应变理论学习教案.pptx

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1、会计学1应变应变(yngbin)理论理论第一页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 位移(wiy)第1页/共151页第二页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 位移的描述 刚体位移：整个物体(wt)在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个(gg)(gg)点的点的相对位置。相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。第2页/共

2、151页第三页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 位移(wiy)第3页/共151页第四页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 位移(wiy)分量(fn ling)形式：或第4页/共151页第五页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 单轴应变(yngbin)xdxxABABu(x)u(x+dx)F第5页/共151页第六页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 单轴应变(yngbin)微元的长度(chngd)变化：Taylor 级数展开：第6页/共151页第七页，共151页。位移

3、位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.1 单轴应变(yngbin)略去(l q)高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：第7页/共151页第八页，共151页。位移(wiy)和应变 应变分量(fn ling)平行六面体(称为微元体)Chapter 4.1第8页/共151页第九页，共151页。应变(yngbin)分量Chapter 4.1位移位移(wiy)和应变和应变第9页/共151页第十页，共151页。Chapter 4.1位移位移(wiy)和应变和应变第10页/共151页第十一页，共151页。Chapter 4.1 正应变(相对(xingdu)伸长度)位移(wiy)和应变第11页/共151

4、页第十二页，共151页。Chapter 4.1 切应变(yngbin)(剪应变(yngbin)位移(wiy)和应变第12页/共151页第十三页，共151页。Chapter 4.1 工程(gngchng)剪应变位移(wiy)和应变第13页/共151页第十四页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变uyx第14页/共151页第十五页，共151页。由于位移是坐标值的连续函数，所以由于位移是坐标值的连续函数，所以(suy)P点在点在x及及y轴上的轴上的位移分量为位移分量为u，v，则，则A点及点及B点的位移分量为点的位移分量为Chapter 4.1位移(wiy)和应变A:B:A:B:第15页/共15

5、1页第十六页，共151页。按照多元函数按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上略去二阶以上(yshng)的无穷小量，则得的无穷小量，则得A点及点及B点点的位移分量为的位移分量为Chapter 4.1位移位移(wiy)和应变和应变第16页/共151页第十七页，共151页。Chapter 4.1位移(wiy)和应变u适用适用(shyng)条件条件？第17页/共151页第十八页，共151页。Chapter 4.1位移位移(wiy)和应变和应变第18页/共151页第十九页，共151页。小应变情况下，应变和位移小应变情况下，应变和位移(wiy)的关系：

6、的关系：Chapter 4.1 几何(j h)方程位移(wiy)和应变第19页/共151页第二十页，共151页。小应变情况下，应变和位移小应变情况下，应变和位移(wiy)的关系：的关系：Chapter 4.1 几何(j h)方程位移(wiy)和应变第20页/共151页第二十一页，共151页。小应变小应变(yngbin)情况下，工程应变情况下，工程应变(yngbin)和和位移的关系：位移的关系：Chapter 4.1 几何(j h)方程位移(wiy)和应变第21页/共151页第二十二页，共151页。应变(yngbin)理论 位移(wiy)和应变（小应变情况）位移(wiy)和应变（一般情况）刚体转

7、动 应变协调方程 位移(wiy)场的单值条件 由应变求位移(wiy)Chapter 4第22页/共151页第二十三页，共151页。Chapter 4.2拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体在固体(gt)(gt)力学中，大多采用拉格朗日坐标系。力学中，大多采用拉格朗日坐标系。位移位移

8、(wiy)和应变和应变第23页/共151页第二十四页，共151页。Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变欧拉坐标系（或空间坐标系）欧拉坐标系（或空间坐标系）固定在空间点上的坐标系，其基矢量固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化不随物体变形而变化(binhu)(binhu)。在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。第24页/共151页第二十五页，共151页。Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变u第25页/共151页第二十六页，共151页。uChapter 4.2P及P点的矢径分别(fnbi)为：位移位移(wiy)和应变和应变第

9、26页/共151页第二十七页，共151页。Chapter 4.2根据变形后不开裂或重叠的基本假设，根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi 和和 ai 间应存在一一间应存在一一对应的互逆关系。对应的互逆关系。于是于是(ysh)，以上两式的雅可比行列式应不为零，即，以上两式的雅可比行列式应不为零，即位移位移(wiy)和应变和应变第27页/共151页第二十八页，共151页。Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变第28页/共151页第二十九页，共151页。Chapter 4.2定义定义P点的位移点的位移(wiy)矢量：矢量：即即注注注注:弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，弹性力学中，通

