微积分英文实用学习教案.pptx

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1、会计学1微积分英文实用微积分英文实用(shyng)第一页，共70页。2.1n nTwo Problems with One Theme第2页/共70页第二页，共70页。Tangent Lines&Secant Linesn nThe slope of a secant line between 2 points on a curve is the change in y-values divided by the change in x-values.n nSince a tangent line touches only one point on the curve,how do we fi

2、nd the slope of the line?We consider the slope of 2 points that are INFINITELY close together at the point of tangencythus a limit!第3页/共70页第三页，共70页。Average Velocity&Instantaneous Velocityn nSimilar to slope of a secant line,to find average velocity,we find the change in distance divided by the chang

3、e in time between 2 points on a time interval.n nTo find instantaneous velocity,we find the difference in distance and time between two points in time that are INIFINITELY close togetheragain,a limit!第4页/共70页第四页，共70页。Tangent Line Slope at x=c&Instantaneous Velocity at t=c are defined the SAME第5页/共70

4、页第五页，共70页。一、一、一、一、引例引例引例引例(y(y n n l)l)1.变速变速(bin s)直线运动的直线运动的速度速度设描述(mio sh)质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页/共70页第六页，共70页。A falling bodyA falling body s velocity is defined.Find the instantaneous s velocity is defined.Find the instantaneous velocity at t=1 seco

5、ndsvelocity at t=1 seconds.第7页/共70页第七页，共70页。2.2.曲线的切线曲线的切线曲线的切线曲线的切线(qixin)(qixin)斜率斜率斜率斜率曲线(qxin)在 M 点处的切线(qixin)割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共70页第八页，共70页。两个两个两个两个(li(li n n )问题问题问题问题的共性的共性的共性的共性:瞬时速度(shn sh s d)切线(qixin)斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度

6、增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 Rest of Change:第9页/共70页第九页，共70页。3.2 The Derivativen nThe derivative of f(x)is designated as f(x)The derivative of f(x)is designated as f(x)or f or y.or f or y.第10页/共70页第十页，共70页。3.2 The Derivative第11页/共70页第十一页，共70页。思考思考思考

7、思考(sk(sk o)o)与与与与练习练习练习练习1.函数 在某点 处的导数区别(qbi):是函数(hnsh),是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共70页第十二页，共70页。二、导数二、导数二、导数二、导数(d(d o sh)o sh)的的的的定义定义定义定义定义定义(dngy)1.设函数设函数在点存在(cnzi),并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共70页第十三页，共70页。运动质点(zhdin)的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线(qxin

8、)在 M 点处的切线(qixin)斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共70页第十四页，共70页。若上述(shngsh)极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数(hnsh)在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数(hnsh)称为导函数(hnsh).记作:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.6 Leibniz Notation第15页/共70页第十五页，共70页。Differentiability implies continuity.n nIf the graph of a function has a tangent

9、 at point c,then there is no“jump”on the graph at that point,thus is continuous there.第16页/共70页第十六页，共70页。函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)的可导性与连续性的关的可导性与连续性的关的可导性与连续性的关的可导性与连续性的关系系系系定理定理(dngl).证证:设在点 x 处可导,存在(cnzi),因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共70页第十七页，共

10、70页。2.2.设设设设存在(cnzi),则3.已知则4.若时,恒有问是否(sh fu)在可导?解解:由题设由夹逼准则(zhnz)故在可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共70页第十八页，共70页。2.3n nRules for Finding Derivatives第19页/共70页第十九页，共70页。常数和基本初等函数(hnsh)的导数机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第20页/共70页第二十页，共70页。例例例例.求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆(tu(tu yun)yun)在点处的切线(qixin)方程.解解:椭圆椭圆(tuyun)方程两方程两边对边对 x 求导求导故

11、切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共70页第二十一页，共70页。四则运算四则运算四则运算四则运算(s z yn sun)(s z yn sun)求导法求导法求导法求导法则则则则 定理定理(dngl).的和、差、积、商(除分母(fnm)为 0的点外)都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共70页第二十二页，共70页。此法则(fz)可推广到任意有限项的情形.证证证证:设,则故结论(jiln)成立.机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 例如,第23页/共70页第二十三页，共70页。(2)(2

12、)证证:设则有故结论(jiln)成立.推论推论(tuln):机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束(C为常数)第24页/共70页第二十四页，共70页。(3)(3)证证:设则有故结论(jiln)成立.推论推论(tuln):机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束(C为常数)第25页/共70页第二十五页，共70页。例例例例.解解:机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共70页第二十六页，共70页。有限次四则运算有限次四则运算有限次四则运算有限次四则运算(s z yn sun)(s z yn sun)的求导法则的求导法则的求导法则的求导法则(C为常数(chngsh)机动 目录 上

