高等数学同济六教学不定积分.pptx

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1、高等数学同济六教学不定积分高等数学同济六教学不定积分一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)如引例中,的原函数有 第1页/共178页问题问题问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数第2

2、页/共178页定理定理定理定理 2.2.原函数都在函数族(C 为任意常数)内.证证:1)又知故它属于函数族即第3页/共178页定义定义定义定义 2.2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;(P185)若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!例如,记作第4页/共178页不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.第5页/共178页例例例例1.1.设曲线通过点设曲线通过点(1,(1,2)

3、,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为第6页/共178页例例例例2.2.质点在距地面质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻 先由此求 再由此求第7页/共178页先求先求由知再求于是所求运动规律为由知故第8页/共178页二、二、基本积分表基本积分表(P188)(P188)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维利用逆向思维(k 为常数)第9页/共178页或或第10页/共

4、178页第11页/共178页例例例例3.3.求求求求解解:原式 =例例4.求解解:原式=第12页/共178页三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论:若则第13页/共178页例例例例5.5.求求解解:原式 第14页/共178页例例例例6.6.求求求求解解:原式=例例7.求解解:原式=第15页/共178页例例例例8.8.求求求求解解:原式=第16页/共178页内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分

5、性质积分性质第17页/共178页思考与练习思考与练习1.证明 2.若(P193题7)提示提示:第18页/共178页3.3.若若是的原函数,则提示提示:已知第19页/共178页4.4.若若的导函数为则的一个原函数是().提示提示:已知求即B?或由题意其原函数为第20页/共178页5.5.求下列积分求下列积分:提示提示:第21页/共178页6.6.求不定积分求不定积分解：解：第22页/共178页7.7.已知已知已知已知求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得第23页/共178页作业作业P192 2 (5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);5;6第二节 第24页/共17

6、8页第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 第25页/共178页二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四四章 第26页/共178页第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设可导,则有第27页/共178页一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)第28页/共178页例例例例1.1.求求解解:令则故原式原式=注注:当时注意换回原变量第29页/共178页例例例例2.2.求求解解:令则想到公式第30页/共178页例例例例3.3.求求想到解解:(直接配元)第31页/共178页例例

7、例例4.4.求求解解:类似第32页/共178页例例例例5.5.求求解解:原式原式=第33页/共178页常用的几种配元形式常用的几种配元形式常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法第34页/共178页例例例例6.6.求求解解:原式=第35页/共178页例例例例7.7.求求解解:原式=例例8.求解解:原式=第36页/共178页例例例例9.9.求求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样第37页/共178页例例例例10.10.求求解法解法1 第38页/共178页解法解法解法解法 2 2 同样可证或(P199 例18)第39页/共178页例例例例11.11.求求解解:原式=第40页/共1

8、78页例例例例12.12.求求解解:第41页/共178页例例例例13.13.求求解解:原式=第42页/共178页例例例例14.14.求求解解:原式=分析分析:第43页/共178页例例例例15.15.求求解解:原式原式第44页/共178页小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第45页/共178页思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?第46页/共178页2.2.求求提示提示:法法1法法2法法3作业 第47页/共178页二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解

9、决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第48页/共178页定理定理定理定理2.2.设设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则则有换元公式第49页/共178页例例例例16.16.求求解解:令则 原式第50页/共178页例例例例17.17.求求解解:令则 原式第51页/共178页例例例例18.18.求求解解:令则 原式第52页/共178页令于是第53页/共178页说明说明:1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考 P204 P205)或代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式 第54页/共178页原式例例例例19.19.求求解解:令

10、则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.第55页/共178页小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲第56页/共178页2.2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 (P205(P205 P206 P206)7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令第57页/共178页第58页/共178页解解:原式(P206 公式(20)例例例例20.20.求求例例21.求解解:(P206 公式(23)第59页/共178页例例例例22.22.求求解解:原式=(P206 公式(22)例例23.求解解:原式(P206 公式(22)第60页/共178页例例例例2