10、常假定位移场足够光滑，弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶存在三阶存在三阶存在三阶(sn ji)(sn ji)以上的连续偏导数。以上的连续偏导数。以上的连续偏导数。以上的连续偏导数。位移位移(wiy)和应变和应变 位移第29页/共151页第三十页，共151页。Chapter 4.2 描述物体位移描述物体位移(wiy)(wiy)的方法的方法 拉格朗日描述法拉格朗日描述法 欧拉描述法欧拉描述法位移位移(wiy)和应变和应变第30页/共151页第三十一页，共151页。Chapter 4.2 拉格朗日描述法拉格朗日描述法 以物体以物体(wt)变形前的初始构形

11、变形前的初始构形B为参照构形，质为参照构形，质点变形前的坐标点变形前的坐标 ai=(a1,a2,a3)为基本未知量。将变为基本未知量。将变形后物体形后物体(wt)的位置的位置 x 表示为表示为 a1,a2,a3 的函数：的函数：位移位移(wiy)场场 u 用初始坐标用初始坐标 ai 描描述：述：位移位移(wiy)和应变和应变第31页/共151页第三十二页，共151页。Chapter 4.2 欧拉描述法欧拉描述法 以物体变形以物体变形(bin xng)后的新构形后的新构形 B 为参照构形，为参照构形，质点变形质点变形(bin xng)后的坐标后的坐标 xi=(x1,x2,x3)为基本为基本未知量

12、。将变形未知量。将变形(bin xng)前物体的位置前物体的位置 a 表示为表示为 x1,x2,x3 的函数：的函数：位移位移(wiy)和应变和应变位移场位移场u用当前坐标用当前坐标(zubio)xi 描述：描述：第32页/共151页第三十三页，共151页。变形的描述(mio sh)考虑变形前的任意线元 ，其端点P(a1,a2,a3）及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变第33页/共151页第三十四页，共151页。Chapter 4.2变形后，变形后，P、Q两点分别两点分别(fnbi)位移至位移至P和和Q，相应，相应的矢

13、径和线元为的矢径和线元为 位移位移(wiy)和应变和应变第34页/共151页第三十五页，共151页。Chapter 4.2变形前后，线元变形前后，线元 和和 的长度的长度(chngd)平方为平方为位移位移(wiy)和应变和应变第35页/共151页第三十六页，共151页。Chapter 4.2采用采用(ciyng)拉格朗日描述法，拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，则则注：一般记注：一般记 ，称为称为(chn wi)变形梯度张量变形梯度张量位移位移(wiy)和应变和应变第36页/共151页第三十七页，共151页。Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变第37页/共151页第三十八页，

14、共151页。Chapter 4.2记记位移位移(wiy)和应变和应变第38页/共151页第三十九页，共151页。Chapter 4.2根据商判则，根据商判则，E是二阶张量，称为是二阶张量，称为(chn wi)格林应变张量。格林应变张量。位移位移(wiy)和应变和应变第39页/共151页第四十页，共151页。Chapter 4.2将上式改写将上式改写(gixi)为为 求导 格林应变格林应变(yngbin)张量的位移分量表达式张量的位移分量表达式位移位移(wiy)和应变和应变第40页/共151页第四十一页，共151页。Chapter 4.2引进引进(ynjn)笛卡尔坐标系中位移梯度笛卡尔坐标系中位

15、移梯度u和和u写成实体(sht)符号：位移位移(wiy)和应变和应变第41页/共151页第四十二页，共151页。Chapter 4.2在笛卡尔坐标系中分量在笛卡尔坐标系中分量(fn ling)(fn ling)形式为形式为位移位移(wiy)和应变和应变第42页/共151页第四十三页，共151页。Chapter 4.2 用格林应变张量表示(biosh)线元的长度变化变形前，长度比：位移位移(wiy)和应变和应变 第43页/共151页第四十四页，共151页。Chapter 4.2长度长度(chngd)比表示为：比表示为：位移位移(wiy)和应变和应变其中其中(qzhng)：第44页/共151页第四

