材料力学能量法学习教案.pptx

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1、会计学1材料力学能量法材料力学能量法第一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 2 FFdF对于一般弹性体F图下方面积(2)静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。第1页/共152页第二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 3对于线弹性体FF 2、应变能Ve弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）即 Ve=WF为广义力，为与力对应的广义位移。第2页/共152页第三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中

2、南大学土木建筑学院 4二、线弹性体的应变能1、轴向拉压FFllFN为变量时lFF第3页/共152页第四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 5Me2、扭 转jjMeMeT为变量时第4页/共152页第五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 63、平面弯曲横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当l/b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3。纯弯曲横力弯曲M(x)为变量MMdx第5页/共152页第六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 7 应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次函数，应变能一般不符合叠

3、加原理。但若几种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。第6页/共152页第七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 8F从零逐渐增加到最终值，变形亦缓慢增加最终值。F 一、能量法 利用能量原理解决力学问题的方法。可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。第十章 能量法10.1 概 述二、外力功与应变能1、外力功W载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。第7页/共152页第八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 9弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。2、应变能三、功能原理条 件：（1）弹性体（线

4、弹性、非线弹性）（2）静载荷 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。Ve=W第8页/共152页第九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 10 x解：建立坐标系求外力功W 和应变能VewA列弯矩方程 M=Fx （0 x l ）lFBA已知：EI=常数，用功能原理计算A点的挠度。仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，其它位移的求解有待进一步研究功能原理。第9页/共152页第十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 11图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。由平衡方程，通过功能原理导出变形几何方程；由平衡方

5、程结合功能原理求出各杆内力。FABCDl解：A点的位移等于杆的变形l3。由功能原理有 （1）由平衡方程和对称条件有 （2）（3）（2）、（3）代入（1）得变形几何方程l1l3（1）考虑物理方程得（2）、（3）代入上式并化简得得几何方程和物理方程的联立第10页/共152页第十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 12Fi 为集中力，i为该力作用点沿力方向的线位移；Fi为力偶，则i为该力偶作用面内沿力偶转向的角位移（转角）。i 简称为与力Fi(相)对应的位移。10.2 互等定理Fi 广义力（集中力，力偶）i 广义位移（线位移，角位移）一、外力功的计算第11页/共15

6、2页第十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 13对于一般弹性体F 图下方面积 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。外力功属于静载作功。FFdF对于线弹性体FFF为广义力，为广义位移。第12页/共152页第十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 14 外力功的数值与加载顺序无关，只与载荷与位移的最终数值有关。加载顺序：F1,F2,Fi，F2,F1,Fj，不同时加载，加载顺序不同，外力功不变。二、外力功与变形能的特点 如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现什么结果？按一种顺序加载，按另一种顺序

7、卸载，能量还能守恒么？反证法！第13页/共152页第十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 15F1F2F2F1先加F1后加F2先加F2后加F1不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。第14页/共152页第十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 16即 1=11F1+12F2+1iFi+1nFni=i1F1+i2F2+iiFi+inFn其中ij 是与载荷无关的常数。注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理线弹性体上，作用有载荷F1,F2,F

8、i,Fn与外力方向相应的位移为1,2,i,n 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数第15页/共152页第十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 17设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷在位移增量上所作的元功为：dW=F1*d1*+Fi*di*+Fn*dn*=lF1d(l1)+lFid(li)+lFnd(ln)=(F11+Fii+Fnn)ldl外力作的总功为：第16页/共152页第十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 18设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最终值。即任一时刻各载荷的大小为：F1*=lF1,F

9、2*=lF2,Fi*=lFi,Fn*=lFn 其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。加载过程中，任一时刻的位移为：1*=11F1*+12 F2*+1iFi*+1nFn*=l1i*=i1F1*+i2 F2*+iiFi*+inFn*=li注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所以是变数，随着l的变化而变化。第17页/共152页第十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 19 线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其对应位移乘积之半的总和。F1F2Fi12i图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下的位移。1既有F1的作用，

10、也有F2 ，Fi 的作用。所以Clapeyron原理不符合叠加原理。第18页/共152页第十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 20注 意1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体；2、i 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一 个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是 i 点实际的总位移；3、i 是Fi 对应的位移，Fi为集中力，i则为线位 移，Fi为集中力偶，i则为角位移；4、Fi i 为正时，表明Fi作正功，i 与Fi 方向 （或转向）相同；为负则表示i 与Fi 方向 （或转向）相反。第19页/共152页第二十页，编辑于星期日：十五点

