概率论与数理统计概率论学习教案.pptx

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1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)概率论概率论第一页，共112页。2第三章第三章 多维随机变量多维随机变量(su j bin lin)及其分布及其分布关键词：二维随机变量分布函数(hnsh)分布律 概率密度边缘分布函数(hnsh)边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数(hnsh)条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度第1页/共111页第二页，共112页。31 1 二维随机变量二维随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。

2、仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够(bgu)的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。第2页/共111页第三页，共112页。4定义：设定义：设E E是一个是一个(y)(y)随机试验，样本空间随机试验，样本空间S=eS=e；设设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义是定义在在S S上的随机变量，由它们构成的上的随机变量，由它们构成的向量向量(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向

3、量叫做二维随机向量或二维随机变量。或二维随机变量。0Se定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为(chn wi)二维随机变量(X,Y)的分布函数。第3页/共111页第四页，共112页。5 分布分布(fnb)函数函数 的性质的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)第4页/共111页第五页，共112页。6x2y1x1y2第5页/共111页第六页，共112页。7二维离散二维离散(lsn)型随机变量型随机变量 定义：若二维随机变量定义：若二维随机变量(su j bin lin(su j bin lin)(X,Y)(X,Y)全部可能取到的全部可能

4、取到的不同值是有不同值是有 限对或可列无限对，则称限对或可列无限对，则称(X,Y)(X,Y)是离散型是离散型随机变量随机变量(su j bin lin(su j bin lin)。y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij离散(lsn)型随机变量的联合概率分布：为二维离散(lsn)型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：第6页/共111页第七页，共112页。8 分布分布(fnb)律的性质律的性质 例例1 1：设随机变量：设随机变量X X在在1 1、2 2、3 3、4 4四个整数中等可能四个整数中等可能(knng)(knng)地取地取 一个值，另一个随

5、机变量一个值，另一个随机变量Y Y在在1X1X中等可能中等可能(knng)(knng)地地取一取一 整数值，试求整数值，试求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。YX12344000120300 解：(X=i,Y=j)的取值情况(qngkung)为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：第7页/共111页第八页，共112页。9 第8页/共111页第九页，共112页。10 二维连续型随机变量二维连续型随机变量(su j bin lin)第9页/共111页第十页，共112页。11 第10页/共111页第十一页，共112页。12 例例3 3：设二维随机

6、变量：设二维随机变量(su j bin lin(su j bin lin)(X,Y)(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：第11页/共111页第十二页，共112页。13第12页/共111页第十三页，共112页。14 例例4 4：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度 (1)(1)求常数求常数(chngsh)k(chngsh)k；(2)(2)求概率求概率 解：解：1第13页/共111页第十四页，共112页。152 2 边缘边缘(binyun)(binyun)分布分布 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)作为整体，有分布作为整体，有分布(fnb)(fnb

7、)函数函数 其中其中X X和和Y Y都是随机变量，它们的分布都是随机变量，它们的分布(fnb)(fnb)函数函数 记为：记为：称为边缘分布称为边缘分布(fnb)(fnb)函数。函数。事实上，第14页/共111页第十五页，共112页。16对于离散对于离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量(X,Y)(X,Y)，分布律为，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘(binyun)分布律为：注意(zh y)：第15页/共111页第十六页，共112页。17对于对于(duy)(duy)连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)

8、(X,Y)，概率密度为，概率密度为事实上，同理：X,Y的边缘(binyun)概率密度为：第16页/共111页第十七页，共112页。18 00.0250.350.04YX0102010.02520.020 0.100.250.150.04X0210.3700.415 0.215pY020100.3150.395 0.290p第17页/共111页第十八页，共112页。19 例例2 2：(X,Y)(X,Y)的联合的联合(linh)(linh)分布律为分布律为 求：求：(1)a,b(1)a,b的值；的值；(2)X,Y(2)X,Y的边缘分布律；的边缘分布律；(3)(3)YX-1100.20.1a120.

