微积分发展史学习教案.pptx
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1、微积分发展史微积分发展史第一页,共27页。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想,种数学思想,无限细分无限细分 就是微分,就是微分,无无限求和限求和 就是积分。微积分(就是积分。微积分(CalculusCalculus)是)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和概念和 应用的数学分支。它是数学的一个应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
2、它使得函数、速是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线度、加速度和曲线(qxin)(qxin)的斜率等均可用的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。供一套通用的方法。第1页/共27页第二页,共27页。我国的微积分思想我国的微积分思想(sxing)萌萌芽芽 公元前5世纪,战国时期名家的代表作庄子天下篇中记载了惠施的一段话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,是我国较早出现(chxin)的极限思想。魏晋时期魏晋时期(shq)(shq)的数学家刘
3、徽的的数学家刘徽的“割圆术割圆术”开创了圆周率研究的新纪元,用他的话说,开创了圆周率研究的新纪元,用他的话说,就就 是:是:“割之弥细,所失弥少。割之又割,割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。”第2页/共27页第三页,共27页。西方西方(xfng)的微积分思想萌芽的微积分思想萌芽 安提芬的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时,提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积,从而(cng r)求出圆面积。之后,阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。刺激微分学发展的主要刺激微分学发展的主要(zhyo)(zhyo)科学问
4、题是求科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。值极小值等问题。第3页/共27页第四页,共27页。十七世纪微积分的酝酿(ynning)第一类是,已知物体(wt)的移动的距离表为时间的函数的公式,求物体(wt)在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题 第二类是,望远镜的光程设计使得求曲线第二类是,望远镜的光程设计使得求曲线(qxin)(qxin)的切线问题的切线问题 第三类是,确定炮弹的最大射程以及求行星第三类是,确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问
5、题大值、极小值问题 第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等,使面积、体积、曲线长、重心和引力等,使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。等微积分基本问题的计算被重新研究。第4页/共27页第五页,共27页。意大利数学家卡瓦列里在其著作用新方法促进的连续不可分量的几何学(1635)中发展了系统(xtng)的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成;面是由无限多条平行线段组成;立体则是由无限多个平行平面组成他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”卡瓦列里建立
6、了一条关于这些不可分量的普遍原理,后以“卡瓦列里原理”著称 第5页/共27页第六页,共27页。笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究大的影响,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。微积分的道路的。德国天文学家、数学家开普勒的无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒的无限小元法。17 17世纪上半叶一系列先驱性的工作,沿着不同的方向世纪上半叶一系列先驱性的工作,沿着不同的方向向微积分的大门逼近,但所有这些努力还不足以标志向微积分的大门逼近,但所有这些努力还不足以标志(biozh)(
7、biozh)微积分作为一门独立科学的诞生。微积分作为一门独立科学的诞生。第6页/共27页第七页,共27页。微积分的创立微积分的创立(chungl)牛顿的牛顿的“流数术流数术”牛顿对微积分问题的研究始于牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当年秋,当时他反复阅读笛卡儿几何学,对笛卡儿时他反复阅读笛卡儿几何学,对笛卡儿求切线的求切线的“圆法圆法”发生兴趣并试图寻找更好发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时,牛顿首创了小的方法。就在此时,牛顿首创了小记号表记号表示示x的无限小且最终的无限小且最终(zu zhn)趋于零的趋于零的增量增量第7页/共27页第八页,共27页。1665年11月发明“正流数术
8、”(微分法),次年5月又建立(jinl)了“反流数术”(积分法)1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以流数简论著称,是历史上第一篇系统的微积分文献.牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题(wnt)(wnt)的的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反正、反流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩,正是在这样的意义下,我们说牛越前人的功绩,正是在这样的意义下,我们说牛
9、顿发明了微积分。顿发明了微积分。第8页/共27页第九页,共27页。莱布尼茨的微积分莱布尼茨的微积分 莱布尼茨当时还没有莱布尼茨当时还没有(mi(mi yu)yu)微积分的符号,他用语微积分的符号,他用语言陈述他的特征三角形导出言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果:的第一个重要结果:“由一条曲线的法线形成由一条曲线的法线形成的图形,即将这些法线的图形,即将这些法线(在在圆的情形就是半径圆的情形就是半径)按纵坐按纵坐标方向置于轴上所形成的图标方向置于轴上所形成的图形,其面积与曲线绕轴旋转形,其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比而成的立体的面积成正比”。第9页/共27页第十页,共27页。在
10、微积分的创立上,牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉 莱布尼茨通常假设曲线z通过原点,这就将求积问题化成了反切线问题,即:为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积(min j),只需求出一条纵坐标为z的曲线,使其切线的斜率为如果是在区间上,由上的面积(min j)减去上的面积(min j):第10页/共27页第十一页,共27页。十八世纪微积分的发展十八世纪微积分的发展(fzhn)从从1717世纪到世纪到1818世纪的过渡时期,法国数学家罗尔在其论文任意次方世纪的过渡时期,法国数学家罗尔在其论文任意次方程一个解法的证明中给出了微分学的一个重要定理,也就是我程一个解法的证明中给出了微分学的一个重要定理,也就是我们
11、现在所说的罗尔微分中值定理。们现在所说的罗尔微分中值定理。伯努利兄弟雅各布和约翰,他们的工作构成了现今伯努利兄弟雅各布和约翰,他们的工作构成了现今(xinjn)(xinjn)初等微初等微积分的大部分内容。其中,约翰给出了求未定式极限的一个定理,积分的大部分内容。其中,约翰给出了求未定式极限的一个定理,这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作无穷小分析这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作无穷小分析,现在通称为罗比达法则。,现在通称为罗比达法则。第11页/共27页第十二页,共27页。1715年数学家泰勒在著作正的和反的增量方法中陈述了他获得的著名定理,即现在以他的名字命名的泰勒定理。后
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- 微积分 发展史 学习 教案
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