11、 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 21据Clapeyron原理，微段dx上dxTFNM组合变形整个杆件的应变能为第20页/共152页第二十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 22位移命名位移的第一个下标表示某点处的位移，第二个下标表示由那点的力引起的位移。Fi ijiijiFj ijijjjii和 ij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示是由i点和j点的力引起的位移，ji和 jj亦可以类推得到。四、功的互等定理(线弹性体)第21页/共152页第二十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 23先加Fi后加F

12、jjFi iiiji外力功为 外力功W 与加载顺序无关，改变加载顺序可得到相同的外力功。iiFiijjiiFiOjFjOFjjjFjijjj第22页/共152页第二十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 24先加FjjFj iijjj外力功为后加Fi先加Fi 后加Fj外力功为iFiOjFjOFjjjijiiFijiFiiiji第23页/共152页第二十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 25Clapeyron原理外力功和变形能不符合叠加原理第24页/共152页第二十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑

13、学院 26线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。Fi ijiijiFj ijijjj功的互等定理注：力系、位移均为广义的。第25页/共152页第二十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 27抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度 ，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积 第二组力q作用时，它在梁跨中引

14、起的挠度为wC。由功的互等定理第26页/共152页第二十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 28 装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求C处的约束力。ABCFal解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为第二组力。FCABC1alwBwC第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。第27页/共152页第二十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 29图示静不定结构由于铰链A的装配误差，使A，B两点分别有位移A 和B。在结构

15、A点的新位置（无装配应力位置）重新安装铰链后，在B点作用一向下的载荷 F，求此时铰链A的约束力（设结构保持线弹性）。ABABFABFAFA1解：第一种情况下，A处的约束力为FA1，第二种情况下，A处的约束力为FA。由功的互等定理有第28页/共152页第二十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 30 若 Fi=Fj=F则 i j=j i线弹性体上作用在 j 处的一个力引起 i 处的位移，等于它作用在 i 处引起 j 处的位移。五、位移互等定理功的互等定理lbhFFlbhFF图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性状态，求杆件的伸长l。解：沿杆

16、件轴线加相同的一对力下图中第29页/共152页第三十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 31 i j=j iF ijij力F作用在 j点F ijji力F作用在 i点位移互等定理第30页/共152页第三十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 32位移互等定理 单位力Fii j=Fjj i i j=j i1 ijij单位力1作用在 j点1 ijji单位力1作用在 i点若 Fi=Fj=1(无量纲)称为单位力第31页/共152页第三十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 33位移互等定理注意：(功、位移)互

17、等定理只适用于线弹性小变形体。作用在j 处的单位力引起 i 处的位移，等于作用在 i 处的单位力引起 j 处的位移。i j=j iAB1llAB1BAAB第32页/共152页第三十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 34广义力1作用在中点ABC1AClABC1wCAl广义力1作用在端点第33页/共152页第三十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 35关于互等定理?=?BA=AB第34页/共152页第三十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 36关于互等定理?=?FiA=MAi功的互等第35页/共

18、152页第三十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 37讨论百分表 悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。移动百分表？固定百分表？关于互等定理百分表固定在B处，移动载荷。第36页/共152页第三十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 38dFWCFFW显然 余功 WC=WC (F)余能 VC =VC (F)F图上方面积一、余功及余能10.3 余能定理与卡氏定理定义与外力功及应变能互补的余功及余能余功和余能均为广义载荷的函数。第37页/共152页第三十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南

19、大学土木建筑学院 3912iF1F2Fi二、余能定理 设任意弹性体（可以是非线性弹性体，）上作用广义载荷 F1，F2，Fi,对应点的位移为 1，2，i，无刚性位移。余能 VC=VC (F1，F2 Fi )是载荷的函数。如果只有广义载荷 Fi 有一个增量dFi,余功增量为 dWC=i dFi第38页/共152页第三十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 40FdFdWC 余能增量为dWC=dVC 余能（Crotti-Engesser）定理 弹性体（线性和非线性）某载荷作用点处的位移，等于弹性体的余能对该载荷的一阶偏导数。第39页/共152页第四十页，编辑于星期日：

