高考数学理一轮复习立体几何中的向量方法人教A.pptx

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1、会计学1高考数学理一轮复习立体几何中的向量方高考数学理一轮复习立体几何中的向量方法人教法人教A4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用第2页/共100页1利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线垂直和解决空间角问题是高考的热点；2本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算；3多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力和数形结合的思想.第3页/共100页1.直线的方向向量和平面的法向量定义定义确定确定直线直线的方的方向向向向量量平面的平面的法向量法向量与平面_的任何一个向量都可作为平面的法向量显然一个平面的法向

2、量也不唯一如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线l 或 ,则称此向量 为直线l的方向向量.平面的法向量可利用方程组求解，设 是平面内两个不共线的向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为在直线上任取两点，这两点确定的向量即可为直线的方向向量垂直平行重合第4页/共100页【即时应用】(1)思考：在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标第5页/共100页(2)若 是平面内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则xyz=_.【解析】由 得所以x答案：23(-4)第6页/共100页2

3、.空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1 1,l2 2的方向向量分的方向向量分别为别为 l1 1l2 2l1 1l2 2直线直线l的方向向量为的方向向量为平面平面的法向量为的法向量为 ll平面平面,的法向量分的法向量分别为别为第7页/共100页【即时应用】(1)若平面,的法向量分别为a=(1,2,4)，b=(x，-1，-2)，并且，则x的值为_(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_【解析】(1)由得 ，解得x10.(2)由 =2(-6)+49+(-4)6=0得ab，从而l1l2答案：(1)10

4、 (2)l1l2第8页/共100页3.空间角的向量求法(1)异面直线所成角的求法设a、b分别是两异面直线l1,l2的方向向量l1 1与与l2 2所成的角所成的角范围范围求法求法第9页/共100页(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin=|cos|=_.第10页/共100页(3)二面角的求法如图a，AB、CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小=_.第11页/共100页如图b、c，n1，n2分别是二面角-l-的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos=_或_.cosn1，

5、n2-cosn1，n2第12页/共100页【即时应用】(1)已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm,n=，则l与所成角的大小为_(2)长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_ 第13页/共100页【解析】(1)由于cosm,n=，m,n=120，所以直线l与平面所成的角为30.(2)建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，答案：(1)30 (2)第14页/共100页4点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面的一条

6、斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d=_.第15页/共100页【即时应用】(1)思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：在RtBOA中,第16页/共100页(2)已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_【解析】如图，建立坐标系Dxyz，第17页/共100页则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的一个法向量为n(x，y，z)，由 得 ，令z=1，则n(2,2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d答案

7、：第18页/共100页 利用空间向量证平行、垂直【方法点睛】1.用向量证平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.第19页/共100页(3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题.2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示第20页/共100页(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示

8、【提醒】用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.第21页/共100页【例1】(1)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()(A)a(1,0,0)，n(2,0,0)(B)a(1,3,5)，n(1,0,1)(C)a(0,2,1)，n(1,0，1)(D)a(1，1,3)，n(0,3,1)第22页/共100页(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB 与平面ABCD成30的角.求证:CM平面PAD;平面PA

9、B平面PAD.第23页/共100页【解题指南】(1)验证 是否成立即可.(2)建立空间直角坐标系.可证明 与平面PAD的法向量垂直；也可将 分解为平面PAD内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.第24页/共100页【规范解答】(1)选D.若l，则an=0.经验证知，D满足条件.(2)由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC=30.第25页/共100页PC=2,D(0,1,0),B(,0,0),A(,

10、4,0),P(0,0,2),M(),方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即第26页/共100页令y=2,得n=(-,2,1).n ,又CM 平面PAD，CM平面PAD.方法二:，假设 平面PAD，则存在x,y使 ,则第27页/共100页 ，方程组的解为由共面向量定理知 与 共面，故假设成立，又CM 平面PAD,CM平面PAD.第28页/共100页取AP的中点E,连接BE，则E(,2,1),=(-,2,1).PB=AB,BEPA.又 ，BEDA，又PADA=A.BE平面PAD,又BE 平面PAB,平面PAB平面PAD.第29页/共100页【反思感悟】1.利用空间向量解决空间中

11、线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题.第31页/共100页 用空间向量求空间角【方法点睛】1.异面直线所成角的求法利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量转化成向量所成的角.2.利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);第35页/共100页(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.3.

12、求二面角的常用方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.第36页/共100页【例2】(2012 天津模拟)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角A-CD-E的余弦值.第37页/共100页【解题指南】(1)通过求向量 的夹角来求异面直线

13、所成的角；(2)证 ，进而得 可得结论成立；(3)利用两平面法向量的夹角求二面角的大小.【规范解答】如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(,1,).第38页/共100页(1)于是所以异面直线BF与DE所成角为60.(2)由可得所以CEAM,CEAD.又AMAD=A，故CE平面AMD.第39页/共100页又CE 平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(3)令平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则 于是令x=1,可得u=(1,1,1)又由题设知平面ACD的一个法向量为v=(

14、0,0,1).则cosu,v=由条件知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为 .第40页/共100页【反思感悟】1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意思考它们的联系和区别；2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系；3.用平面的法向量求二面角的大小时，一定要注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.第41页/共100页 求空间距离【方法点睛】求平面外一点P到平面的距离的步骤(1)求平面的法向量n；(2)在平面内取一点A,确定向量 的坐标；(3)代入公式 求解.第49页/共100页【例3】(1)(2012 广州模拟)已知ABCD