13、页 下页 返回(fnhu)结束 第27页/共70页第二十七页，共70页。2.4n nDerivatives of Trigonometric Functions第28页/共70页第二十八页，共70页。FormulaFormula 解解第29页/共70页第二十九页，共70页。f f(sin x)=cos xf(cos x)=-sin xn nFind derivatives of other trig.functions using these derivatives and applying product rule and/or quotient rule第30页/共70页第三十页，共70页

14、。例例例例.求证求证求证求证(qizhn(qizhng)g)证证:类似(li s)可证:机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共70页第三十一页，共70页。Derivatives of sec(x),csc(x)and cot(x)n nAll are found by applying the product and/or quotient rules and using known derivatives of sin(x)and cos(x).第32页/共70页第三十二页，共70页。2.5n nThe Chain RuleThe Chain Rule复合复合(fh)函数

15、求导法则函数求导法则第33页/共70页第三十三页，共70页。For a composite function,its derivative is For a composite function,its derivative is found by taking the derivative of the outer found by taking the derivative of the outer function,with respect to the inner function,function,with respect to the inner function,times th

16、e derivative of the inner function times the derivative of the inner function with respect to x.with respect to x.n nIf the composition consists of 3 or more If the composition consists of 3 or more functions,continue to take the derivative of the functions,continue to take the derivative of the nex

17、t inner function,with respect to the function next inner function,with respect to the function within it,until,finally,the derivative is taken with within it,until,finally,the derivative is taken with respect to x.respect to x.第34页/共70页第三十四页，共70页。在点 x 可导,复合复合复合复合(fh)(fh)函数求导法则函数求导法则函数求导法则函数求导法则定理定理(

18、dngl)3.在点可导复合(fh)函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共70页第三十五页，共70页。求下列函数(hnsh)的导数第36页/共70页第三十六页，共70页。例如(lr),关键:搞清复合(fh)函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量推广：此法则可推广到多个中间变量推广：此法则可推广到多个中间变量推广：此法则可推广到多个中间变量(binling)(binling)的情形的情形的情形的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共70页第三十七页，共70页。例例例例.求解解:例例.设解解

19、:求机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共70页第三十八页，共70页。例例例例.求解解:关键关键:搞清复合函数搞清复合函数(hnsh)结构结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共70页第三十九页，共70页。例例例例.设设设设求解解:机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第40页/共70页第四十页，共70页。Find the derivative(note this is the Find the derivative(note this is the composition of 3 functions,there

20、fore there composition of 3 functions,therefore there will be 3 will be 3“piecespieces”to the chain.)to the chain.)第41页/共70页第四十一页，共70页。3.7n nHigher-Order Derivatives第42页/共70页第四十二页，共70页。f=2ndnd derivative derivativef f=3rd derivative derivativef f=4=4thth derivative,etc derivative,etcn nThe 2nd deriv

21、ative is the derivative of the 1st derivative.n nThe 3rd derivative is the derivative of the 2nd derivative,etc.第43页/共70页第四十三页，共70页。定义定义定义定义(dngy).(dngy).若函数(hnsh)的导数(do sh)可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或的二阶导数二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共70页第四十四页，共70页。Velocity is the deriva

22、tive of distance with respect to time(1st st derivative)and Acceleration is the derivative of velocity with respect to time(2nd derivative of distance with respect to time)n nUp(or right)is a positive velocity.n nDown(or left)is a negative velocity.n nWhen an object reaches its peak,its velocity equ

23、als zero.第45页/共70页第四十五页，共70页。速度(sd)即加速度即引例引例(yn l)：变速直线：变速直线运动运动机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第46页/共70页第四十六页，共70页。3.8n nImplicit Differentiationn n(An application of the chain rule!)n ny is now considered as a function of x,therefore we apply the chain rule to yn nApply all appropriate rules and solve for

24、dy/dx.第47页/共70页第四十七页，共70页。Find the derivative第48页/共70页第四十八页，共70页。例例例例.求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆(tu(tu yun)yun)在点处的切线(qixin)方程.解解:椭圆椭圆(tuyun)方程两方程两边对边对 x 求导求导故切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页/共70页第四十九页，共70页。例例例例.求求求求的导数(do sh).解解:两边两边(lingbin)取对数取对数,化化为隐式为隐式两边(lingbin)对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第50页/共70页第五十页，共70页。1)对幂指函