20、十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 41i为正，表示位移方向（转向）和力Fi 的方向（转向）一致，反之，则相反。线弹性体某外力作用点处沿力作用方向的位移等于结构的应变能对该力的偏导数。对线弹性体 Ve =VC三、卡氏第二定理 FVeVC意大利工程师 阿尔伯托卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano，18471884)第40页/共152页第四十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 42注意1、卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体；2、所求位移处必须要有与位移对应的广义 力作用；3、所求位移处广义力必须与其它载荷F1，F2，Fi，要用不同

21、的符号加以区别；4、静定结构的约束力要表示为所有各外载荷 的函数。第41页/共152页第四十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 43注意5、若构件不同两点i、j处的两个载荷符号F 相同，则令i处F=Fi、j处F=Fj；若只求某点处位移，该点处载荷在求约束力前必须与其它各处载荷用不同的符号区别！第42页/共152页第四十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 446、若所求位移处无外载荷作用，则人 为附加一个与所求位移对应的载荷，计算系统在原载荷和附加载荷共同 作用下的应变能，应变能对附加载 荷求完偏导数后，再令附加载荷为 零，即可

22、求得该处的位移。注意第43页/共152页第四十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 45对线弹性杆系结构（对线弹性结构）卡氏定理的应用计算载荷作用点的位移；计算无载荷作用点的位移，此时需在所求点沿 所求方向加一虚力，求导后再令虚力为零；计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值 反向共线力，求导后再令其为零；同样可以计算角位移及相对角位移。第44页/共152页第四十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 46轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端B作用竖直载荷F。设EI和GIp已知，试用卡氏定理求截面B在竖直方向的位移。解

23、：在极坐标系中截面mn上的弯矩和扭矩分别为：由卡氏定理第45页/共152页第四十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 47解：(1)求A点挠度梁的弯矩方程为 M=Fx （0 xl）线弹性材料悬臂梁受力如图，已知载荷F，刚度EI及l。用卡氏定理求：(1)加力点A处的挠度；(2)梁中点B处的挠度。FxABC第46页/共152页第四十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 48 在B处施加与所求挠度方向相同的力F1,弯矩方程为F1M1=Fx （0 xl/2）F1=0(2)求梁中点(非加载点)B的挠度FxABC第47页/共152页第四十八页

24、，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 49说明 结果为正，表明B点位移方向与虚力F1一致,即向下。虚力F1应在弯矩求完偏导以后再令其为零。虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否 则会得出错误的结果。F1=0第48页/共152页第四十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 50解：系统变形能C截面的挠度抗弯刚度为EI的梁，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力F作用点的挠度。ABCkFxx1第49页/共152页第五十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 51解：求A处挠度时 令A处集中力qa=F，其它不变M(x)

25、=Fxqx2/2qa2弯矩对F 求完偏导后，再用qa 代回F 如何用卡氏定理求A端的挠度和转角？qqa2qaaAx第50页/共152页第五十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 52求A处转角时令 A处集中力偶 qa2=M1M(x)=qaxqx2/2M1()qqa2qaaAx第51页/共152页第五十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 53 用几何法求解需作变形图，借助几何关系求位移。本题求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较方便。图示结构已知F=35kN，d1=12mm，d2=15

26、mm，E=210GPa。求A点的垂直位移。C B450 3001m A0.8m F解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为对F求偏导第52页/共152页第五十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 54车床主轴如图所示，其抗弯刚度EI可视为常量。试求在载荷F作用下截面B的转角。a4aABCFx2ABCFMx1解：在截面B处附加力偶矩M并求支座约束力 FA列外伸梁各段的弯矩方程及其对M的偏导数 AB段 CB段 求截面B的转角 根据卡氏定理，截面B的转角为 第53页/共152页第五十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 55AB段 CB段 a

27、4aABCF按叠加原理，外伸梁可转化为简支梁在B处受力偶MB=Fa作用，由卡氏定理有4aAB MBx第54页/共152页第五十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 56aABCFDaaF外伸梁受两个大小均为F的集中力作用，梁的EI及a已知，求D的挠度。解：求支座约束力，令D点的载荷为F1，这时支座约束力为 FAFBF1=列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数x1x2x3AC段CB段DB段计算D点挠度第55页/共152页第五十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 57弯曲刚度均为EI的静定组合梁 ABC，在 AB段上受均布载荷q作