16、十五页，共151页。Chapter 4.2 用格林应变张量表示线元方向的改变用格林应变张量表示线元方向的改变(gibin)(gibin)变形后，线元方向为变形后，线元方向为位移位移(wiy)和应变和应变利用利用任意线元变形任意线元变形(bin xng)后的方向余弦可用位移表示后的方向余弦可用位移表示成成 第45页/共151页第四十六页，共151页。位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.2 用格林应变表示线元间夹角用格林应变表示线元间夹角(ji jio)(ji jio)余弦的变化余弦的变化 第46页/共151页第四十七页，共151页。用格林应变表示线元间夹角余弦的变化用格林应变表示线

17、元间夹角余弦的变化 变形前的两个任意线元变形前的两个任意线元 和和 ，其单位，其单位(dnwi)(dnwi)矢量分别为矢量分别为 v v 和和 t t，方向余弦分别为，方向余弦分别为 vi vi 和和 ti ti，夹角余弦为，夹角余弦为Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变第47页/共151页第四十八页，共151页。用格林应变表示线元间夹角用格林应变表示线元间夹角(ji jio)(ji jio)余弦的变化余弦的变化 变形后，其单位矢量分别为变形后，其单位矢量分别为 v v 和和 t t ，夹角，夹角(ji(ji jio)jio)余弦为余弦为Chapter 4.2位移位移(wiy)

18、和应变和应变第48页/共151页第四十九页，共151页。Chapter 4.2于是上式简化为于是上式简化为可知，应变可知，应变(yngbin)张量给出了物体变形状态的全部信息张量给出了物体变形状态的全部信息。位移位移(wiy)和应变和应变 用格林应变表示线元间夹角余弦用格林应变表示线元间夹角余弦(yxin)(yxin)的变化的变化 第49页/共151页第五十页，共151页。Chapter 4.2以上介绍以上介绍(jisho)了拉格朗日描述法的推导过程和结果。了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似地，若采用欧拉描述法将导出类似地，若采用欧拉描述法将导出称为称为(chn wi)(chn wi)阿尔

19、曼西阿尔曼西(Almansi,E.)(Almansi,E.)应变张量应变张量 位移位移(wiy)和应变和应变第50页/共151页第五十一页，共151页。Chapter 4.2上两式表明，若上两式表明，若Eij 0，或，或eij 0，则，则dS=dS0。所以物体无。所以物体无变形变形(bin xng)（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量Eij（或（或eij）处处为零。）处处为零。位移位移(wiy)和应变和应变第51页/共151页第五十二页，共151页。Chapter 4.2Green应变应变(yngbin)张量：张量：长度(chngd)比：位移位移(w

20、iy)和应变和应变夹角变化：第52页/共151页第五十三页，共151页。Chapter 4.2Green应变应变(yngbin)张量：张量：Almansi应变(yngbin)张量：位移位移(wiy)和应变和应变小应变张量：第53页/共151页第五十四页，共151页。Chapter 4.2 小应变张量定义和意义定义和意义对于小变形情况（位移比物体最小尺寸对于小变形情况（位移比物体最小尺寸小小得多）：得多）：由小变形由小变形(bin xng)(bin xng)假设略去二阶小量假设略去二阶小量 位移位移(wiy)和应变和应变第54页/共151页第五十五页，共151页。Chapter 4.2在小变形情

21、况下，格林应变在小变形情况下，格林应变(yngbin)(yngbin)张量和阿尔曼西应变张量和阿尔曼西应变(yngbin)(yngbin)张量简化为张量简化为ij ij 称为柯西应变称为柯西应变(yngbin)(yngbin)张量或小应变张量或小应变(yngbin)(yngbin)张张量。量。实体形式为实体形式为 位移位移(wiy)和应变和应变第55页/共151页第五十六页，共151页。Chapter 4.2在笛卡尔坐标系中，应变位移关系在笛卡尔坐标系中，应变位移关系(gun x)或几何方程为或几何方程为指标指标(zhbio)形式为形式为:位移位移(wiy)和应变和应变第56页/共151页第五

22、十七页，共151页。Chapter 4.2 小变形情况下结果的简化小变形情况下结果的简化长度比长度比 定义定义 为为 方向线元的工程方向线元的工程(gngchng)(gngchng)正应变正应变.位移位移(wiy)和应变和应变第57页/共151页第五十八页，共151页。Chapter 4.2 线元的转动线元的转动(zhun dng)(zhun dng)变形后线元的方向变形后线元的方向(fngxing)余弦：余弦：位移位移(wiy)和应变和应变第58页/共151页第五十九页，共151页。Chapter 4.2对变形对变形(bin xng)(bin xng)前与坐标轴前与坐标轴 a1 a1 平行的