11、4.24.求求解解:令得原式第61页/共178页例例例例25.25.求求解解:原式令例例16例16 第62页/共178页思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令第63页/共178页2.2.已知已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)第64页/共178页 P207 2 (4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44)作业作业第三节 第65页/共178页备用题备用题 1.求下列积分求下列积分:第66页/共178页2.2.求不

12、定积分解：解：利用凑微分法,原式=令得第67页/共178页分子分母同除以3.求不定积分解解:令原式第68页/共178页第三节由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法 第四四章 第69页/共178页例例例例1.1.求求解解:令则 原式思考思考:如何求提示提示:令则原式第70页/共178页例例例例2.2.求求解解:令则原式=第71页/共178页例例例例3.3.求求解解:令则 原式第72页/共178页例例例例4.4.求求解解:令,则 原式再令,则故 原式=说明说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.第73页/共178页解题技巧解题技巧解题技巧解题技巧

13、:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为例例5.求解解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数第74页/共178页例例例例6.6.求求解解:令,则原式=第75页/共178页例例例例7.7.求求解解:令则原式令第76页/共178页例例例例8.8.求求解解:令则 原式=第77页/共178页例例例例9.9.求求解解:令则得递推公式第78页/共178页说明说明说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,第79页/共178页例例例例10.10.设设证证:证明递推公式:第80页/共178页说明说明说明说明:分部积分题目的类型:1)直

14、接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例例43)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.例4 第81页/共178页例例例例11.11.已知已知的一个原函数是求解解:说明说明:此题若先求出再求积分反而复杂.第82页/共178页例例例例12.12.求求解法解法1 先换元后分部令即则故第83页/共178页解法解法解法解法2 2 直接用分部积分法直接用分部积分法第84页/共178页内容小结内容小结 分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后3.题目类型:分部化简;循

15、环解出;递推公式4.计算格式:第85页/共178页例例例例13.13.求求解解:令则可用表格法求多次分部积分第86页/共178页例例例例14.14.求求解解:令则原式原式原式原式=第87页/共178页思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.第88页/共178页2.2.求求提示提示:得第89页/共178页3.3.设设证证:目录 上页 下页 返回 结束 可微且其反函 数 存在,证明 第90页/共178页作业作业 P213 4,5,9,14,18,20,21,22 ,24第四节 第91页/共178页备用题

16、备用题.求不定积分解解：方法1(先分部,再换元)令则第92页/共178页方法方法2(先换元,再分部)令则故 第93页/共178页第四节 基本积分法:换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四四章 直接积分法;第94页/共178页一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和第95页/共178页例例例例1.1.将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :解解:(1)用拼凑法第96页/共178页(2)(2)用赋值

17、法用赋值法故第97页/共178页(3)(3)混合法混合法原式=第98页/共178页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分项积分 第99页/共178页例例例例2.2.求求解解:已知例1(3)例1(3)第100页/共178页例例例例3.3.求求解解:原式思考思考:如何求提示提示:变形方法同例3,并利用书 P363 公式20.第101页/共178页例例例例4.4.求求求求解解:说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第102页/共178页例例例例5.5.求求求求解解:

18、原式第103页/共178页常规法 例例例例6.6.求求求求解解:原式(见P363 公式21)注意本题技巧注意本题技巧本题用常规方法解很繁第104页/共178页二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则第106页/共178页例例例例7.7.求求求求解解:令则第107页/共178页第108页/共178页例例例例8.8.求求求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换第109页/共178页例例例例9.9.求求解法解法 1 令原式第110页/共178页例例

19、例例9.9.求求求求解法解法 2 令原式第111页/共178页例例例例10.10.求求求求解解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令原式第112页/共178页2.2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:令第113页/共178页例例例例11.11.求求解解:令则原式第114页/共178页例例例例12.12.求求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令第115页/共178页例例例例13.13.求求解解:令则原式原式第116页/共178页内容小结

20、内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,第117页/共178页思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式第118页/共178页作业作业P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,24第五节 第119页/共178页备用题备用题 1.求不定积分解：解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.第120页/共178页2.2.求不定积分求不定积分解：解：原式=前式令;后式配元第121页/共178页第四节 基本积分法

