微分中值定理与导数的应用ppt课件学习教案.pptx

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1、会计学1微分中值定理微分中值定理(dngl)与导数的应用与导数的应用ppt课课件件第一页，共112页。2第2页/共112页第二页，共112页。3几何(j h)解释:第3页/共112页第三页，共112页。4证明(zhngmng):第4页/共112页第四页，共112页。5几何(j h)解释:2.2.2.2.罗尔罗尔罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)(Rolle)(Rolle)定理定理定理定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)xO yCx abyf(x)AB 如果(rgu)连续光滑的曲线 y=f(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x,f(x)，曲线在

2、 C点的切线平行于 x 轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。第5页/共112页第五页，共112页。6证由费马引理,第6页/共112页第六页，共112页。7注意(zh y)：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能(knng)不成立。第7页/共112页第七页，共112页。8例1验证(ynzhng)第8页/共112页第八页，共112页。9 例2

3、 不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1,2，2,3上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点 x1，使 f(x1)=0，x1是 f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点 x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能(zh nn)有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。第9页/共112页第九页，共112页。10 如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少(zhsho)存在一点x(a,b)内

4、，使得几何(j h)意义：C2h xO yABaby=f(x)C1x 3.3.3.3.拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理中值定理中值定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)第10页/共112页第十页，共112页。11证明(zhngmng)作辅助(fzh)函数 第11页/共112页第十一页，共112页。12例3第12页/共112页第十二页，共112页。13拉格朗日中值公式(gngsh)又称有限增量公式(gngsh).或特别(tbi)地,或拉格朗日中值公式(gngsh)另外的表达方式：第13页

5、/共112页第十三页，共112页。14推论(tuln)1证明(zhngmng)第14页/共112页第十四页，共112页。15推论(tuln)2证明(zhngmng)第15页/共112页第十五页，共112页。16例4证由推论(tuln)1 知,第16页/共112页第十六页，共112页。17例5利用拉格朗日定理(dngl)可证明不等式.证第17页/共112页第十七页，共112页。18例6证由上式得第18页/共112页第十八页，共112页。19例7证类似(li s)可证：特别(tbi)，第19页/共112页第十九页，共112页。204.4.4.4.柯西柯西柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)(C

6、auchy)(Cauchy)中值定理中值定理中值定理中值定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)设函数(hnsh)f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果(rgu)取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：证略.第20页/共112页第二十页，共112页。21练习练习练习练习(lin(linx)x)：P154 习题(xt)4.11.(1)3.4.(1)(2)5.6.(3)8.第21页/共112页第二十一页，共112页。22第二节第二

7、节第二节第二节 洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(fz)(fz)(fz)(fz)在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在(cnzi)，也可能不存在(cnzi)，这种极限称为不定式，记为洛必达法则(fz)是求函数极限的一种重要方法.及第22页/共112页第二十二页，共112页。23定理(dngl)(洛必达法则)(证略)某去心邻域内有定义且可导,且满足(mnz)下列条件：第23页/共112页第二十三页，共112页。24说明(shumng)：5.洛必达法则(fz)可多次使用。只能说此时使用(shyng)洛必达法则失败,需另想它法；第24页/共112页第二十四

8、页，共112页。25例1用用用用“洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(f(f z)”z)”求求求求极限例题极限例题极限例题极限例题练习(linx):比较(bjio):因式分解，第25页/共112页第二十五页，共112页。26例2比较(bjio):第26页/共112页第二十六页，共112页。27练习(linx):或解等价(dngji)无穷小替换第27页/共112页第二十七页，共112页。28例3第28页/共112页第二十八页，共112页。29例4及时分离(fnl)非零因子 第29页/共112页第二十九页，共112页。30例5例6第30页/共112页第三十页，共112页。31例6或解：及时分