23、线元有平行的线元有 位移位移(wiy)和应变和应变变形变形(bin xng)后线元的方后线元的方向余弦：向余弦：第59页/共151页第六十页，共151页。Chapter 4.2变形后的单位变形后的单位(dnwi)(dnwi)矢量矢量 2很小很小位移位移(wiy)和应变和应变第60页/共151页第六十一页，共151页。Chapter 4.2同理同理 上述两式说明，变形前与上述两式说明，变形前与a2和和 a3轴垂直的线元，变形轴垂直的线元，变形后分别向后分别向a2和和 a3轴旋转了轴旋转了 和和 角。同理，沿角。同理，沿a2和和 a3轴的线元变形后也将发生转动。轴的线元变形后也将发生转动。位移位移

24、(wiy)和应变和应变第61页/共151页第六十二页，共151页。a1a3a2位移位移(wiy)和应变和应变Chapter 4.2第62页/共151页第六十三页，共151页。Chapter 4.2 两线元间的夹角两线元间的夹角(ji jio)(ji jio)变化变化 变形(bin xng)后，线元的夹角表示为位移位移(wiy)和应变和应变其中：第63页/共151页第六十四页，共151页。Chapter 4.2略去二阶小量略去二阶小量(xioling)，可得，可得若变形前两线元互相垂直若变形前两线元互相垂直令令为变形后线元间直角的减小量为变形后线元间直角的减小量(xioling)，则，则 位移位

25、移(wiy)和应变和应变第64页/共151页第六十五页，共151页。Chapter 4.2工程剪应变工程剪应变 定义为两正交线元间的直角减小量定义为两正交线元间的直角减小量若若v,t为坐标轴方向的单位矢量，例如为坐标轴方向的单位矢量，例如,vi=1,tj=1(ij),其余其余(qy)的方向余弦均为零，则由上式得的方向余弦均为零，则由上式得位移位移(wiy)和应变和应变第65页/共151页第六十六页，共151页。Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变小应变张量小应变张量 e e 的几何的几何(j h)(j h)意义是：意义是：当指标当指标i=j i=j 时，时，表示沿坐标轴表示沿坐

26、标轴i i方向的线元工程方向的线元工程(gngchng)(gngchng)正应变，以伸长为正，缩短为负；正应变，以伸长为正，缩短为负；当指标当指标(ijij)时，时，的两倍表示坐标轴的两倍表示坐标轴 i i 与与 j j 方向方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。为正，钝化（直角增加）为负。第66页/共151页第六十七页，共151页。Chapter 4.2小应变张量的性质小应变张量的性质 新老坐标中的应变张量分量新老坐标中的应变张量分量 与与 满足满足(mnz)(mnz)转轴公转轴公式式由此可根据应变分量由此

27、可根据应变分量 ij ij 求出任意方向的正应变和剪应变。求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。位移位移(wiy)和应变和应变第67页/共151页第六十八页，共151页。应变张量在每点存在三个相互正交的主方向应变张量在每点存在三个相互正交的主方向设设 v v 为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有标量标量 称为应变张量的主值，即沿主方向称为应变张量的主值，即沿主方向 v v 的主应的主应变。变。与主应力类似，主应变也具有与主应力类似，主应变也具有(jyu)(jyu)实数性，正交

28、性和实数性，正交性和极值性。极值性。Chapter 4.2位移位移(wiy)和应变和应变第68页/共151页第六十九页，共151页。Chapter 4.2 存在第一、第二和第三应变存在第一、第二和第三应变(yngbin)(yngbin)不变量不变量系数(xsh)行列式为零其中：其中：分别称为第一、第二和第三应变不变量。分别称为第一、第二和第三应变不变量。位移位移(wiy)和应变和应变第69页/共151页第七十页，共151页。Chapter 4.2 应变应变(yngbin)(yngbin)主轴沿每点应变主轴沿每点应变(yngbin)(yngbin)主方向的主方向的坐标线坐标线由应变由应变(yng

29、bin)(yngbin)主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变(yngbin)(yngbin)坐标系。坐标系。最大工程剪应变最大工程剪应变(yngbin)(yngbin)发生在主平面内，其值为最发生在主平面内，其值为最大与最小主应变大与最小主应变(yngbin)(yngbin)之差。之差。等倾线元正应变等倾线元正应变(yngbin)(yngbin)（又称八面体正应变（又称八面体正应变(yngbin)(yngbin)）等于平均正应变）等于平均正应变(yngbin)(yngbin)0 0。位移位移(wiy)和应变和应变第70页/共151页第七十一页，共151页。Cha

