微积分基本公式57134学习教案.pptx

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1、微积分基本微积分基本(jbn)公式公式57134第一页，共19页。(设所列定积分设所列定积分(jfn)都存在都存在)(k 为常数为常数(chngsh)机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 规定规定定积分的性质定积分的性质(定积分对积分区间具有可加性定积分对积分区间具有可加性)第1页/共19页第二页，共19页。推论推论(tuln)1.若在若在 a,b 上上则则6.设则5.若在若在 a,b 上上则则7.定积分定积分(jfn)中值定理中值定理则至少则至少(zhsho)(zhsho)存在一点存在一点使使推论推论2.(ab时也成立时也成立)第2页/共19页第三页，共19页。机动 目录(ml)上页 下

2、页 返回 结束 若若f(x)在在 a,b 上连续上连续(linx),证明证明且且若若则则(1)且且若若则则(2)且且若若则则(3)证证:(1)(反证反证(fnzhng)设设则存在则存在x0使得使得f(x0)0不妨设不妨设则存在则存在x0的某邻域的某邻域U(x0,),当当x属于属于U(x0,)时时,f(x)第3页/共19页第四页，共19页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 与与矛盾矛盾(modn).所以所以(suy)且且若若则则(2)由由(1)反证反证.首先首先若若由由(1)得得,矛盾矛盾,所以所以(3)令令F(x)=g(x)f(x)由由(1)得得,F(x)=g(x)f(x)0即即g(x

3、)=f(x)第4页/共19页第五页，共19页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 定积分定积分(jfn)(jfn)中值定理中值定理(推广推广)证明证明:则至少则至少(zhsho)(zhsho)存在一点存在一点若若f(x)在在a,b上连续上连续,g(x)在在a,b上连续且保号上连续且保号使得使得,(保号的保持在积分内保号的保持在积分内)证证:不妨设不妨设g(x)0,若若g(x)0则命题显然成立则命题显然成立,若若g(x)0,则则设设f(x)在在a,b上的最小上的最小(大大)值为值为m(M).m g(x)f(x)g(x)M g(x)在在a,b上积分得上积分得,再由介值定理得再由介值定理得

4、第5页/共19页第六页，共19页。二、积分二、积分(jfn)上限的函数及其导数上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿(ni dn)莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例(yn l)机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 微积分的基本公式 第五五章(微积分的基本公式微积分的基本公式)第6页/共19页第七页，共19页。一、引例一、引例一、引例一、引例(yn l)(yn l)在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置已知位置(wi zhi)函数函数与速度与速度(sd)函数函数则物体在时间间隔则物体在时间间隔内经过的位移为内经过的位移为这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种定积分与原

5、函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 在这里在这里s(t)是是v(t)的原函数，即的原函数，即第7页/共19页第八页，共19页。二、积分二、积分二、积分二、积分(jfn)(jfn)上限的函数及上限的函数及上限的函数及上限的函数及其导数其导数其导数其导数则变上限则变上限(shngxin)函数函数证证:则有则有机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 定理定理1.若若(介于介于x与与x+h之间之间)第8页/共19页第九页，共19页。说明说明说明说明(shu(shumng)mng):1)定理定理(dngl)1 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是

6、存在的.2)变限积分变限积分(jfn)求导求导:同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束(推导在后面推导在后面)第9页/共19页第十页，共19页。三、牛顿三、牛顿三、牛顿三、牛顿(ni dn)(ni dn)莱布莱布莱布莱布尼兹公式尼兹公式尼兹公式尼兹公式(牛顿牛顿(ni dn)-莱布尼莱布尼兹公式兹公式)机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 证证:根据定理根据定理 1,故故因此因此得得记记作作定理定理2.函数函数,则则第10页/共19页第十一页，共19页。例例例例1.1.计算计算计算计算(j sun)(j sun)解解:机

7、动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 原式原式=例例2.计算计算(j sun)解解:原式原式=第11页/共19页第十二页，共19页。例例4.计算计算(j sun)正弦曲线正弦曲线的面积的面积(min j).解解:机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算计算解解:|第12页/共19页第十三页，共19页。例例例例5.5.汽车以每小时汽车以每小时汽车以每小时汽车以每小时(xiosh)36 km(xiosh)36 km 的速度的速度的速度的速度行驶行驶行驶行驶,速停车速停车(tng ch),解解:设开始设开始(kish)刹车时刻为刹车时刻为则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度刹车后

8、汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶,其速度为其速度为当汽车停住时当汽车停住时,即即得得故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为刹车刹车,问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离?第13页/共19页第十四页，共19页。例例例例6.6.求求求求解解:原式原式说明 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 例例7.确定确定(qudng)常数常数 a,b,c 的值的值,使使解解:原式原式=c 0,故故又由又由,得得第14页/共19页第十五页，共19页。例例例例8.8.证明证明(

9、zhngmng)在在内为单调递增内为单调递增(dzng)函数函数.证证:只要只要(zhyo)证证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共19页第十六页，共19页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设设求求在在,的表达式的表达式.解解:时时,时时,总之(zngzh)第16页/共19页第十七页，共19页。内容内容内容内容(nirng)(nirng)小结小结小结小结则有则有1.微积分基本微积分基本(jbn)公式公式3.变限积分变限积分(jfn)求导公式求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 2.定积分中值定理的推广定积分中值定理的推广(a,b)或或(b,a)所以所以(保号的保持在积分内保号的保持在积分内)第17页/共19页第十八页，共19页。作业作业作业作业(zuy)(zuy)第三节 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 P243 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);11,12第18页/共19页第十九页，共19页。