)(a0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。,x求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获春天辛勤的耕耘 秋天丰厚的收获