学案12导数的应用(一).ppt

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1、学案学案12 12 导数的应用导数的应用(一一)名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 导导数数的的应应用用(1)了解函数的单调性与导数的关系了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数能利用导数研究函数的单调性研究函数的单调性,会求函数的单调区间会求函数的单调区间(其中多其中多项式函数不超过三次项式函数不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要

2、条件和充分条了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）式函数不超过三次）.名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 从近两年高考试题来看从近两年高考试题来看,利用导数来研究函数的单调性利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点和极值问题已成为炙手可热的考点,既有小题既有小题,也有解答题也有解答题,小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,解答题主解答题主要考查导数与函数单调性或方程、不等式的综合应用要考查导数与

3、函数单调性或方程、不等式的综合应用.预测预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向，同时考查学生分析问题、解决问题的能力为主要考向，同时考查学生分析问题、解决问题的能力.返回目录返回目录 1.1.函数的单调性函数的单调性 在在(a,b)内可导函数内可导函数f(x),f(x)在在(a,b)任意子区间内任意子区间内都不恒等于都不恒等于0.f(x)0 f(x)为为 ;f(x)0 f(x)为为 .减函数减函数 增函数增函数 名师伴你行返回目录返回目录 2.2.函数的极值函数的极值 (1)判断判断f(x0)是极值的方法是极值的方法 一般地一

4、般地,当函数当函数f(x)在点在点x0处连续时处连续时,如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧,右侧右侧 ,那么那么f(x0)是极大值是极大值.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,那么那么f(x0)是极小值是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤 求求f(x);求方程求方程 的根的根;f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)=0名师伴你行返回目录返回目录 考察在每个根考察在每个根x0附近附近,从左到右导函数从左到右导函数f(x)的符号的符号如何变化如何变化.如果左正右负如果左正右负,那么那么f(x)在在x0处取得处取得 ;如果左负右正如果左负右正,那么那么f(x)

5、在在x0处取得处取得 .极小值极小值 极大值极大值 名师伴你行 (3)设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,求求y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求函数求函数y=f(x)在在(a,b)内的内的 ;将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.返回目录返回目录 极值极值 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点1 1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数函数的单调性与导数函数的

6、单调性与导数 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x4-2x2+3;(2)f(x)=;(3)f(x)=x+(b0).名师伴你行【解析解析】(1)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R.f(x)=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).令令f(x)0,则则4x(x+1)(x-1)0.解得解得-1x1.函数函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-1,0)和和(1,+).令令f(x)0,则则4x(x+1)(x-1)0.解得解得x-1或或0 x0,则则 0.1-x0 2x-x20函数的单调递增区间为函数的单调递增区间为(0,1).令令f(x)0,则则 0

7、.1-x0函数的单调递减区间为函数的单调递减区间为(1,2).名师伴你行返回目录返回目录 即即 0 x1.即即 1x0,则则 0.x 或或x-.函数的单调递增区间为函数的单调递增区间为(-,-)和和(,+).令令f(x)0,则则 0.-x0,得得x（-,-）(1,+),当当x（-,1）时时,y0,函数的增区间为函数的增区间为（-,-）,(1,+);函数的减区间为函数的减区间为（-,1）.返回目录返回目录 名师伴你行(2)y=4x-=,定义域为定义域为(0,+),令令y0.函数的增区间为函数的增区间为（,+）,函数的减区间为函数的减区间为（0,）.返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 用导数

8、求变量的范围用导数求变量的范围用导数求变量的范围用导数求变量的范围已知函数已知函数f(x)=mx3+mx2+3x在在R上是增函数，求实数上是增函数，求实数m的取值范围的取值范围.返回目录返回目录 【分析分析】因为因为f(x)0是是f(x)为增函数的充分非必要为增函数的充分非必要条件条件,当使当使f(x)=0时点为离散时的点时时点为离散时的点时,只要有只要有f(x)0,f(x)也为增函数也为增函数.所以所以,求求m的范围时的范围时,应要求应要求f(x)0.名师伴你行 【解析解析】f(x)=3mx2+2mx+3.(1)当当m=0时时,f(x)=30,f(x)在在R上为增函数上为增函数.(2)当当m

9、0时时,f(x)=0的的=4m2-36m=4m(m-9).当当m0，说明，说明存在区间使存在区间使f(x)0.m0时时,f(x)在在R上不是增函数上不是增函数;当当0m9时时,f(x)的图象开口向下且的图象开口向下且0,说明说明f(x)恒大于恒大于0.0m9时时,f(x)开口向上且开口向上且0,说明存在区间使说明存在区间使f(x)9时时,f(x)在在R上不是增函数上不是增函数.综上所述综上所述,所求所求m的取值范围是的取值范围是0,9.名师伴你行 利用导数研函数的单调性比用函数单调性的定义方便利用导数研函数的单调性比用函数单调性的定义方便,但应注意但应注意f(x)0(或或f(x)0）仅是）仅是

