第四节 重积分的应用优秀PPT.ppt

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1、第四节 重积分的应用第一页，本课件共有35页几何应用和物理应用求平面区域面积求空间区域体积求曲面的面积求物体质量求物体质心求转动惯量求引力第二页，本课件共有35页一、重积分的几何应用一、重积分的几何应用1 1、平面区域面积：、平面区域面积：为D 的面积,则 解：解：第三页，本课件共有35页解解:第四页，本课件共有35页第五页，本课件共有35页2、空间区域体积：空间区域体积：曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为：占有空间有界闭区域空间有界闭区域 的立体的体积为：第六页，本课件共有35页例例3.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P148-例6)解解:设由对称性可知第七页，本课

2、件共有35页例例4.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.（P163-例4）解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第八页，本课件共有35页(1)设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，3 3、曲面的面积、曲面的面积:第九页，本课件共有35页曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：第十页，本课件共有35页(3)设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：(2)设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得第十一页，本课件共有35页例例5.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面

3、积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法2：利用直角坐标方程利用直角坐标方程.（方法方法1 ）利用球坐标方程.见见P167-例例1第十二页，本课件共有35页例例6.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积出的面积 A.见见P168-例例2第十三页，本课件共有35页*二、重积分的物理应用二、重积分的物理应用1、平面薄片的质心、平面薄片的质心第十四页，本课件共有35页当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.由元素法由元素法第十五页，本课件共有35页解解第十六页，本课件共有35页第十七页，本课件共有35页2 2、平面薄片的转动

4、惯量、平面薄片的转动惯量第十八页，本课件共有35页薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量第十九页，本课件共有35页解解第二十页，本课件共有35页第二十一页，本课件共有35页解解第二十二页，本课件共有35页第二十三页，本课件共有35页薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数3 3、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力第二十四页，本课件共有35页解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知第二十五页，本课件共有35页所求引力为所求引力为第二十六页，本课件共有35页三、利用对称性化简重积分（三、利用对称性化简重积分（补

5、充内容补充内容）1 1、利用对称性化简二重积分、利用对称性化简二重积分：（：（偶倍奇零偶倍奇零）f(x,y)关于y 的奇偶性可类似定义，则有以下重要结论：(1)若D 关于 x=0(y 轴)对称(如图),则第二十七页，本课件共有35页(2)若D 关于y=0(x 轴)对称(如图),则(3)若D 关于y=0(x 轴)和x=0(y轴)对称(如图),且f(x,y)关于x和y均为偶函数，则第二十八页，本课件共有35页解：解：第二十九页，本课件共有35页(4)若D 关于原点对称(如图),则第三十页，本课件共有35页(5)若D 关于直线y=x 对称(如图),则(6)若D 关于直线y=x 对称(如上图),且f(

6、x,y)关于 x 和 y 都对称（即f(x,y)=f(y,x)），则第三十一页，本课件共有35页2 2、利用对称性化简三重积分、利用对称性化简三重积分：f(x,y,z)关于x和y 的奇偶性可类似定义，有以下重要结论：(1)若关于z=0(xoy平面)对称，则第三十二页，本课件共有35页例例.设计算提示提示:利用对称性原式=奇函数相应地，若关于yoz平面(zox平面)对称，f(x,y,z)关于x（或y）有奇偶性，可得相应结论。第三十三页，本课件共有35页(2)若关于三个坐标面 对称，且f(x,y,z)关于x,y,z均 为偶函数，则例例.设计算第三十四页，本课件共有35页内容小结内容小结1、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、曲面的面积曲面的面积2、计算要简便计算要简便充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为第三十五页，本课件共有35页