序列的傅里叶变换的定义和性质学习教案.pptx

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1、会计学1序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(binhun)的定义和性的定义和性质质第一页，共24页。序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(binhun)(binhun)的定义和的定义和性质性质1 1 序列傅里叶变换序列傅里叶变换(binhun)(binhun)的定义的定义 称称 为为 序序 列列 x(n)x(n)的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换(binhun)(binhun)，用用 FT(Fourier FT(Fourier Transform)Transform)缩写字母表示。缩写字母表示。FTFT成成立立的的充充要要条条件件是是序序列列x(n)x(n)满满足足绝绝对对可可和和的的条条件件，即即

2、满满足足下式：下式：第1页/共24页第二页，共24页。序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(binhun)(binhun)的定义和的定义和性质性质例:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 第3页/共24页第四页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质例:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 设N=4，幅度与相位(xingwi)随变化曲线如下图所示第4页/共24页第五页，共24页。n nP36 例题(lt)2.1.2第5页/共24页第六页，共24页。序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(binhun)(binhun)的定义和的定义和性质性质2.

3、2.2 2.2.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1.FT1.FT的周期性的周期性 在在FTFT定义式中，定义式中，n n取整数，取整数，因此下式成立因此下式成立 结论：结论：(1)(1)序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换是是频频率率(pnl)(pnl)的的连连续续周周期期函数，周期是函数，周期是22。(2)(2)X(ej)X(ej)可可展展成成傅傅里里叶叶级级数数，x(n)x(n)是是其其系系数数。X(ej)X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。表示了信号在频域中的分布规律。(3)(3)在在0,2,40,2,4表表示示信信号号的的直直流流分分量量，在在(2M(2M1)1)时时是是最

4、最高高的的频频率率(pnl)(pnl)分分量量。一一般只分析信号在一个周期的般只分析信号在一个周期的FTFTM为整数(zhngsh)第6页/共24页第七页，共24页。序列序列(xli)(xli)的傅里叶的傅里叶变换的定义和性质变换的定义和性质 2.2.线性线性 3.3.时移与频移时移与频移 设设X(e j)=FTx(n)X(e j)=FTx(n)，那么那么(n me)(n me)设：则：式中a,b为常数(chngsh)改变相位第7页/共24页第八页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质4.FT4.FT的对称性的对称性(1)(1)共轭对称序列

5、共轭对称序列 共轭对称序列共轭对称序列xe(n)xe(n)满足：满足：将将xe(n)xe(n)用其实部与虚部表示：用其实部与虚部表示：上式两边上式两边n n用用-n-n代替代替(dit)(dit)，取共轭：，取共轭：得到：得到：xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)实部是偶函数虚部是奇函数第8页/共24页第九页，共24页。序列序列(xli)(xli)的傅里叶的傅里叶变换的定义和性质变换的定义和性质(2)共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部

6、表示：上式两边n用-n代替(dit)，取共轭：对比上面两公式，左边相等，因此得到 xo(n)=x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n)实部是奇函数虚部是偶函数xor(n)=xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)第9页/共24页第十页，共24页。序列序列(xli)(xli)的傅里叶的傅里叶变换的定义和性质变换的定义和性质 例例1 1 试分析试分析x(n)=e jnx(n)=e jn的对称性的对称性 解：解：将将x(n)x(n)的的n n用用-n-n代替代替(dit)(dit)，再取共轭得到：再取共轭得到：x*(-n)=e jn x*

7、(-n)=e jn 因此因此 x(n)=x*(-n)x(n)=x*(-n)，x(n)x(n)是共轭对称序列。是共轭对称序列。将序列展成实部与虚部的形式，将序列展成实部与虚部的形式，得到得到 x(n)=cosn+j sinn x(n)=cosn+j sinn 上式表明上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函虚部是奇函数。数。第10页/共24页第十一页，共24页。序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(binhun)(binhun)的定义和的定义和性质性质(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对(fndu)称序列之和 xe(n),xo(n)和原序列x(n)有何关系