30、pter 4.2 八面体剪应变是等倾面法线八面体剪应变是等倾面法线(f xin)(f xin)与等倾面上任与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值。意线元间之剪应变的最大值。位移位移(wiy)和应变和应变第71页/共151页第七十二页，共151页。Chapter 4.2 应变应变(yngbin)(yngbin)张量可分解为应变张量可分解为应变(yngbin)(yngbin)球球量和应变量和应变(yngbin)(yngbin)偏量之和偏量之和 即即称为称为(chn wi)球形应变张量，球形应变张量，0 为平均正应变。为平均正应变。位移位移(wiy)和应变和应变第72页/共151页第七十三页，共151

31、页。Chapter 4.2将将0ij代入上述两式可得代入上述两式可得 因此应变球量表示因此应变球量表示(biosh)等向体积膨胀或收缩，它不产等向体积膨胀或收缩，它不产生形状畸变。生形状畸变。位移位移(wiy)和应变和应变第73页/共151页第七十四页，共151页。Chapter 4.2 称为称为(chn wi)(chn wi)应应变偏量。变偏量。即应变偏量即应变偏量不产生体积不产生体积变化变化(binhu)(binhu)，仅表示形，仅表示形状畸变。状畸变。位移位移(wiy)和应变和应变第74页/共151页第七十五页，共151页。Chapter 4.2 几种特殊的应变场 刚体位移刚体位移位移位

32、移(wiy)和应变和应变第75页/共151页第七十六页，共151页。Chapter 4.2于是于是(ysh)可得可得位移位移(wiy)和应变和应变第76页/共151页第七十七页，共151页。Chapter 4.2 纯变形纯变形(bin xng)(bin xng)存在全微分存在全微分存在全微分存在全微分位移位移(wiy)和应变和应变第77页/共151页第七十八页，共151页。Chapter 4.2常正应变状态常正应变状态是纯变形的一例是纯变形的一例位移位移(wiy)和应变和应变第78页/共151页第七十九页，共151页。Chapter 4.2 均匀均匀(jnyn)(jnyn)变变形状态形状态位移

33、位移(wiy)和应变和应变第79页/共151页第八十页，共151页。Chapter 4.2 直线在变形后仍为直线；直线在变形后仍为直线；相同方向的直线以同样比例伸缩；相同方向的直线以同样比例伸缩；互相平行的直线变形后仍平行；互相平行的直线变形后仍平行；平面平面(pngmin)在变形后仍为平面在变形后仍为平面(pngmin)；平行平面平行平面(pngmin)变形后仍平行；变形后仍平行；球面变形后成为椭球面。球面变形后成为椭球面。均匀变形状态的性质：均匀变形状态的性质：位移位移(wiy)和应变和应变第80页/共151页第八十一页，共151页。应变(yngbin)理论 位移和应变 刚体转动 应变协调

34、(xitio)方程 位移场的单值条件 由应变求位移 正交曲线坐标系中的几何方程Chapter 4第81页/共151页第八十二页，共151页。Chapter 4.3刚体刚体(gngt)转动转动位移场位移场u 变形变形=刚体运动刚体运动 +刚体运动刚体运动刚体平移刚体平移=刚体转动刚体转动 +第82页/共151页第八十三页，共151页。考虑线元考虑线元PQ，变形前其端点位，变形前其端点位置是置是P(x)和和Q(x+dx)。P点位移为点位移为u(x)，Q点位移为点位移为 其中其中,u(x)是线元随是线元随P点的刚体点的刚体平移，平移，du是是Q点相对点相对于于P点位移的增量，其值为点位移的增量，其值

35、为Chapter 4.3由商判则可知，位移梯度由商判则可知，位移梯度(t d)u为一个二阶张量。为一个二阶张量。刚体刚体(gngt)转动转动第83页/共151页第八十四页，共151页。Chapter 4.3将将u分解成对称张量与反对称张量之和分解成对称张量与反对称张量之和 对称部分对称部分(b fen)即为小应变张量即为小应变张量，定义反对称部，定义反对称部分分(b fen)为为 称为称为(chn wi)转动张量转动张量 刚体刚体(gngt)转动转动第84页/共151页第八十五页，共151页。Chapter 4.3代入刚体刚体(gngt)转动转动第85页/共151页第八十六页，共151页。Ch