28、用，梁材料为线弹性体。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。ABCqll解：在中间铰B两侧 虚设一对外力偶MB。MBMB各约束力如图 x1AB段弯矩方程CB段弯矩方程x2第56页/共152页第五十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 58由卡氏第二定理得 结果符号为正，说明相对转角B的转向与图中虚加外力偶MB的转向一致。按照叠加原理，相对转角B等于悬臂梁B的转角及B的挠度引起的BC转角的和。ABCqll若计算悬臂梁的转角和挠度会更简单。第57页/共152页第五十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 59FRFjR(1-c

29、osj)弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用，环的材料为线弹性的。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移和相对转角。解：张开位移FRFjR(1-cosj)M1M1求相对转角，虚加一对力偶M1。第58页/共152页第五十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 60说明下图中的含义讨 论12FF第59页/共152页第六十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 61若仅求1或2又如何计算？先计算A、B支座约束力；再令C 处F=FC ，或D处F=FD;分段列弯矩方程；由卡氏定理求1或2。方法一先令C 处F=FC ，或D处F=FD;再计算A

30、、B支座约束力；分段列弯矩方程；由卡氏定理求1或2。方法二12FFFFABCD第60页/共152页第六十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 62解：求支座约束力 由图可知，A、D点载荷同为F，为便于区分起见，令A点载荷为F1，D点载荷为F2，这时支座约束力为 试用卡氏定理求图所示刚架A点的水平位移，设各杆抗弯刚度均为EI。（计算中可略去轴力和剪力的影响）FFlABCDEGF2F1lABCDEGqFEFGyFGx列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数。由于是求A点的水平位移，则应该对该位移方向的力F1求偏导数。第61页/共152页第六十二页，编辑于星期日：十五

31、点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 63ED段 DC段 CB段 AB段 F2F1lABCDEGqFEFGyFGxx1x2x3x4GA段 计算A点水平位移 注意求完导后，可令F1=F2=F。根据卡氏定理A点水平位移为 第62页/共152页第六十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 64 所求位移处载荷要在求支座约束力前与其它载荷区分所求位移处若无载荷作用要人为附加一个载荷，弯矩求完偏导后再令附加载荷为零。卡氏定理计算位移的不便之处？如何消除消除不便之处？第63页/共152页第六十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 65以

32、弯矩为例，探讨弯矩对某广义力求偏导的含义。式中M(x)是所有载荷共同作用下的弯矩方程。线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理。M(x)=M(F1，F2，Fi，Fn)=M1(x)+Mi(x)+Mn(x)其中Mi(x)是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩对线弹性杆系结构第64页/共152页第六十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 66其中 是Fi=1，即i处单独作用一个单位力时引起的弯矩。因为Mi(x)是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩于是简记为所以第65页/共152页第六十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 67 是所求位移处单独作

33、用一个与位移对应的单位力时引起的弯矩莫尔积分若K 处无载荷作用，附加一个载荷FK，附加载荷后的弯矩Fk=0即无论所求位移处是否有载荷，只要在原结构单独加一个与所求位移对应的单位力，单位力作用下求得的内力方程便是原所有载荷作用下的内力方程对广义力的偏导数。第66页/共152页第六十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 68一、虚位移一、虚位移一、虚位移一、虚位移D D D D 虚位移约束允许的（满足约束条件）；满足连续条件的 ；在平衡位置上增加的（不是唯一的）；任意微小位移。真实位移AB10.4 虚功原理第67页/共152页第六十八页，编辑于星期日：十五点 五十三

34、分。材料力学 中南大学土木建筑学院 69（1）可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关；虚位移真实位移虚位移与真实位移无关AB（2）可以是真实位移的增量；（3）可以是另外一个与之相关系统的真实位移；第68页/共152页第六十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 70w1(x)可作为集中力作用下的虚位移，w2(x)也可作为分布载荷作用下的虚位移。w1(x)w2(x)总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移,它与载荷无必然关系。因此，它不是唯一的。虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。“虚位移”一词，用以区别物体自身原有外力引 起的真实位移。第69页/共1

35、52页第七十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 71式中i是与Fi对应的虚位移。二、虚功W力在虚位移上所作的功。一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，这时各力作功是常力作功，因此三、虚变形能Ve*弹性体在虚位移过程中增加的变形能。其数值等于内力虚功第70页/共152页第七十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 72FNFNMMdxdxT四、变形体虚功原理 处于平衡状态的变形体在虚位移中，外力所作的虚功等于弹性体的虚变形能。第71页/共152页第七十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 73F1

