高数下曲线积分与曲面积分.pptx

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1、会计学1高数下曲线积分与曲面积分高数下曲线积分与曲面积分2.存在条件：存在条件：3.推广推广第2页/共89页4.性质性质 第3页/共89页5、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理第4页/共89页注意注意:第5页/共89页例例1解解第6页/共89页例例2解解例例3解解第7页/共89页例例3解解 由对称性由对称性,知知第8页/共89页练习题练习题第9页/共89页练习题答案练习题答案第10页/共89页二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义:函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线积分的曲线积分类似地定义类似地定义第11页/共

2、89页2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式第12页/共89页4.4.推广推广第13页/共89页5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第14页/共89页6、对坐标的曲线积分、对坐标的曲线积分的计算的计算定理定理第15页/共89页第16页/共89页第17页/共89页例例1解解第18页/共89页第19页/共89页例例2解解第20页/共89页问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.第21页/共89页例例3解解第22页/共89页第23页/共89页问题问题：被积函数相同

3、，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.第24页/共89页(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）第25页/共89页思考思考题题第26页/共89页思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.第27页/共89页第28页/共89页练习题答案练习题答案第29页/共89页1 1 1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属

4、于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三三、格林公式、格林公式第30页/共89页2.2.2.2.格林公式格林公式格林公式格林公式定理定理1 1第31页/共89页边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.第32页/共89页第33页/共89页xyoLAB 第34页/共89页第35页/共89页解解第36页/共89页xyoLyxo第37页/共89页xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)第38页/共89页 若区域若区

5、域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题第39页/共89页思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：第40页/共89页Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有第41页/共89页2.2.2.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2第42页/共89页两条件缺一

6、不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：第43页/共89页定理定理3 3第44页/共89页第45页/共89页解解第46页/共89页解解第47页/共89页第48页/共89页四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题第49页/共89页第50页/共89页第51页/共89页练习题答案练习题答案第52页/共89页五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分1.1.定义定义第53页/共89页2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质第54页/共89页3、计算法、计算法则则第55页/共89页则则第56页/共89页例例1 1解解第57页/共89页第

7、58页/共89页解解依对称性知：依对称性知：第59页/共89页第60页/共89页第61页/共89页练练 习习 题题第62页/共89页第63页/共89页练习题答案练习题答案第64页/共89页六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧第65页/共89页曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:第66页/共89页2 2、概念及性质、概念及性质第6

8、7页/共89页类似可定义类似可定义第68页/共89页存在条件存在条件:组合形式组合形式:第69页/共89页性质性质:第70页/共89页3 3、计算法、计算法第71页/共89页第72页/共89页注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.第73页/共89页解解第74页/共89页第75页/共89页练练 习习 题题第76页/共89页练习题答案练习题答案第77页/共89页七、高七、高 斯斯 公公 式式第78页/共89页GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知第79页/共89页解解第80页/共89页(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)第81页/共89页使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:第82页/共89页第83页/共89页解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式第84页/共89页第85页/共89页故所求积分为故所求积分为第86页/共89页练习题练习题第87页/共89页练习题答案练习题答案第88页/共89页感谢您的观看！感谢您的观看！第89页/共89页