36、apter 4.3由反对称张量的性质由反对称张量的性质(xngzh)可知：可知：反对称张量反对称张量只有三个独立分量只有三个独立分量12,23和和31 指标记号刚体刚体(gngt)转动转动第86页/共151页第八十七页，共151页。Chapter 4.3转动矢量转动矢量 称为称为(chn wi)张量张量 的反偶矢量的反偶矢量 刚体刚体(gngt)转动转动第87页/共151页第八十八页，共151页。Chapter 4.3指标指标(zhbio)形式为：形式为：(b)刚体刚体(gngt)转动转动第88页/共151页第八十九页，共151页。Chapter 4.3刚体平移变 形刚体转动刚体刚体(gngt

37、)转动转动第89页/共151页第九十页，共151页。刚体刚体(gngt)转动转动Chapter 4.3第91页/共151页第九十二页，共151页。Chapter 4.3 对变形体来说，转动矢量(shling)和转动张量 都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（0，=常数）的情况，则这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：刚体刚体(gngt)转动转动第92页/共151页第九十三页，共151页。Chapter 4.3 小应变小应变(yngbin)(yngbin)假设：假设：所以线性弹性理论所以线性弹性理论(lln)(lln)仅适用于应变和转动都很小的仅适用于应变和转动都很小的情况。情况。刚体刚体(g

38、ngt)转动转动第93页/共151页第九十四页，共151页。应变(yngbin)理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况(qngkung)）位移和应变（一般情况(qngkung)）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移第94页/共151页第九十五页，共151页。小应变情况小应变情况(qngkung)下的几下的几何方程：何方程：Chapter 4.4应变应变(yngbin)协调方程协调方程p 任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位移，所以需要补充移，所以需要补充(bchng)方程才能使原问题有解。方程才能使原问题有解

39、。p 对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相协调。即对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相协调。即必须满足某些条件必须满足某些条件变形的连续条件变形的连续条件。第95页/共151页第九十六页，共151页。应变协调(xitio)方程Chapter 4.4在在 xy xy 平面平面(pngmin)(pngmin)内各应分量之间内各应分量之间的关系的关系 两式相加后，得两式相加后，得第96页/共151页第九十七页，共151页。应变协调(xitio)方程Chapter 4.4同理可以找出另外同理可以找出另外(ln wi)两平面内应变分量间的两平面内应变分量间的关系式关系式 第97页/共151页第九

40、十八页，共151页。应变协调(xitio)方程Chapter 4.4综合起来可得以下综合起来可得以下(yxi)(yxi)方程：方程：第98页/共151页第九十九页，共151页。应变协调(xitio)方程Chapter 4.4不同平面内的应变分量也存在不同平面内的应变分量也存在(cnzi)(cnzi)一定的关系一定的关系,于是下面推导不同平面内的应变分量之间的关系于是下面推导不同平面内的应变分量之间的关系第99页/共151页第一百页，共151页。应变(yngbin)协调方程Chapter 4.4同理，可以求出另外同理，可以求出另外(ln wi)两个关系式：两个关系式：第100页/共151页第一百

41、零一页，共151页。应变(yngbin)协调方程Chapter 4.4共得到六个应变协调共得到六个应变协调(xitio)方程：方程：第101页/共151页第一百零二页，共151页。应变协调(xitio)方程Chapter 4.4p 应变协调方程是单连通域小变形连续的充分应变协调方程是单连通域小变形连续的充分(chngfn)必要条件，这样的六个应变分量将必要条件，这样的六个应变分量将不能任意给定，他们必须满足以上六个约束方不能任意给定，他们必须满足以上六个约束方程。程。p 以上六式不是完全独立的，它们只相当于三以上六式不是完全独立的，它们只相当于三个独立的方程。个独立的方程。第102页/共151

42、页第一百零三页，共151页。应变协调应变协调(xitio)方程方程应变协调方程的另外应变协调方程的另外(ln wi)一种推导方法一种推导方法 小应变张量小应变张量ij的二阶偏导数为的二阶偏导数为Chapter 4.4指标指标(zhbio)符号互换：符号互换：第103页/共151页第一百零四页，共151页。同样经过指标对换可以同样经过指标对换可以(ky)得到得到 Chapter 4.4应变协调应变协调(xitio)方程方程第104页/共151页第一百零五页，共151页。当位移当位移(wiy)场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，根场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，根据偏导数与求导顺序无关