10、f(x)在某个区间上为增函数在某个区间上为增函数(或减函数或减函数)的充分条件的充分条件,在在(a,b)内可导的函数内可导的函数f(x)在在(a,b)上递增上递增(或递减或递减)的充要条件应的充要条件应f(x)0(f(x)0),x(a,b)恒成立，且恒成立，且f(x)在在(a,b)的任意子区间内都不恒等于的任意子区间内都不恒等于0,这就这就是说是说,函数函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间点不能充满所给区间

11、的任何一个子区间,因此因此,在已知函数在已知函数f(x)是增函数是增函数(或减函数或减函数)求参数的取值范围时，应令求参数的取值范围时，应令f(x)0(或或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式一般可用不等式恒成立理论求解恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于恒等于0,若能恒等于若能恒等于0,则参数的这个值应舍去则参数的这个值应舍去,若若f(x)不恒为不恒为0,则由则由f(x)0(或或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围确定恒成立解出的参数的取值范围确定.返回目录返回目录 已知函数已知函数f(x)=x3-ax

12、-1.(1)若若f(x)在实数集在实数集R上单调递增上单调递增,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(2)是否存在实数是否存在实数a,使使f(x)在在(-1,1)上单调递减上单调递减?若存在若存在,求求出出a的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,说明理由说明理由;(3)证明证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线的图象不可能总在直线y=a的上方的上方.【解析解析】(1)由已知由已知f(x)=3x2-a,f(x)在在(-,+)上是单调增函数上是单调增函数,f(x)=3x2-a0在在(-,+)上恒成立上恒成立,即即a3x2对对xR恒成立恒成立.3x20,只需只需a0,又又a=0时时,f

13、(x)=3x20,故故f(x)=x3-1在在R上是增函数上是增函数,则则a0.名师伴你行返回目录返回目录(2)由由f(x)=3x2-a0在在(-1,1)上恒成立上恒成立,得得a3x2,x(-1,1)恒成立恒成立.-1x1,3x23,只需只需a3.当当a=3时时,f(x)=3(x2-1),在在x(-1,1)上上,f(x)0,即即f(x)在在(-1,1)上为减函数上为减函数,a3.故存在实数故存在实数a3,使使f(x)在在(-1,1)上单调递减上单调递减.(3)证明证明:f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线的图象不可能总在直线y=a的上方的上方.名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析

14、】由由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x2,知知f(x)=cosx+sinx+1,于是于是f(x)=1+sin（x+）,令令f(x)=0,从而从而sin（x+）=-,得得x=或或x=.考点考点考点考点3 3 用导数研究函数的极值用导数研究函数的极值用导数研究函数的极值用导数研究函数的极值 名师伴你行2010年高考安徽卷年高考安徽卷设函设函f(x)=sinxcosx+x+1,0 x0,当当x变化时，变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，函数因此，函数f(x)在在x=处取得极小值处取得极小值f(),且且f()=;函数函数f(x)在在x=a处取得极大值处取得极

15、大值f(a),且且f(a)=0.x x(-,-)(,a)1(a,+)-0 0+0 0-0 0 名师伴你行返回目录返回目录 若若a0,当当x变化时，变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，函数因此，函数f(x)在在x=a处取得极小值处取得极小值f(a),且且f(a)=0;函数函数f(x)在在x=处取得极大值处取得极大值f(),且且f()=.x x(-,a)a(a,)(,+)-0 0+0 0-0 名师伴你行返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.1.用导数研究函数单调性时，求单调区间对区间用导数研究函数单调性时，求单调区间对区间用导数研究函数单调性时，求单调区间对区间用

16、导数研究函数单调性时，求单调区间对区间的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求很高，该开就开，该闭就闭很高，该开就开，该闭就闭很高，该开就开，该闭就闭很高，该开就开，该闭就闭.一般情况下不管单调区间一般情况下不管单调区间一般情况下不管单调区间一般情况下不管单调区间是开还是

17、闭是开还是闭是开还是闭是开还是闭,字母均能取等号字母均能取等号字母均能取等号字母均能取等号,只要此时函数不是常数只要此时函数不是常数只要此时函数不是常数只要此时函数不是常数函数即可函数即可函数即可函数即可.名师伴你行 2.2.可导函数的极值可导函数的极值可导函数的极值可导函数的极值 (1)(1)极值是一个局部性概念极值是一个局部性概念极值是一个局部性概念极值是一个局部性概念,一个函数在其定义域内一个函数在其定义域内一个函数在其定义域内一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值可以有许多个极大值和极小值可以有许多个极大值和极小值可以有许多个极大值和极小值,在某一点的极小值也可在某一点的极小值

18、也可在某一点的极小值也可在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值能大于另一点的极大值能大于另一点的极大值能大于另一点的极大值,也就是说极大值与极小值没有也就是说极大值与极小值没有也就是说极大值与极小值没有也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系必然的大小关系必然的大小关系必然的大小关系.(2)(2)若若若若f(x)f(x)在在在在(a,b)(a,b)内有极值内有极值内有极值内有极值,那么那么那么那么f(x)f(x)在在在在(a,b)(a,b)内绝内绝内绝内绝不是单调函数不是单调函数不是单调函数不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极即在某区间上单调增或减的函数没有极即在某区间上单调增或减的函数没有极即在某区间上单调增或减的函数没有极值值值值.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行