微分方程的近似解学习教案.pptx

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1、会计学1微分方程微分方程(wi fn fn chn)的近似解的近似解第一页，共28页。一阶差商一阶差商一阶差商一阶差商第2页/共28页第二页，共28页。高阶差商高阶差商高阶差商高阶差商第3页/共28页第三页，共28页。由差商代替(dit)微商的误差第4页/共28页第四页，共28页。偏导数偏导数偏导数偏导数(d(d o sh)o sh)的差商表示的差商表示的差商表示的差商表示第5页/共28页第五页，共28页。差分差分差分差分(ch fn)(ch fn)方程方程方程方程第6页/共28页第六页，共28页。第7页/共28页第七页，共28页。n n这样，可根据这样，可根据(gnj)(gnj)需要把区域分

2、成适当的网格，着眼于求未知函数在网需要把区域分成适当的网格，着眼于求未知函数在网格节点上的近似解，此时在节点上用差商近似代替微商，把定解问题化为格节点上的近似解，此时在节点上用差商近似代替微商，把定解问题化为以未知函数在节点上的近似值为未知量的代数方向组（即差分方程），然以未知函数在节点上的近似值为未知量的代数方向组（即差分方程），然后求解此差分方程，得到原定解问题在节点上的近似值，这各种方法称为后求解此差分方程，得到原定解问题在节点上的近似值，这各种方法称为差分方法。差分方法。n n由误差分析可知，当区域划分充分精细时，节点处的近似值与精确值将充由误差分析可知，当区域划分充分精细时，节点处的

3、近似值与精确值将充分逼近。分逼近。第8页/共28页第八页，共28页。2、热传导方程定解问题的差分、热传导方程定解问题的差分(ch fn)方法方法第9页/共28页第九页，共28页。第10页/共28页第十页，共28页。第11页/共28页第十一页，共28页。第12页/共28页第十二页，共28页。3、波动、波动(bdng)方程定解问题的方程定解问题的差分方法差分方法第13页/共28页第十三页，共28页。第14页/共28页第十四页，共28页。第15页/共28页第十五页，共28页。第16页/共28页第十六页，共28页。4、Laplace方程方程(fngchng)边值问题的差分方法边值问题的差分方法第17页

4、/共28页第十七页，共28页。第18页/共28页第十八页，共28页。第19页/共28页第十九页，共28页。第20页/共28页第二十页，共28页。5、迭代、迭代(di di)求解（以求解（以laplace方程为例）方程为例）第21页/共28页第二十一页，共28页。（1 1）同步）同步）同步）同步(tngb)(tngb)迭代迭代迭代迭代第22页/共28页第二十二页，共28页。（2 2）异法迭代）异法迭代）异法迭代）异法迭代(di di)(di di)第23页/共28页第二十三页，共28页。6、收敛性和稳定性、收敛性和稳定性n n差分求解法必须满足收敛性和稳定性两个条件。差分求解法必须满足收敛性和稳

5、定性两个条件。n n收敛性：要求当频长收敛性：要求当频长t t，h h等趋于零时，差分问题的解等趋于零时，差分问题的解U U收收敛于原偏微分方程的解敛于原偏微分方程的解u u，此即收敛性。，此即收敛性。n n稳定性：四则运算稳定性：四则运算(s z yn sun)(s z yn sun)时舍入误差不可避免，时舍入误差不可避免，因此前一步的计算会影响后面计算结果的精确性。因此前一步的计算会影响后面计算结果的精确性。n n对于有些差分格式，前面的误差对后面解的影响不大，这对于有些差分格式，前面的误差对后面解的影响不大，这种计算格式称为稳定的。种计算格式称为稳定的。n n而不满足这一条件时，会产生误差积累而影响计算精度，而不满足这一条件时，会产生误差积累而影响计算精度，这种差分格式称为不稳定。这种差分格式称为不稳定。第24页/共28页第二十四页，共28页。n n关于收敛(shulin)和稳定性有以下结论：热扩散方程(fngchng)第25页/共28页第二十五页，共28页。波动(bdng)方程Laplace 方程(fngchng)第26页/共28页第二十六页，共28页。第27页/共28页第二十七页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第28页/共28页第二十八页，共28页。