9、离(fnl)非零因子 第31页/共112页第三十一页，共112页。32例7解洛必达法则(fz)失效。练习(linx)不能使用(shyng)洛必达法则。解极限不存在第32页/共112页第三十二页，共112页。33例8解法:化为 或 型不定式。步骤(bzhu):其它(qt)不定式：第33页/共112页第三十三页，共112页。34例9步骤(bzhu):第34页/共112页第三十四页，共112页。35步骤(bzhu):例10对数恒等式第35页/共112页第三十五页，共112页。36例11或解(重要(zhngyo)极限法)：第36页/共112页第三十六页，共112页。37例12解第37页/共112页第三

10、十七页，共112页。38练习(linx)解第38页/共112页第三十八页，共112页。39解例13 这是数列极限(jxin),不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限(jxin).第39页/共112页第三十九页，共112页。40或解例13第40页/共112页第四十页，共112页。41小小结结(xioji)洛必达法则第41页/共112页第四十一页，共112页。423.若 不存在时,不能断定原极限是否存在,此时法则失效,改用其它方法.洛必达法则并不能解决一切不定式的极限问题.应用洛必达法则(fz)应注意的几个问题:1.应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数(hnsh)当做整个分式

11、来求导.2.洛必达法则可以累次(lic)使用,但必须注意,每次使用前需确定它是否为不定式.4.使用洛必达法则时,要灵活结合其它方法,如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等.第42页/共112页第四十二页，共112页。43练习练习练习练习(linx(linx)：P161 习题(xt)4.21.双号 3.选做第43页/共112页第四十三页，共112页。44第三节第三节第三节第三节 函数的单调函数的单调函数的单调函数的单调(dndio)(dndio)性与曲线性与曲线性与曲线性与曲线的凹凸性的凹凸性的凹凸性的凹凸性一、函数单调(dndio)性的判定法第44页/共112页第四十四页

12、，共112页。45函数的单调性与导数函数的单调性与导数函数的单调性与导数函数的单调性与导数(d(d o sh)o sh)符符符符号的关系号的关系号的关系号的关系观察(gunch)与思考：函数单调(dndio)增加函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？第45页/共112页第四十五页，共112页。46 函数单调增加(zngji)时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数(hnsh)的单调性与导数符号的关系观察(gunch)结果：函数单调减少函数单调增加第46页/共112页第四十六页，共112页。47定理(dngl)第47页/共112页第四十七页，共112页。48证应用(yngyng)

13、拉格朗日定理,得第48页/共112页第四十八页，共112页。49例1解例2解第49页/共112页第四十九页，共112页。50例3解第50页/共112页第五十页，共112页。51例4解第51页/共112页第五十一页，共112页。52也可用列表(li bio)的方式，例4解第52页/共112页第五十二页，共112页。53 导数等于零的点和不可(bk)导点，可能是单调区间的分界点方法(fngf):注意:区间内个别(gbi)点导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点第53页/共112页第五十三页，共112页。54例5证可利用函数的单调(dndio)性证明不等式第54页/共112页第五十四页，共112

14、页。55例6证综上所述，第55页/共112页第五十五页，共112页。56由连续函数的零点存在(cnzi)定理知，利用函数的单调性讨论(toln)方程的根例7证第56页/共112页第五十六页，共112页。57小结小结(xioji)单调(dndio)性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限(yuxin)或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第57页/共112页第五十七页，共112页。58问题:如何研究曲线(qxin)的弯曲方向?二、曲线的凹凸二、曲线的凹凸二、曲线的凹凸二、曲线的凹凸(o t)(o t)(o t)(o t)

15、与与与与拐点拐点拐点拐点NABM第58页/共112页第五十八页，共112页。59观 察(gunch)与思考：函数曲线除了有上升(shngshng)和下降外，还有什么特点？第59页/共112页第五十九页，共112页。60 定义一 如果在某区间内，曲线(qxin)弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线(qxin)在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线(qxin)弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线(qxin)在这个区间内是下凹的。曲线(qxin)凹向的定义凹的凸的第60页/共112页第六十页，共112页。61曲线(qxin)凹向的定义凹的凸的第61页/共112页第六十一页，共112页。6

