二次量子化之基础理论.ppt

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1、第三章 二次量子化之基礎理論古典粒子與波動現象離散振子系統(粒子性)LagrangianEuler 運動方程.mK固定邊界連續振子系統(波動性)(L=Na 固定)，Euler運動方程波速Lagrangian因1.2.5.4.3.6.7.8.9.波與粒子運動示意圖量子波動與粒子模型 Hamiltonian簡諧振子的波動模型簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式)Hamiltonian:產生raising()和湮滅lowering()算符and簡諧振子之量子狀態from1海森堡表象(Heisenberg representation)is time development operatorHami

2、ltonian:,:電場then,let3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型個等同粒子的Hamiltonian個等同粒子的波函數位置自旋置換算符：置換群 ：個客體之個置換算符構成之群因故偶元奇元群元素滿足置換算符及置換群置換算符及置換群123N置換算符數目1N2N-13N-2N1=N!所有可能置換算符數目置換算符之特性置換算符之特性且矩陣元在座標之表現矩陣元在座標之表現為對稱算符為 H之 eigenfunction亦為 H之 eigenfunction定義：轉置置換算符P 為正算符(unitary)所有粒子均受相同之物理作用所有粒子均受相同之物理作用所有物理算符對粒子變換具對稱性由由定義

3、兩類波函數對稱（波色子）反稱（費米子）1偶元-1 奇元多粒子系統之完全對稱及反稱態多粒子系統之完全對稱及反稱態多粒子多粒子各自之單粒子狀態單一粒子狀態單一粒子狀態（正規化集合）：狀態函數 多粒子系統之一量子狀態多粒子系統之一量子狀態向量直積粒子編碼狀態編碼：完備基向量完備基向量定義：對稱態 反稱態i.e 若（粒子 處於相同態）故反稱態每一態只允許佔有一粒子則對稱態每一態可允許佔有無窮多粒子N!symmetrized statesymmetrized basis state 即每一量子態可允許佔有無窮多粒子 若假設第一態有 個粒子，第二態有 個粒子故對一確定之分佈 其所有相異態間交換 正規化對稱

4、完全基正規化對稱完全基每一置換算符的等價類（重複數）之個數正規化因子的置換算符總數為1 2 3N1 2 3N 表不同態間之置換等價類數正規化反稱完備基正規化反稱完備基 粒子數表象（粒子數表象（FOCKFOCK表象）表象）編碼全同粒子沒有效率確認不同量子態上的粒子數Fermi子1 實態0 空態Bose子任意數，玻色子玻色子 (Bosons)產生算符共軛算符因故 湮滅算符證明：Bose 互易關係互易關係，證明：（）（）（）（）（）對 對1基態(Ground state)：真空態(Vacaum state)單粒子態(Single-particle state)雙粒子態(two-particle st

5、ate)多粒子態(many-particle state)正規化粒子數算符(The particle-Number Operutor)無相互作用之粒子單一粒之 Hamiltonian 的特徵值類似於簡諧振動之系統 廣義多粒子算符(general many-particle Operutors)單粒子算符系統 證明次 次 雙粒子算符系統當中證明費米子（Fermions）(Slater 行列式)N 粒子N 能階態定義費米子反稱互易關係（）（）（）證明（）設 設（）設 1 設 粒子數算符（particle operutors）單粒子算符 設 雙粒子算符 0：B:F（廣義公式）場算符（Field op

6、erators）（單粒子波函數）位置特徵向量 在位置特徵態 產生或增減一粒子 動能 Kinetic energy單粒子勢能 Single-particle potential 雙粒子相互作用勢能 Hamiltanian粒子數密度（particle-number density）總粒子數算符（Total-particle operator）場方程（Field-Equatioin）Heisnberg 表象 恆等式 動能+位能+相互作用項 FB動能:位能:相互作用項（場方程）（連續方程）當中 粒子流密度算符（current-density operator）動量表象：動量特徵函數（mom entum eigenfunction），動能（Kinetic energy）單粒子勢能（之 Fourier 轉換為 ）相互作用勢能Hamiltonian a)相互作用過程 b)雙散射過程 始 終 密度算符的 Fourier 轉換 含自旋系統：（為 方向之自旋分置）（和自旋無交互作用系統之H）自旋之費米子系統自旋密度算符 pauli 矩陣之元素 互易關係運動方程