43、，可得据偏导数与求导顺序无关，可得 应变协调应变协调(xitio)方程：方程：Chapter 4.4应变协调应变协调(xitio)方程方程第105页/共151页第一百零六页，共151页。Chapter 4.4应变协调应变协调(xitio)(xitio)方程的个数方程的个数上式中含有四个自由指标，共表示上式中含有四个自由指标，共表示8181个方程，个方程，但其但其中有不少是恒等式。不难验证下述关系中有不少是恒等式。不难验证下述关系关于关于(guny)j，k反对称：反对称：8181 27 27 9 96 6应变应变(yngbin)协调方程协调方程关于关于i，l反对称：反对称：关于关于ij，kl对称

44、：对称：Lmn为对称二阶张量为对称二阶张量第108页/共151页第一百零九页，共151页。Chapter 4.4应变协调应变协调(xitio)方程方程 应变协调方程(fngchng)的实体表示：第109页/共151页第一百一十页，共151页。Chapter 4.4应变协调应变协调(xitio)方程方程第110页/共151页第一百一十一页，共151页。Chapter 4.4在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中，表示为：系中，表示为：应变协调应变协调(xitio)方程方程第111页/共151页第一百一十二页，共151页。应变(yngbin)理论Cha

45、pter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动(zhun dng)应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移第113页/共151页第一百一十四页，共151页。Chapter 4.5位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件 概念概念 若域内的任意闭曲线能通过在域内的若域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而收缩成一个点，则这种域称连续变形而收缩成一个点，则这种域称为单连通域，否则为多连通域。为单连通域，否则为多连通域。对二维问题，单连通域就是实心域，对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为空心域；但这个概念不能简多连通域为空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中去

46、，例如单地推广到三维问题中去，例如(lr)内内含空洞的空心球体是一个单连通域，仅含空洞的空心球体是一个单连通域，仅当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域域。第114页/共151页第一百一十五页，共151页。Chapter 4.5单连通单连通(lintng)域域:多连通多连通(lintng)域域:位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第115页/共151页第一百一十六页，共151页。Chapter 4.5 n连通域有n个连接物体相邻部分(b fen)的通道，如果用横贯通道的截面把n-1个通道切断，就化为单连通域，简称基域。这些假想截面称为切口。所以一个n连通域

47、就相当于一个单连通的基域加n-1个切口。位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第116页/共151页第一百一十七页，共151页。Chapter 4.5位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件 单连通域上位移单连通域上位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第118页/共151页第一百一十九页，共151页。Chapter 4.5位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第119页/共151页第一百二十页，共151页。Chapter 4.5x1x2x3Po位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第120页/共151页第一百二十一页，共151页。Chapter 4.5位移位移(wiy)场的单值

48、条件场的单值条件x1x2x3Po第121页/共151页第一百二十二页，共151页。Chapter 4.5其中(qzhng)位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件x1x2x3Po单值性条件(tiojin)：即：第122页/共151页第一百二十三页，共151页。Chapter 4.5x1x2x3ALdlda由由Stokes 公式公式(gngsh)：位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第123页/共151页第一百二十四页，共151页。Chapter 4.5位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件因此，位移的单值性条件(tiojin)是应变满足协调方程。或：第124页/共151页第一百二十

49、五页，共151页。Chapter 4.5 多连通域位移多连通域位移(wiy)(wiy)场的单值条件场的单值条件 对于多连通域的情况对于多连通域的情况(qngkung)，可先用，可先用n1个切个切口将连通域化为单连通的基域。根据以上讨论，只要满口将连通域化为单连通的基域。根据以上讨论，只要满足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对变形后，在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对于多连通域，除了满足协调方程外，还应补充保证切口于多连通域，除了满足协调方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条

50、件。处位移单值连续的附加条件。位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第126页/共151页第一百二十七页，共151页。Chapter 4.5证证明明：n连连通通(lintng)域域中中应应附附加加(n-1)个个位位移移场场函函数的单值性条件数的单值性条件 x1x2x3A+A-LLkLk B-B+位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第127页/共151页第一百二十八页，共151页。Chapter 4.5i=1,2,3,k=1,2n-1位移位移(wiy)场的单值条件场的单值条件第128页/共151页第一百二十九页，共151页。Chapter 4.5转动转动(zhun dng)单值性条件单