36、FiF2以梁为例变形体虚功原理（1）虚功原理与材料性能无关 适用线弹性、非线弹性材料；（2）不要求结构位移与力呈线性关系 也适用位移与力呈非线性的结构。第72页/共152页第七十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 74以梁为例证明功的互等定理第一组力第二组力第二组力引起的变形作为第一组力的虚位移第一组力引起的变形作为第二组力的虚位移由虚功原理第73页/共152页第七十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 75FNFNMMdxdxT得到功的互等定理。第74页/共152页第七十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学

37、土木建筑学院 7610.5 单位载荷法与莫尔积分一、单位载荷法1、用途：计算任意点处位移（广义）2、方法：利用虚功原理 第一步 构造一虚力状态：（1）去掉结构全部载荷；（2）在结构所求位移处施加一个对应的 单位力（无量纲）；（3）计算结构只在此单位力作用下各截 面的内力 。第75页/共152页第七十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 77原载荷作用下的实际位移状态 作为单位力作用下的虚位移所求位移处加单位力的虚力状态KAB1F1原问题KFiF2实际位移AB第二步 取结构原载荷作用下的实际位移状态 作为虚力状态的虚位移。第76页/共152页第七十七页，编辑于星期

38、日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 78虚功原理单位力引起的虚内力；d(l)，d，dj 真实载荷引起的微段变形；适用：线性、非线性结构。原载荷作用下的实际位移状态 作为单位力作用下的虚位移所求位移处加单位力的虚力状态KAB1第77页/共152页第七十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 79对线弹性结构，取微段dx计算图中 FN，M，T为真实载荷引起的内力二、莫尔积分（Mohr 1874）dxTFNMFNFNMMdxdxT第78页/共152页第七十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 80将真实载荷引起的变形代入

39、上式，得Mohr定理，式中积分称为Mohr积分。计算Mohr积分步骤：1、计算原结构在真实载荷作用下的内力 方程 FN，M，T；2、计算原结构只在沿所求位移方向加单 位力(广义)作用下的内力方程 虚功原理第79页/共152页第八十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 81必须保证：“分段一致，坐标一致，内力正负规定一致”。特别注意：计算原载荷和加单位载荷内力方程FN，M，T 和计算Mohr积分步骤：3、计算Mohr 积分(遍及全部杆件，刚架略FN，FS)；4、结果为正，位移方向与单位力相同，负则相反。计算A，B 两点之间的相对位移，在A，B 两点分别加一对共线反向

40、单位力ABq(x)AB11第80页/共152页第八十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 823、加单位力并求单位力引起 内力方程（0j2p）4、求AB（沿载荷方向分开）（0j2p）M=FRsinj2、求载荷引起的内力方程FFBA已知：EI=常数求A，B 之间的相对线位移。解：1、建立坐标系Rj11BARj第81页/共152页第八十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 83解：画单位载荷图求内力1xAaaCBBqxAaaC求等截面直梁C点的挠度和转角。求变形对称结构承受对称外力对称轴处对称位移不等于零。第82页/共152页第八十三

41、页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 84求转角，重建坐标系（如图）B1x1AaaCx2对称结构承受对称外力对称轴处反对称位移等于零。Bqx2AaaCx1第83页/共152页第八十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 85解：画单位载荷图求内力拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。510 20300F=60NBx500Cx1A3001Bx500Cx1A第84页/共152页第八十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 86求变形()第85页

42、/共152页第八十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 87解：1、计算A点的竖直位移在A点加一竖直方向的单位力，列出各段的弯矩方程AB段 BC段 用莫尔定理求wA如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用。试求A点的竖直位移wA和截面B的转角B。aABCqax1ABC1x2第86页/共152页第八十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 88AB段 BC段 用莫尔定理求B在B截面加一单位力偶，列出各段的弯矩方程2、计算B截面的转角BaABCqax1ABC1x2第87页/共152页第八十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南

43、大学土木建筑学院 89求杆件在外力作用下内力和单位载荷作用下的内力 图示桁架各杆EA相同，节点B承受集中力F 和2F作用，求杆BC的转角。FABCDll2F解：施加单位载荷ABCDll第88页/共152页第八十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 90单位载荷法求杆BC的转角00AC000lADF1/lFlCD2F-1/l-2FlAB00FlBC长度杆名表 桁架杆件内力 FABCDll2FABCDll第89页/共152页第九十页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 91OMeRAB水平面内1/4圆形小曲率曲杆B端固定，A端有作用面和曲