9、1 0.2bX10.420.6Y0.3 0.5-1100.2(2)解：(1)由分布(fnb)律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4第18页/共111页第十九页，共112页。20 例例3 3：设：设G G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A A，若二维随机，若二维随机 变量变量(X,Y)(X,Y)具有具有(jyu)(jyu)概率密度概率密度则称则称(X,Y)(X,Y)在在G G上服从均匀分布。上服从均匀分布。现设现设(X,Y)(X,Y)在有界区域在有界区域上均匀分布，其概上均匀分布，其概率密率密度为度为 求边缘概率密度求边缘概率密度 解：解：第19页/共111页第二

10、十页，共112页。21 第20页/共111页第二十一页，共112页。22第21页/共111页第二十二页，共112页。233 3 条件条件(tiojin)(tiojin)分布分布正如对两事件正如对两事件A,BA,B，若，若 可以可以(ky)(ky)考虑条件考虑条件概率概率一样，对二维离散型随机变量一样，对二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)，其分布律为：，其分布律为：我们也可以我们也可以(ky)(ky)考虑条件概率考虑条件概率由条件概率(gil)公式可得：第22页/共111页第二十三页，共112页。24 定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维离散是二维离散(lsn)(lsn)型随机变量，型

11、随机变量，对于固定的对于固定的yj yj，同样(tngyng)，对于固定的xi，第23页/共111页第二十四页，共112页。25 例例1 1：盒子里装有：盒子里装有3 3只黑球，只黑球，4 4只红球，只红球，3 3只白球，在其中只白球，在其中 任取任取2 2球，以球，以X X表示取到黑球的数目，表示取到黑球的数目，Y Y表示取到红球表示取到红球 的只数。求的只数。求 （1 1）X X，Y Y的联合的联合(linh)(linh)分布率；分布率；（2 2）X=1X=1时时Y Y的条件分布率；的条件分布率；(3)Y=0 (3)Y=0时时X X的条件分布率。的条件分布率。解：X,Y的联合(linh)分

12、布率为X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0第24页/共111页第二十五页，共112页。26故在故在X=1X=1的条件的条件(tiojin)(tiojin)下，下，Y Y的的分布律为：分布律为：同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件(tiojin)下，X的分布律为：X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0 X 0 1 2P(X=k/Y=0)1/5 3/5 1/5 Y 0 1 2P(Y=k/X=1)4/7 3/7 0第25页/共111页第二十六页，共112页。27 例例2 2：一射手进行射击

13、，击中目标的概率为：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击射击直至击 中目标两次为中目标两次为止，设以止，设以X X表示首次击中目标所进行的射击次表示首次击中目标所进行的射击次数，以数，以Y Y表示总共进行的射击次表示总共进行的射击次数，试求数，试求X X和和Y Y的联合分布的联合分布(fnb)(fnb)律和律和条件分布条件分布(fnb)(fnb)律。律。解：解：第26页/共111页第二十七页，共112页。28第27页/共111页第二十八页，共112页。29 定义(dngy)：条件分布函数第28页/共111页第二十九页，共112页。30 定义(dngy)：条件概率密度第29页/共111页

14、第三十页，共112页。31由定义由定义(dng(dngy)y)：事实上，第30页/共111页第三十一页，共112页。32 例例3 3：设二维随机变量：设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)(su j bin lin)(X,Y)在区域在区域(x,y):(x,y):y y x1 x1 内均匀分布，求条件概率密度内均匀分布，求条件概率密度二维均匀分布的条件(tiojin)分布仍为均匀分布 解：根据(gnj)题意，(X,Y)的概率密度为：Y的边缘概率密度为：于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：第31页/共111页第三十二页，共112页。33 第32页/共111页第三十三页，共11

15、2页。344 4 相互独立相互独立(dl)(dl)的随机变的随机变量量 第33页/共111页第三十四页，共112页。35例例1 1：11例例2 2中中X X和和Y Y 是否相互独立是否相互独立(dl)(dl)？(X,Y)(X,Y)具有概具有概率密度率密度连续型随机变量X,Y相互(xingh)独立，其密度函数有何特征？X和Y的边缘(binyun)概率密度分别为：第34页/共111页第三十五页，共112页。36YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i)第35页/共111页第三十六页，共112页。37 第36页/共111页第三十七页，共112页。38 第37页/共111