25、数(hnsh)可用对数(du sh)求导法求导:说明说明说明说明(shum(shum(shum(shumng):ng):ng):ng):按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第51页/共70页第五十一页，共70页。2)2)有些显函数用对数有些显函数用对数有些显函数用对数有些显函数用对数(du sh)(du sh)求导法求导很方便求导法求导很方便求导法求导很方便求导法求导很方便.例如例如(lr),两边(lingbin)取对数两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页/共70页第五十二页，共70页。又如又如又如又如,对 x 求导两边(li

26、ngbin)取对数机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第53页/共70页第五十三页，共70页。设设设设由方程(fngchng)确定(qudng),解解:方程(fngchng)两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第54页/共70页第五十四页，共70页。设设设设求分别(fnbi)用对数微分法求答案答案(d(d n):n):机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第55页/共70页第五十五页，共70页。2.8n nRelated Ratesn nA very,very important application of the de

27、rivative!n nApplies to situations where more than one variable is changing with respect to time.n nThe other variables are defined with respect to time,and we differentiate implicitly with respect to time.第56页/共70页第五十六页，共70页。相关相关相关相关(xinggun)(xinggun)变化变化变化变化率率率率为两可导函数(hnsh)之间有联系(linx)之间也有联系称为相关变化率相

28、关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共70页第五十七页，共70页。相关相关相关相关(xinggun)(xinggun)变化变化变化变化率率率率为两可导函数(hnsh)之间有联系(linx)之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共70页第五十八页，共70页。例例例例.一气球一气球一气球一气球(qqi)(qqi)从离开观察员从离开观察员从离开观察员

29、从离开观察员500 m 500 m 处离地面铅直上处离地面铅直上处离地面铅直上处离地面铅直上升升升升,其速率(sl)为当气球(qqi)高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则两边对 t 求导已知 h=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页/共70页第五十九页，共70页。由参数方程由参数方程由参数方程由参数方程(fngchng)(fngchng)确定的函数的导数确定的函数的导数确定的函数的导数确定的函数的导数若参数(cnsh)方程可确定(qudng)一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成 x

30、是 y 的函数)关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页/共70页第六十页，共70页。例例例例.抛射体运动轨迹抛射体运动轨迹抛射体运动轨迹抛射体运动轨迹(gu(gu j)j)的参数方程为的参数方程为的参数方程为的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度(sd)的大小和方向.解解:先求速度先求速度(sd)大大小小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第61页/共70页第六十一页，共70页。抛射体轨迹抛射体轨迹抛射体轨迹抛射体轨迹(gu(gu j)j)的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程速度

31、的水平(shupng)分量垂直(chuzh)分量在刚射出(即 t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向机动 目录 上页 下页 返回 结束 第62页/共70页第六十二页，共70页。2.9n nDifferentials&Approximationsn ndx is the differential of x,graphically it is the change in the x of the tangent to the curve(dy/dx)n ndy is the differential of y,graphically is corresponds to

32、 the change in the y of the tangent to the curve(dy/dx)第63页/共70页第六十三页，共70页。微分微分微分微分(wi fn)(wi fn)在近似计算中的应用在近似计算中的应用在近似计算中的应用在近似计算中的应用当很小时(xiosh),使用使用(shyng)原则原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第64页/共70页第六十四页，共70页。微分在估计误差微分在估计误差微分在估计误差微分在估计误差(wch)(wch)中的应用中的应用中的应用中的应用某量的精确(jngqu)值为 A,其近似值为 a,称为(chn wi)a 的绝对误

33、差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第65页/共70页第六十五页，共70页。误差传递公式误差传递公式误差传递公式误差传递公式(gngsh):(gngsh):已知测量误差限为按公式(gngsh)计算(j sun)y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第66页/共70页第六十六页，共70页。例例例例.设测得圆钢截面设测得圆钢截面设测得圆钢截面设测得圆钢截面(jimin)(jimin)的直径的直径的直径的直径 测量(cling)

34、D 的 绝对误差(ju du w ch)限欲利用公式圆钢截面积,解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束(mm)第67页/共70页第六十七页，共70页。当当当当很小时(xiosh),常用常用(chn yn)近似公式近似公式:很小)证明证明(zhngmng):令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第68页/共70页第六十八页，共70页。的近似值.解解:例例例例.计算计算计算计算(j(j sun)sun)机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第69页/共70页第六十九页，共70页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第70页/共70页第七十页，共70页。