15、是边长为4的正方形，E，F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD且GC=2，则点B到平面EFG的距离为_.(2)(2012 上海模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a求点C1到平面AB1D1的距离；求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角的余弦值第50页/共100页【解题指南】(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式求解；(2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解；求得平面CDD1C1与平面AB1D1的法向量，利用法向量所成的角求二面角的大小.第51页/共100页【规范解答】(1)建立如图所示空间直角坐标系，则G(0，0，2)，E(-2，-4，0)，F(-

16、4，-2，0)，B(0，-4，0)，设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),由第52页/共100页可得 ,令x=-k(k0),则n=(-k,-k,3k).所求距离为=答案：第53页/共100页(2)建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，D1(0,a,a),B1(a,0,a),C1(a,a,a),设n=(x,y,z)是平面AB1D1的一个法向量，由 ，得第54页/共100页令z=-1,得x=1,y=1，可得n=(1,1,-1)因此C1到平面AB1D1的距离为由知，平面AB1D1的一个法向量是n=(1,1,-1)又因AD平面CDD1C1，故平面CDD1C1的一个法向量是n1=(0,1,

17、0)设所求二面角的平面角为，则第55页/共100页由题意可知二面角是锐角，所求二面角的余弦值为第56页/共100页【反思感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离等.其中点到点、点到线的距离可以用空湎蛄康哪辞蠼猓而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解.第59页/共100页 用空间向量解决探索性问题【方法点睛】探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：(1)存在判断型存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假设.第63页/共100页(2)位置判断型与平行、垂直有关

18、的探索性问题的解题策略为：将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决.与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式 (其中n1,n2是两平面的法向量或两直线的方向向量)即可解决.第64页/共100页【例4】(2011 浙江高考)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由第65页/共100页【解题指南】建立坐标系，(1)利用 来证明；(2

19、)假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可.若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立.第66页/共100页【规范解答】(1)如图以O为原点，以射线OD，OP分别为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4).，即APBC.第67页/共100页(2)假设存在M，设 ,其中0,1),则=(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1)，第68页/共100页平面APC的法向量n2=(x2

20、,y2,z2)由即可取n1=(0,1,)由第69页/共100页得 可取n2=(5,4,-3).由 ,得解得=，故|AM|=3综上所述，存在点M符合题意，|AM|=3第70页/共100页【反思感悟】1开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法.2对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第71页/共100页【满分指导】用空间向量解立体几何解答题的规范解答【典例】(12分)(2011 福建高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，AB+

21、AD=4，CD=，CDA=45.第78页/共100页(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.【解题指南】(1)证明平面PAB中的直线AB平面PAD，从而可推得平面PAB平面PAD；(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，然后用空间向量法进行求解探究.第79页/共100页【规范解答】(1)因为PA平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PAAB，又ABAD,PAAD=A，所以AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.3分(

22、2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图).在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.第80页/共100页在RtCDE中，DE=CDcos45=1.设AB=AP=t，则B(t,0,0),P(0,0,t)，由AB+AD4得AD=4-t，所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0).5分第81页/共100页设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由 ,得取x=t，得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).6分由题意得cos60=即解得t=或t=4(舍去，因为AD=4-t0)，所以|AB|=.8分第82页/共100页假设在线段AD上存在一个点G

23、(如图)，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等，设G(0,m,0)(其中0m4-t)，则第83页/共100页 9分由 得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m.由得(4-m-t)2=m2+t2.由消去t，化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.12分第84页/共100页【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；建立坐标系后，求点的坐标

24、时出现错误；(2)(2)解答第解答第(2)(2)问时，不知根据条件将问题转化为方程问时，不知根据条件将问题转化为方程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题第85页/共100页备备考考建建议议解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整.(2)(2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐.(3)(3)不会

25、利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题.(4)(4)计算失误导致结果不正确计算失误导致结果不正确.另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题有利于快速正确地解题.第86页/共100页1.(2012 昆明模拟)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB ，AF1，M在EF上且AM平面BDE.则M点的坐标为()第87页/共100页 A)(1,1,1)(B)(,1)(C)(,1)(D)(,1)【解析】选C.M在EF上，设MEx，M()，A(,0)，D(,0，0)，

26、E(0,0,1)，B(0，0)，设平面BDE的法向量n(a，b，c)，第88页/共100页由 得ab故可取一个法向量n(1,1，).第89页/共100页2.(2012 深圳模拟)设空间两个单位向量 =(m,n,0)，=(0，n,p)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于 ,则cosAOB=_.第90页/共100页【解析】由题意得答案：第91页/共100页3.(2012 珠海模拟)已知二面角-AB-为120，AC ,BD ,且ACAB，BDAB，AB=AC=BD=a，则CD的长为_.【解析】如图所示，第92页/共100页 =又ACAB，BDAB，二面角-AB-为120，答案：2a第93页/共100

27、页4.(2011 天津高考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=，C1H平面AA1B1B，且(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长第94页/共100页【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得第95页/共100页(1)易得于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为(2)易知设平面AA1C1的法向量m=(x,y,z)，则 ,即令x=，可得同样地，设平面A1B1C1的法向量n=(x0,y0,z0)，第96页/共100页则 即令 ，得于是cosm,n=从而sinm,n=所以二面角AA1C1B1的正弦值为第97页/共100页(3)由N为棱B1C1的中点，得设M(a,b,0)，则由MN平面A1B1C1，得即第98页/共100页解得故因此所以线段BM的长为第99页/共100页感谢您的观看！第100页/共100页