16、页第三十八页，共112页。39第38页/共111页第三十九页，共112页。40第39页/共111页第四十页，共112页。41 一般一般一般一般n n维随机变量的一些维随机变量的一些维随机变量的一些维随机变量的一些(yxi)(yxi)概念和结果概念和结果概念和结果概念和结果 第40页/共111页第四十一页，共112页。42 边缘边缘(binyun)(binyun)分布分布 如：如：第41页/共111页第四十二页，共112页。43 相互相互相互相互(xingh)(xingh)(xingh)(xingh)独立独立独立独立 第42页/共111页第四十三页，共112页。44 定理(dngl)1：定理(d

17、ngl)2：第43页/共111页第四十四页，共112页。455 5 两个随机变量两个随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的函数的分布的函数的分布 第44页/共111页第四十五页，共112页。46例例1 1：设：设X X和和Y Y是相互是相互(xingh)(xingh)独立的标准正态随机变量，求独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。的概率密度。解：由卷积公式(gngsh)：一般(ybn)：设X,Y相互独立，第45页/共111页第四十六页，共112页。47 例例2 2：X,YX,Y相互独立相互独立(dl)(dl)，同时服从，同时服从0,10,1上的均匀分布，求上的均匀分

18、布，求 的概率密度。的概率密度。xx=zz120 x=z-1 1 解：根据(gnj)卷积公式：易知仅当参考(cnko)图得：第46页/共111页第四十七页，共112页。48 例例3 3：设：设X,YX,Y相互相互(xingh)(xingh)独立、服从相同的指数分布，概率独立、服从相同的指数分布，概率密度密度为：为：求求 的概率密度。的概率密度。解：根据(gnj)卷积公式：第47页/共111页第四十八页，共112页。49一般的，可以证明：一般的，可以证明：一般的，可以证明：一般的，可以证明：若若若若X,YX,YX,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立(dl)(dl)(dl)(dl)，且分别服

19、从参数为，且分别服从参数为，且分别服从参数为，且分别服从参数为X,YX,YX,YX,Y的概率密度分别为的概率密度分别为的概率密度分别为的概率密度分别为证明：这是例证明：这是例证明：这是例证明：这是例3 3 3 3的推广，由卷积公式的推广，由卷积公式的推广，由卷积公式的推广，由卷积公式由此可知：第48页/共111页第四十九页，共112页。50 第49页/共111页第五十页，共112页。51 推广到推广到推广到推广到n n个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况 设设设设X1,X2,XnX1,X2,Xn是是是是n n个相互独立的随机变

20、量，它们的分布个相互独立的随机变量，它们的分布个相互独立的随机变量，它们的分布个相互独立的随机变量，它们的分布(fnb)(fnb)函数分别为：函数分别为：函数分别为：函数分别为：则：则：则：则：第50页/共111页第五十一页，共112页。52 第51页/共111页第五十二页，共112页。53 例例5 5：设系统：设系统L L由两个相互独立由两个相互独立(dl)(dl)的子系统的子系统L1,L2L1,L2联结联结而成，联而成，联结的方式分别为：结的方式分别为：(1)(1)串联；串联；(2)(2)并联；并联；(3)(3)备用备用(当系统当系统L1L1损坏时，系统损坏时，系统L2L2开始工作开始工作

21、)。如图，设如图，设L1,L2L1,L2的寿命分别为的寿命分别为X,YX,Y，已知它们的概率，已知它们的概率密度分别为：密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出试分别就以上三种联结方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密度。的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1第52页/共111页第五十三页，共112页。54A.A.A.A.串联的情况串联的情况串联的情况串联的情况B.B.B.B.由于当由于当由于当由于当L1,L2L1,L2L1,L2L1,L2中由一个损坏时，系统中由一个损坏时，系统中由一个损坏时，系统中由一个损坏时，系统L L L L就停止工作就停止工作就停止工作就停止工作(gngz

22、u)(gngzu)(gngzu)(gngzu)，所以，所以，所以，所以L L L L的寿命为的寿命为的寿命为的寿命为Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)；C.C.C.C.而而而而X,YX,YX,YX,Y的分布函数分别为：的分布函数分别为：的分布函数分别为：的分布函数分别为：D.D.D.D.故故故故Z Z Z Z的分布函数为：的分布函数为：的分布函数为：的分布函数为：E.E.E.E.于是于是于是于是Z Z Z Z的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：即Z仍服从(fcng)指数分布L1L2第53页/共111页第五十四页，共112页。55