16、2图形上任意(rny)弧段位于所张弦的上方：下凹图形(txng)上任意弧段位于所张弦的下方：上凹第62页/共112页第六十二页，共112页。63定义(dngy)二第63页/共112页第六十三页，共112页。64观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么(shn me)关系？拐点(ui din)凹的凸的当曲线(qxin)是上凹的时，f(x)单调增加。当曲线是下凹的时，f(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。第64页/共112页第六十四页，共112页。65定理(dngl)第65页/共112页第六十五页，共112页。66例8解x yO第66页/共112页第六十六页

17、，共112页。67例9解上凹下凹上凹拐点(ui din)拐点(ui din)第67页/共112页第六十七页，共112页。68例10解拐点(ui din)的求法：1.找出二阶导数(do sh)为零的点或不可导点；2.若它两边(lingbin)的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.第68页/共112页第六十八页，共112页。69例11解第69页/共112页第六十九页，共112页。70练习练习练习练习(lin(linx)x)：P168 习题(xt)4.32.(2)(3)(4)3.(1)4.(2)(4)7.10.选做第70页/共112页第七十页，共112页。71一、函数(hnsh)的极值及其求

18、法第四节第四节第四节第四节 函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的极值与最值及的极值与最值及的极值与最值及的极值与最值及其应用其应用其应用其应用第71页/共112页第七十一页，共112页。72定义(dngy)函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得(qd)极值的点称为极值点.注：极值(j zh)是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.第72页/共112页第七十二页，共112页。73定理(dngl)1(必要条件)由费马引理可知(k zh)，导数等于零的点称为(chn wi)驻点.对可导函数来讲,极值点必为驻点,但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件.另一方面,不可

19、导点也可能是极值点,x yOx yO第73页/共112页第七十三页，共112页。74 这就是说,极值点要么(yo me)是驻点,要么(yo me)是不可导点,两者必居其一.我们把驻点和孤立(gl)的不可导点统称为极值嫌疑点.下面给出两个充分条件,用来判别(pnbi)这些嫌疑点是否为极值点.第74页/共112页第七十四页，共112页。75定理2(极值(j zh)存在的第一充分条件)一阶导数(do sh)变号法第75页/共112页第七十五页，共112页。76例1解列表(li bio)讨论极大值极小值第76页/共112页第七十六页，共112页。77例2解第77页/共112页第七十七页，共112页。7

20、8定理3(极值(j zh)存在的第二充分条件)称为(chn wi)“二阶导数非零法”(1)记忆(jy):几何直观；说明：(2)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；第78页/共112页第七十八页，共112页。79例3解第79页/共112页第七十九页，共112页。80(1)确定(qudng)函数的定义域；(4)用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能(zh nn)判定驻点的情形.求极值(j zh)的步骤:(3)求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)；第80页/共112页第八十页，共112页。81二、函数二、函数二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)的最值的最值

21、的最值的最值极值(j zh)是局部性的,而最值是全局性的.第81页/共112页第八十一页，共112页。82具体(jt)求法：第82页/共112页第八十二页，共112页。83例4解计算(j sun)比较(bjio)得第83页/共112页第八十三页，共112页。84 更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有惟一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以(ky)断定该驻点即为最大(小)值点.则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；说明(shumng):第84页/共112页第八十四页，共112页。85 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容

22、积(rngj)最大？为多少？设小正方形的边长为x，则方盒的容积(rngj)为 例5解axa-2x 第85页/共112页第八十五页，共112页。86 将边长为a的正方形铁皮(tip),四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积(rngj)为 例5解第86页/共112页第八十六页，共112页。87 将边长为a的正方形铁皮(tip),四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积(rngj)为 解例5第87页/共112页第八十七页，共112页。88

23、要做一个(y)容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？hr设底半径(bnjng)为r,高为h，总的表面积为例6解即表面积最小.即高与底面直径(zhjng)相等.由实际问题,此时表面积最小.第88页/共112页第八十八页，共112页。89三、经济三、经济三、经济三、经济(jngj)(jngj)应应应应用举例用举例用举例用举例1.平均成本(chngbn)(AC)最低问题 例7设成本(chngbn)函数为 则平均成本为得驻点 此时平均成本和边际成本均为 4.一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.第89页/共112页第八十九页，共112页。902.最大利润(lrn)问题 例8利润