21、:换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四四章 直接积分法;第122页/共178页一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和第123页/共178页例例例例1.1.将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :解解:(1)用拼凑法第124页/共178页(2)(2)用赋值法用赋值法故第125页/共178页(3)(3)混合法混合法原式=第126页/共178页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分四种典型部

22、分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分项积分 第127页/共178页例例例例2.2.求求解解:已知例1(3)例1(3)第128页/共178页例例例例3.3.求求解解:原式思考思考:如何求提示提示:变形方法同例3,并利用书 P363 公式20.第129页/共178页例例例例4.4.求求求求解解:说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第130页/共178页例例例例5.5.求求求求解解:原式第131页/共178页常规法 例例例例6.6.求求求求解解:原式(见P363 公式21)注意本题技巧注意本题技巧本题用常规方法解很

23、繁第132页/共178页二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则第134页/共178页例例例例7.7.求求求求解解:令则第135页/共178页第136页/共178页例例例例8.8.求求求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换第137页/共178页例例例例9.9.求求解法解法 1 令原式第138页/共178页例例例例9.9.求求求求解法解法 2 令原式第139页/共178页例例例例10.10.求求求求解解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,

24、可令原式第140页/共178页2.2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:令第141页/共178页例例例例11.11.求求解解:令则原式第142页/共178页例例例例12.12.求求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令第143页/共178页例例例例13.13.求求解解:令则原式原式第144页/共178页内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上

25、述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,第145页/共178页思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式第146页/共178页作业作业P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,24第五节 第147页/共178页备用题备用题 1.求不定积分解：解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.第148页/共178页2.2.求不定积分求不定积分解：解：原式=前式令;后式配元第149页/共178页第五节积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分已把常用积分公式汇集成表,以备查用.如 P347附录.积分表的结构:按被积函数类型排列 积分表的使用:1)

26、注意公式的条件2)注意简单变形的技巧 注注:很多不定积分也可通过 Mathematica,Maple 等数学软件的符号演算功能求得.的效率,积分表的使用 第四四章 第150页/共178页例例例例1.1.求求解解:应使用P368 公式105.第151页/共178页例例例例2.2.求求解法解法1 令则原式(P364 公式 37)第152页/共178页例例例例2.2.求求解法解法2 令则原式(P363 公式 21)第153页/共178页例例例例3.3.求求解解:令则原式第154页/共178页(P363 公式2121)(P363 公式19)习题课 作业作业P221 3;8;19;24;25第155页/

27、共178页习题课一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四四章 第156页/共178页一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法 注意常见的换元积分类型,如掌握 P205P206 公式(16)(24)的推导方法(代换:)第157页/共178页3.3.分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法使用原则:1)由易求出 v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,

28、排前者取为 u,排后者取为计算格式:列表计算第158页/共178页多次分部积分的多次分部积分的多次分部积分的多次分部积分的 规规规规 律律律律快速计算表格:特别特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.第159页/共178页例例例例1.1.求求解解:原式第160页/共178页例例例例2.2.求求解解:原式分析分析:第161页/共178页例例例例3.3.求求解解:原式分部积分第162页/共178页例例例例4.4.设设解解:令求积分即而第163页/共178页例例例例5.5.求求解解:第164页/共178页例例例例6.6.求求解解:取说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:第165页/共178

29、页例例例例7.7.证明递推公式证明递推公式证证:注注:或第166页/共178页例例例例8.8.求求解解:设则因连续,得记作得利用 第167页/共178页例例例例9.9.设 解解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又第168页/共178页二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换第169页/共178页2.2.需要注意的问题需要注意的问题需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积

30、分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如例如,第170页/共178页例例例例10.10.求求解解:令则原式原式第171页/共178页例例例例11.11.求求解解:令比较同类项系数,故 原式说明说明:此技巧适用于形为的积分.第172页/共178页例例例例1212.解解：因为及第173页/共178页例例例例13.13.求不定积分解解:原式 第174页/共178页例例例例1414.解解:I=第175页/共178页例例例例15.15.求求解解:(n 为自然数)令则第176页/共178页 作业作业P222 6,9,18,19,28,31,38,39 第177页/共178页感谢您的观看。感谢您的观看。第178页/共178页