23、B.B.B.B.并联的情况并联的情况并联的情况并联的情况(qngkung)(qngkung)(qngkung)(qngkung)C.C.C.C.D.D.D.D.由于当且仅当由于当且仅当由于当且仅当由于当且仅当L1,L2L1,L2L1,L2L1,L2都损坏时，系统都损坏时，系统都损坏时，系统都损坏时，系统L L L L才停止工作，所才停止工作，所才停止工作，所才停止工作，所以这时以这时以这时以这时L L L L的寿命为的寿命为的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)，Z Z Z Z的分布函数为：的分布函数为：的分布函数为：的分布函数为：E.

24、E.E.E.于是于是于是于是Z Z Z Z的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：L1L2第54页/共111页第五十五页，共112页。56C.C.C.C.备用的情况备用的情况备用的情况备用的情况D.D.D.D.E.E.E.E.由于这时当系统由于这时当系统由于这时当系统由于这时当系统L1L1L1L1损坏时，系统损坏时，系统损坏时，系统损坏时，系统L2L2L2L2才开始工作，因此才开始工作，因此才开始工作，因此才开始工作，因此(ync)(ync)(ync)(ync)整个系统整个系统整个系统整个系统L L L L的寿命的寿命的寿命的寿命Z Z Z Z是是是是L1,L2L1,L2L1,

25、L2L1,L2寿命之和，即寿命之和，即寿命之和，即寿命之和，即Z=X+YZ=X+YZ=X+YZ=X+Y；F.F.F.F.因此因此因此因此(ync)(ync)(ync)(ync)：L1L2第55页/共111页第五十六页，共112页。57复习复习复习复习(fx)(fx)(fx)(fx)思考题思考题思考题思考题 3 3 3 31.1.设设(X,Y)(X,Y)为二维向量，为二维向量，则则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1,y1),Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1,y1),对吗？对吗？2.2.设设(X,Y)(X,Y)为二维连续量，则为二维连续量，则PX+Y=1=0,

26、PX+Y=1=0,对吗？对吗？3.(X,Y)3.(X,Y)为二维连续型向量，为二维连续型向量，f(x,y)f(x,y)为为(X,Y)(X,Y)的联合概率密度，的联合概率密度，fX(x)fX(x)和和fY(y)fY(y)分别为关于分别为关于(guny)X(guny)X和和Y Y的边缘概率密度，若有一点的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)(x0,y0)使使f(x0,y0)fX(x0)fY(y0)f(x0,y0)fX(x0)fY(y0)则则X X和和Y Y不独立，对吗？不独立，对吗？第56页/共111页第五十七页，共112页。58关键词：数学(shxu)期望方差协方差相关系数第四章第四章 随机变量

27、随机变量(su j bin lin)的数字特征的数字特征第57页/共111页第五十八页，共112页。59问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；考察杭州市区居民(jmn)的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；第58页/共111页第五十九页，共112页。601 数学(shxu)期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中(qzhng)甲、乙的成绩 如下

28、：评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数2065158910 解：计算(j sun)甲的平均成绩：计算乙的平均成绩：所以甲的成绩好于乙的成绩。第59页/共111页第六十页，共112页。61定义定义(dngy)(dngy)：定义定义(dngy)(dngy)：数学期望简称数学期望简称(jinchng)期望，又称均值。期望，又称均值。第60页/共111页第六十一页，共112页。62 例例2 2：有：有2 2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：服从同一指数分布，其概率密度为：若将这若将这2 2个电子装置串联联接个电子装置

29、串联联接组成整机，求整机寿命组成整机，求整机寿命N(N(以小时以小时(xiosh)(xiosh)计计)的数学期望。的数学期望。解：解：是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机，整机的平均寿命(pn jn shu mn)又该如何计算？只要求出一般指数分布的期望(qwng)（即E(X1)，就可得到E(N).第61页/共111页第六十二页，共112页。63 例3：设有10个同种(tn zhn)电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。解：X的分布(fnb)律为：第62页/共111页第六十三页，共11

