微分中值定理与导数的应用学习教案.pptx
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1、会计学1微分中值定理微分中值定理(dngl)与导数的应用与导数的应用第一页,共119页。证 因为(yn wi)f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m(1)如果M=m,则f(x)在a,b上恒等于常数M,因此(ync),对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若Mm,由于f(a)=f(b),因此(ync)M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0 第2页/共119页第二页,共119页。因f(x)在达到最大值,所以(suy)不论x是正的还是负的,总有 f(+x)-
2、f()0 当x0时,根据(gnj)极限的保号性,有当x0时,从而(cng r)必须有f()=0.第3页/共119页第三页,共119页。例1 验证(ynzhng)罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间-1,3上的正确性注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定(ydng)成立.显然(xinrn)函数f(x)=-2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1(-1,3),使f(1)=0 第4页/共119页第四页,共119页。例2证由介值定理(dngl)即为方程(fngchng)的小于1的正实根.矛盾(modn)
3、,第5页/共119页第五页,共119页。)=由连续函数介值定理(dngl)知至少存在一点 在0,1上有且仅有一个(y)0f(x)1,且对于(0,1)内所有(suyu)x,有f(x)1,求证例 设f(x)在0,1上可导,当0 x1时,使f(证 令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0 0,1,使得F(,下面证明在0,1上)=即f(仅有一点,使F()=0 假设另有一点)=0,则由罗尔定理可知,在 ,上至少有一点,使这与原题设矛盾这就证明了在0,1 内有且仅有)=一个,使f()=0,0,1,使得F(不妨设F()=0,即f()=1,第6页/共119页第六页,共119页
4、。二、拉格朗日中值定理(dngl)定理2 若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导则至少存在一点(a,b),使得证 作辅助(fzh)函数F(x)在a,b上连续(linx),在(a,b)内可导,且 第7页/共119页第七页,共119页。故 F(x)满足罗尔定理的条件,从而(cng r)至少存在一点(a,b),使得F()=0,即 因此(ync)得第8页/共119页第八页,共119页。拉格朗日中值定理中的公式称为(chn wi)拉格朗日中值公式,此公式也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(ab)另外,由于(yuy)是(a,b)中的一个点,它
5、还可以表示成 =a+(b-a)(0 1),于是,拉格朗日中值公式又可写成 f(b)-f(a)=(b-a)fa+(b-a)(01)要注意的是,在公式(gngsh)中,无论ab或ab,公式(gngsh)总是成立的,其中是介于a与b之间的某个数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第9页/共119页第九页,共119页。例4证第10页/共119页第十页,共119页。例5 证明(zhngmng)不等式对一切(yqi)x0成立.ln(1+x)x1),证 由于f(x)=ln(1+x)在,)上连续、可导,对任何x0,在0,x上运用微分(wi fn)中值公式,得
6、 (0 1)即 ln(1+x)=由于 x,因此当x0时,有f(x)-f(0)=f(x)x,(0ln(1+x)x 第11页/共119页第十一页,共119页。推论1 如果(rgu)f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数证 在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1 x2,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理(dngl)的条件因为(yn wi)f(x)0,所以 f()=0.从而 f(x2)=f(x1).第12页/共119页第十二页,共119页。例4证第13页/共119页第十三页,共119页。推论(tuln)2 若f(x)及g(x)在(a,b)内
7、可导,且对任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C 为常数).证 因f(x)-g(x)=f(x)-g(x)=0,由推论(tuln)1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x(a,b)第14页/共119页第十四页,共119页。三、柯西中值定理(dngl)定理3(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理(dngl),至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理(dngl)的假
8、设矛盾.故g(a)g(b).第15页/共119页第十五页,共119页。作辅助(fzh)函数F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少(zhsho)存在一点,使得 从而(cng r)有第16页/共119页第十六页,共119页。例5证第17页/共119页第十七页,共119页。第18页/共119页第十八页,共119页。四、小结(xioji)Rolle定理(dngl)Lagrange中值定理(dngl)Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系;注意定理成立的条件;注意利用中值定理证明等式与不等式.第19页/共119页第十九页,共119页。练 习 题3(1,2)
9、,(2,3),(3,4)前者是后者的特殊(tsh)情形,加即可 增量(zn lin)导数(do sh)恒为零 第20页/共119页第二十页,共119页。第二节 洛必达法则(fz)一、型未定式 定理1 设f(x),g(x)满足下列条件(tiojin):(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)f(x),g(x)在 内可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则第22页/共119页第二十二页,共119页。证 由条件(tiojin)(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(tiojin)(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续 设x ,则f(x)与g(x)在x0,x或x,x0 上满足柯