44、杆横截面重合的外力偶Me作用。曲杆横截面是直径为d的圆截面，材料的弹性模量为E，泊松比n=0.25。求端点A的铅直位移。解：计算任意 处横截面内的内力ORMeMTMz弯矩 Mz=Mesin，扭矩 T=Mecos O1RAB在A处加向下的单位力计算同一截面的内力求A的铅直位移第90页/共152页第九十一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 92注意到代入上式并化简得所得结果为负，表明A处位移实际向上。第91页/共152页第九十二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 93llEIEIABCF图示刚架的抗弯刚度EI为常数，在C处有集中力F作

45、用，欲使C点的位移发生在沿力F的方向，求力作用的角度。llEIEIABC1解：在力F的垂直方向加单位力1x1x1x2x2建立坐标，求原载荷和单位载荷引起的弯矩。将弯矩代入莫尔积分得：第92页/共152页第九十三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 94 用静力学平衡方程不能求解出全部未知力（支座约束力和内力）的结构，统称为静不定结构，也称为超静定结构。在静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的力称为多余约束力，多余约束的数目称为结构的静不定次数。静不定结构第93页/共152页第九十四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南

46、大学土木建筑学院 95静不定问题分类第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支座约束力 是静不定的，称为外力静不定系统。第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不 定的，称为内力静不定系统。第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支座 约束力和内力均是静不定的，称为内外力静 不定系统。分析方法1、力法：以未知力作为基本未知量的求解方法。2、位移法：以未知位移作为基本未知量的求解方法。第94页/共152页第九十五页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 96第三类第二类桁架第一类刚架曲杆第95页/共152页第九十六页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学

47、土木建筑学院 97静不定结构 静定结构(几何不变)解除多余约束相当系统静定基+原载荷受力变形完全等价求静不定问题只需对其静定的相当系统进行计算！解除不同的约束可得到不同 的静定基多余约束力解除约束处代之无任何载荷作用的静定结构第96页/共152页第九十七页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 98解除多余约束的方式：（平面问题）去掉一个可动铰或切断一根链杆（二力杆），相 当于解除一个约束；刚性联接改为铰联接，相当于解除一个约束；去掉一个单铰（圆柱铰或固定铰），相当于解除 两个约束；将刚性联接处切断（或去掉一个固定端），相当 于解除三个约束。解除约束后的静定基必须是几

48、何不变的静定结构。第97页/共152页第九十八页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 99一、卡氏定理求解静不定结构相当系统静不定结构承受载荷F1，F2Fm 的作用 承受原载荷F1，F2Fm和多余约束力FR1，FR2FRn 的作用完全等价应变能是原载荷与多余约束力的函数。Ve=Ve（F1，Fm,FR1，FRn）n为静不定次数10.6 静不定结构的求解第98页/共152页第九十九页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 100相当系统和原静不定结构的变形比较，建立变形协调方程变形比较法可求解全部未知力，进而可求内力。静力平衡方程欲求静不定结构

49、某点的位移，可在相当系统上求解。变形协调方程第99页/共152页第一百页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 101解：1、求多余未知力求内力将内力对FC求偏导FCA0.5lFCBxx0.5lx 0.5l取相当系统如图求抗弯刚度EI为常数的等截面梁B点的挠度。F0.5llBCA第100页/共152页第一百零一页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 102变形协调方程FCA0.5lFCBx第101页/共152页第一百零二页，编辑于星期日：十五点 五十三分。2、求B点处的挠度wB求内力方程将内力对F 求偏导数求偏导之后卡氏定理求静定结构位移处

50、的载荷与其它载荷要区别开x内力对F 求偏导之前，不能将 代入内力方程FCA0.5lFCBB处加单位力引起的弯矩第102页/共152页第一百零三页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 104求变形()求原静不定结构的变形是在其相当系统上进行的。xFCA0.5lB第103页/共152页第一百零四页，编辑于星期日：十五点 五十三分。材料力学 中南大学土木建筑学院 105解：1、选取相当系统，并求 出其它约束力 由平衡方程SMC=0，得 2、列出梁的内力方程 AC段 BC段 图示超静定结构，梁的EI为已知常数，试用卡氏定理求出支座B的约束力FB。qACBllqACBllFB