30、2页。64 例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工(tn n)。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？解：设X表示(biosh)一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周(y zhu)内所获利润，则第63页/共111页第六十四页，共112页。65 例例5：第64页/共111页第六十五页，共112页。66例6：第65页/共111页第六十六页，共112页。67 第66页/共111页第六十七页，共112页。68 第67页/共111页第六十八页，共112页。69

31、例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学(shxu)期望。第68页/共111页第六十九页，共112页。70 例例8：第69页/共111页第七十页，共112页。71 例9：设随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为：X=1第70页/共111页第七十一页，共112页。72 第71页/共111页第七十二页，共112页。73数学期望(qwng)的特性：这一性质(xngzh)可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况第72页/共111页第七十三页，共112页。74证明(zhngmng)：下面仅对连续型随机变量(s

32、u j bin lin)给予证明：第73页/共111页第七十四页，共112页。75 例例1111：一民航送客车载：一民航送客车载(ch zi)(ch zi)有有2020位旅客自机场出发，旅客位旅客自机场出发，旅客有有1010 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以不停车，以X X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立客是否下车相互独立)本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求

33、数学期望，这种处理方法(fngf)具有一定的普遍意义。解：引入随机变量(su j bin lin)：第74页/共111页第七十五页，共112页。76 例例1212：第75页/共111页第七十六页，共112页。772 方差(fn ch)设有一批灯泡寿命为：一半约设有一批灯泡寿命为：一半约950950小时小时(xi(xi osh)osh)，另一半约，另一半约10501050小时小时(xi(xi osh)osh)平均寿平均寿命为命为10001000小时小时(xi(xi osh)osh)；另一批灯泡寿命为：另一批灯泡寿命为：一半约一半约13001300小时小时(xi(xi osh)osh)，另一半约，

34、另一半约700700小时小时(xi(xi osh)osh)平均寿命为平均寿命为10001000小时小时(xi(xi osh)osh)；问题：哪批灯泡的质量更好？问题：哪批灯泡的质量更好？单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。方差正是体现(txin)这种意义的数学特征。第76页/共111页第七十七页，共112页。78定义(dngy)：第77页/共111页第七十八页，共112页。79对于离散对于离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量X X，对于(duy)连续型随机变量X，此外，利用数学(shxu)期望的性质，可得方差得计算公式：第78页/共111页第

35、七十九页，共112页。80 例1：设随机变量X具有数学(shxu)期望第79页/共111页第八十页，共112页。81 例例2 2：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X具有具有0-10-1分布，分布，其分布律为：其分布律为：解：解：第80页/共111页第八十一页，共112页。82 例3：解：第81页/共111页第八十二页，共112页。83 例例4 4：解：X的概率密度为：第82页/共111页第八十三页，共112页。84 例例5 5：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X服从指数分布，服从指数分布，其概率密度

36、其概率密度为：为：即对指数分布而言，方差即对指数分布而言，方差(fn ch)是均值的平方，而均值恰为参数是均值的平方，而均值恰为参数第83页/共111页第八十四页，共112页。85方差(fn ch)的性质：第84页/共111页第八十五页，共112页。86证明证明(zhngmng)(zhngmng)：第85页/共111页第八十六页，共112页。87 例例6 6：Xkpk011-pp第86页/共111页第八十七页，共112页。例例7 7：解：解：第87页/共111页第八十八页，共112页。第88页/共111页第八十九页，共112页。90例8：设活塞的直径(以cm计)汽缸(qgng)的直径 X,Y相

37、互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸(qgng)，求活 塞能装入汽缸(qgng)的概率。第89页/共111页第九十页，共112页。91表1 几种常见分布的均值(jn zh)与方差数学期望(qwng)方差 分布分布(fnb)率或率或 密度函密度函数数 分布分布01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态分布第90页/共111页第九十一页，共112页。923 协方差及相关系数 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)，除了讨论，除了讨论X X与与Y Y的数学期望和方差的数学期望和方

38、差外，还需讨论描述外，还需讨论描述X X与与Y Y之间相互关系的数字特征之间相互关系的数字特征(tzhng)(tzhng)。这。这就是本节的内容。就是本节的内容。定义：定义：第91页/共111页第九十二页，共112页。93协方差的性质协方差的性质(xngzh)(xngzh)：思考题：思考题：第92页/共111页第九十三页，共112页。94 相关系数的性质(xngzh)：续第93页/共111页第九十四页，共112页。95第94页/共111页第九十五页，共112页。96第95页/共111页第九十六页，共112页。97 例例1 1：设：设X,YX,Y服从服从(fcng)(fcng)同一分布，其分布律