10、西定理的条件,当xx0时,显然(xinrn)有x0,由条件(3)得第23页/共119页第二十三页,共119页。例解如果(rgu)仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件,则可继续使用(shyng)洛必达法则.注意(zh y):第24页/共119页第二十四页,共119页。例2解第25页/共119页第二十五页,共119页。推论1 设f(x)与g(x)满足 (1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则证 令x=1/t,则x时,t0 第26页/共119页第二十六页,共119页。例3解第27页/共119页第二十七页,共11
11、9页。二、型未定式 定理2 设f(x),g(x)满足下列条件:(1)f(x)=,g(x)=;(2)f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则 第28页/共119页第二十八页,共119页。推论2 设f(x)与g(x)满足 (1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则第29页/共119页第二十九页,共119页。例4解第30页/共119页第三十页,共119页。解例5第31页/共119页第三十一页,共119页。三、其它(qt)未定式 若对某极限(jxin)过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为
12、0型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)且g(x),则称limf(x)g(x)为00型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式 第32页/共119页第三十二页,共119页。例6解关键:将其化为洛必达法则(fz)可解决的类型.步骤(bzhu):第33页/共119页第三十三页,共119页。例7解第34页/共119页第三十四页,共119页。例8解步骤(bzhu):第3
13、5页/共119页第三十五页,共119页。步骤(bzhu):例9解第36页/共119页第三十六页,共119页。例10解例11解第37页/共119页第三十七页,共119页。例12解极限(jxin)不存在洛必达法则(fz)失效。注意(zh y):洛必达法则的使用条件第38页/共119页第三十八页,共119页。例13解第39页/共119页第三十九页,共119页。练 习 题第40页/共119页第四十页,共119页。第41页/共119页第四十一页,共119页。第42页/共119页第四十二页,共119页。练习题答案(d n)第43页/共119页第四十三页,共119页。第三节 泰勒(ti l)公式 回顾微分(
14、wi fn)概念:若 在点 的某邻域内可导,则有f(x)=f(x)f+f(x)即从而(cng r)在点 的某邻域内,f+上式表明,如果我们用关于 的一次多项式作为 的函数值,则其误差是关于 的一个高阶无穷小.f(x)近似公式有两点不足:(1)精度不高;(2)没有误差估计式.第44页/共119页第四十四页,共119页。于是,设想用一个(y)关于 的n次多项式与一个关于(guny)的高阶无穷小来表达函数 ,即使f(x)f(x)=英国数学家泰勒提出并证明(zhngmng)了上述设想的正确性.显然如此下去,有第45页/共119页第四十五页,共119页。从而(cng r)有第46页/共119页第四十六页
15、,共119页。第47页/共119页第四十七页,共119页。为函数(hnsh)在点 处的n阶泰勒公式.f(x)而且(r qi)从而(cng r)当x时,(x)是关于的高阶无穷小,(x)=o(),称这种形式的余项为皮亚诺余项()作为 的近似值,由此可见,如果我们用x则其误差有估计式f(x)称=0,于是余项又可以表示为第48页/共119页第四十八页,共119页。称为(chn wi)拉格朗日型余项特别(tbi)地,当=0时的泰勒(ti l)公式,又称为马克劳林公式:+(在0与 之间),+o()f()=f(0)+f(0)+或 f()=f(0)+f(0)+第49页/共119页第四十九页,共119页。具有拉
16、格朗日型余项的马克(mk)劳林公式也可写成:+(01)f(x)=f(0)+f(0)x+二、函数的泰勒(ti l)展开式举例第50页/共119页第五十页,共119页。例1 写出函数(hnsh)的n阶马克劳林公式(gngsh),并利用的近似值,并估计(gj)误差f(x)=三阶马克劳林多项式计算解 由,,=,得f(x)=(x)=()=f(0)=1,f(0)=1,,于是得的马克劳林公式为 +(0)=1,=1+x+(在0与x之间),+,1+x+误差为因此第51页/共119页第五十一页,共119页。,n=3,则取x=1+16458,其误差(wch)0.0047 0.005=5第52页/共119页第五十二页
17、,共119页。例2 写出函数(hnsh)f(x)=sinx的n阶马克劳林公式第53页/共119页第五十三页,共119页。(-1),(x)=,例3 求函数f(x)=为任意实数)在x=0点的泰勒(ti l)公式于是(ysh)有(-1)(-n+1),,f(0)=1,f(0)=,f(0)=(0)=从而(cng r)得f(x)=在x=0点的泰勒公式为=1+o()x+特别地,当=n(正整数)时,有+.=1+nx+解 由于f(x)=,f(x)=-1),,第54页/共119页第五十四页,共119页。常用(chn yn)函数的麦克劳林公式第55页/共119页第五十五页,共119页。定理(dngl)一、单调(dn
18、dio)性的判别法第四节 函数的单调(dndio)性与极值 第56页/共119页第五十六页,共119页。证 对任意(rny)x1,x2 a,b,设x10,x(-/2,/2),所以y=sinx在-/2,/2上严格单调(dndio)增加.例1 证明(zhngmng)y=sinx 在-/2,/2上严格单调增加.第58页/共119页第五十八页,共119页。例2解第59页/共119页第五十九页,共119页。上例中,函数在定义区间上不是单调(dndio)的,但在各个部分区间上单调(dndio)定义:若函数在其定义域的某个区间(q jin)内是单调的,则该区间(q jin)称为函数的单调区间(q jin).
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