8、？将上式中的n用-n代替，取共轭：根据上面两式，得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n)x(n)=xe(n)+xo(n)第11页/共24页第十二页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质(4)频域函数(hnsh)X(ej)的对称性 任意频域函数(hnsh)X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)=X*e(ej)Xo(ej)=X*o(ej)Xe(ej),Xo(ej)和原频域函数(hnsh)X(ej)的关系第12页/共24页第十三页，共24页。序列序列(xli)(xli)的傅里叶的傅

9、里叶变换的定义和性质变换的定义和性质(5)研究FT的对称性 (a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到:X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部（包含j）一起(yq)对应的FT具有共轭反对称性。xi(n)第13页/共24页第十四页，共24页。序列序列(xli)(xli)的傅里叶的傅里叶变换的定义和性质变换的定义和性质(b)序列表示成共轭对称(duchn)部分xe(n)和共轭反对称(duchn)部分xo(n)之和其中：将上面两式分别进行FT，得到 FT

10、xe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称(duchn)部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称(duchn)部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej)。x(n)=xe(n)+xo(n)第14页/共24页第十五页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质总结：序列总结：序列(xli)(xli)傅里叶变换的共轭对称性的基本傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：内容如下：x(n)=xr(n)+jx

11、i(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)x(n)=xe(n)+xo(n)x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw)FTFT第15页/共24页第十六页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质(6)研究实因果序列h(n)的对称性 因为(yn wi)h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。所以其FT具有共轭对称性。即：H(ej)=He(ej)H(

12、ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数 即 ：HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)第16页/共24页第十七页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质 实因果序列h(n)与其共轭对称部分(b fen)he(n)和共轭反对称部分(b fen)ho(n)的关系 h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：0，n=0第17页/共24页第十八页，共24页。序列的傅里叶变换

13、序列的傅里叶变换(binhun)(binhun)的定义和的定义和性质性质实 因 果 序 列 h(n)分 别 用 he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)说明(shumng)：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)(n)信息分段增益函数第18页/共24页第十九页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质 例例22：若序列：若序列(xli)h(n)(xli)h(n)是实因果

14、序列是实因果序列(xli)(xli)，其傅立，其傅立叶变换的实部为叶变换的实部为HR(ejw)=1+coswHR(ejw)=1+cosw，求，求h(n)h(n)及其及其H(ejw).H(ejw).解解 HR(ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw+0.5 ejw=he(n)e-jwn 0.5 n=-1 he(n)=1 n=0 0.5 n=1根据实因果序列(xli)特性，h(n)=he(n)U+(n)根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FTh(n)=h(n)e-jwn=1+e-jw 0,n0 0 其它n 第19页/共24页第二十页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dn

15、gy)(dngy)和性质和性质5.5.时域卷积定理时域卷积定理 设：设：y(n)=x(n)*h(n)y(n)=x(n)*h(n)则：则：Y(e j)=X(e j)H(e j)Y(e j)=X(e j)H(e j)证明证明(zhngmng)(zhngmng)：令：令：k=n-m,k=n-m,则则mm定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于(duy)线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT第20页/共24页第二十一页，共24页。序列序列(xli)(xli)的傅里叶的傅里叶变换的定义和性质变换的定义和性质6.6.频域卷积定理频域卷积定理 设：设：y(n)=x(n)h(n

16、)y(n)=x(n)h(n)则：则：证明证明(zhngmng)(zhngmng)：xX()e第21页/共24页第二十二页，共24页。序列的傅里叶变换的定序列的傅里叶变换的定义义(dngy)(dngy)和性质和性质 7.帕 斯 维 尔Parseval定理(dngl)）定理说明：信号时域的总能量(nngling)等于频域中的总能量(nngling)。证明：第22页/共24页第二十三页，共24页。时域离散信号时域离散信号(xnho)(xnho)与系统的频域分析与系统的频域分析本章本章(bn zhn(bn zhn)作业作业2.1 (1)(2)(3)2.1 (1)(2)(3)2.5 (1)(2)(4)2.5 (1)(2)(4)第23页/共24页第二十四页，共24页。