39、为：同一分布，其分布律为：X -1 0 1 X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/4 1/2 1/4 已知已知P(P(X X=Y Y)=0,)=0,判断判断X X和和Y Y是否不相关？是否是否不相关？是否 不独立？不独立？第96页/共111页第九十七页，共112页。98第97页/共111页第九十八页，共112页。99 续第98页/共111页第九十九页，共112页。100续第99页/共111页第一百页，共112页。101第100页/共111页第一百零一页，共112页。102 例3：设X,Y相互独立服从同一(tngy)分布，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关

40、，是否一定独立？第101页/共111页第一百零二页，共112页。1034 矩、协方差矩阵(j zhn)第102页/共111页第一百零三页，共112页。104第103页/共111页第一百零四页，共112页。利用利用(lyng)(lyng)协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n n维正态变量的概维正态变量的概率密度。率密度。第104页/共111页第一百零五页，共112页。第105页/共111页第一百零六页，共112页。107n n维正态变量具有以下四条重要维正态变量具有以下四条重要(zhngyo)(zhngyo)性质：性质：第106页/共

41、111页第一百零七页，共112页。108复习复习复习复习(fx)(fx)(fx)(fx)思考题思考题思考题思考题 4 4 4 41.1.叙述叙述(xsh)E(X)(xsh)E(X)和和D(X)D(X)的定义。的定义。第107页/共111页第一百零八页，共112页。1094.4.试述计算随机变量试述计算随机变量X X的函数的函数g(X)g(X)的数学期望的数学期望Eg(X)Eg(X)的两种方法。的两种方法。5.5.设设X XN(,2),N(,2),用如下两种方法求用如下两种方法求E(X2)E(X2)：(1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2 (1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2；

42、(2)E(X2)=E(X.X)=E(X).E(X)=2 (2)E(X2)=E(X.X)=E(X).E(X)=2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？两种结果不一样，哪一种错？为什么？6.6.设设X X和和Y Y为两随机变量，且已知为两随机变量，且已知D(X)=6,D(Y)=7,D(X)=6,D(Y)=7,则则D(XD(XY)=D(X)Y)=D(X)D(Y)=6D(Y)=67=7=10,10,这与任意一个这与任意一个(y)(y)随机变随机变量的方量的方 差都不小于零相矛盾，为什么？差都不小于零相矛盾，为什么？第108页/共111页第一百零九页，共112页。1107.7.考虑考虑100100包水泥的

43、总重量包水泥的总重量Y Y用以下两种方式表示用以下两种方式表示(biosh)(biosh)：(1)(1)设第设第i i袋水泥的重量为袋水泥的重量为Xi,i=1,2,100,Xi,i=1,2,100,由题意知由题意知,Xi Xi N(50,2.52),Y=Xi,N(50,2.52),Y=Xi,则则Y YN(100*50,100*2.52)N(100*50,100*2.52)；(2)(2)设一包水泥的重量为设一包水泥的重量为X,X,由题意知由题意知 X XN(50,2.52)N(50,2.52)。若将若将100100包水泥的总重量看成是包水泥的总重量看成是1 1包水泥的包水泥的100100倍，即倍

44、，即Y=100X,Y=100X,Y Y是是X X的线性函数，则：的线性函数，则：E(Y)=100E(X)=100*50,D(Y)=1002D(X)=1002*2.52E(Y)=100E(X)=100*50,D(Y)=1002D(X)=1002*2.52Y YN(100*50,1002*2.52)N(100*50,1002*2.52)这两种方法得到的总重量的分布不一样这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后因为方差不同，后者方差是前者的者方差是前者的100100倍倍)，试问哪一种正确？试问哪一种正确？8.8.试问试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？对吗？第109页/共111页第一百一十页，共112页。2023/2/27课件结束(jish)!第110页/共111页第一百一十一页，共112页。112感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第111页/共111页第一百一十二页，共112页。