24、(lrn)函数为 解得驻点(zh din)第90页/共112页第九十页，共112页。91一般,利润(lrn)函数为 其中(qzhng)Q为产量,时,利润最大,其中MR和MC分别(fnbi)表示边际收益和边际成本(Marginal revenue,Marginal cost),“生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论.第91页/共112页第九十一页，共112页。92 3.最优批量(p lin)库存问题例9解设分x批生产,则生产准备(zhnbi)费和库存费之和为 得唯一(wi y)驻点 第92页/共112页第九十二页，共112页。93练习练习

25、练习练习(linx)(linx)：P180 习题(xt)4.41.(2)(4)(6)2.(3)(6)6.10.13.第93页/共112页第九十三页，共112页。94第五节第五节第五节第五节 函数图形函数图形函数图形函数图形(txng)(txng)(txng)(txng)的描绘的描绘的描绘的描绘一、曲线(qxin)的渐近线1.水平(shupng)渐近线例如有两条水平渐近线:xy(平行于x轴的渐近线)第94页/共112页第九十四页，共112页。95例如(lr)有两条铅直(qinzh)渐近线:2.铅直(qinzh)渐近线(垂直于x轴的渐近线)第95页/共112页第九十五页，共112页。963.斜渐近

26、线斜渐近线求法:第96页/共112页第九十六页，共112页。97例1解第97页/共112页第九十七页，共112页。98第98页/共112页第九十八页，共112页。99二、函数二、函数二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)图形图形图形图形的描绘的描绘的描绘的描绘第一步第二步第三步第四步第五步第99页/共112页第九十九页，共112页。100例2解非奇(fi q)非偶函数.列表(li bio)不存在(cnzi)拐点极小值点间断点第100页/共112页第一百页，共112页。101 C(-1,-2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数(hnsh)的图形.xO yF(3,-2/9).B(-2,-3)

27、，D曲线有水平(shupng)渐近线 y=-2和铅直渐近线 x=0。ABCDEF不存在(cnzi)拐点极小值点间断点描点:A(-3,-26/9)，第101页/共112页第一百零一页，共112页。102例3解偶函数,图形(txng)关于y轴对称.第102页/共112页第一百零二页，共112页。103拐点(ui din)极大值列表确定函数升降(shngjing)区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点(ui din)第103页/共112页第一百零三页，共112页。104第104页/共112页第一百零四页，共112页。105例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降(shngjing)区间,凹凸区间及极值点

28、与拐点:第105页/共112页第一百零五页，共112页。106拐点(ui din)极大值极小值无渐近线.补充(bchng)点:第106页/共112页第一百零六页，共112页。107小结小结(xioji)函数图形的描绘(miohu)综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点(ui din)上凹下凹单增单减第107页/共112页第一百零七页，共112页。108P189 习题(xt)4.51.(3)(4)(5)(7)2.(1)补充(bchng)：练习练习练习练习(linx)(linx)：第108页/共112页第一百零八页，共112页。109-2-112-2-112Ox

29、 yP189 习题(xt)4.5 2(1)第109页/共112页第一百零九页，共112页。110 解：(1)定义域：(-,-1)(-1,+)。(3)列表(li bio)y y(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断(jindun)00极大值-极小值 0 (4)曲线(qxin)有铅垂渐近线x=-1及斜渐近线y=x-1。第110页/共112页第一百一十页，共112页。111xO y-11-1y y(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断(jindun)00 (6)作出函数(hnsh)的图形。B(0,0)，(5)描点：A(-2,-4)，(4)曲线(qxin)有铅垂渐近线x=-1及斜渐近线y=x-1。极大值-极小值 0第111页/共112页第一百一十一页，共112页。112感谢您的观看(gunkn)！第112页/共112页第一百一十二页，共112页。