概率论二维随机变量及其分布学习教案.pptx

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1、会计学1概率论二维随机变量概率论二维随机变量(su j bin lin)及其分布及其分布第一页，共95页。二维随机变量(su j bin lin)由于(yuy)从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们(w men)第1页/共94页第二页，共95页。二维随机变量(su j bin lin)由于从二维推广到多维一般(ybn)无实质性的困难，故我们(w men)重点讨论二维随机变量.定义设随机试验的样本空间为而是定义在上的两个随机变量，称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量.注：一般地，称个随机变量的整体为维随机变量或随机向量.完第2页/共94页第三页，共95页。二、二维随机变量(su j bi

2、n lin)的分布函数二维随机变量的性质不仅与及有关，而且(r qi)还依赖于这两个随机变量的相互关系,将作为一个整体进行研究.与一维情况(qngkung)类我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.定义设是二维随机变量，对任意实数二元函数故需似,记为称为二维随机变量的分布函数或称为随第3页/共94页第四页，共95页。二维随机变量(su j bin lin)的分布函数记为称为二维随机变量的分布函数或称为(chn wi)随第4页/共94页第五页，共95页。二维随机变量(su j bin lin)的分布函数记为称为二维随机变量的分布函数或称为(chn wi)随机变量和的联合分布函数.若将二维随机变

3、量视为平面(pngmin)上随机点的坐标，则分布函数就是随机点落入区域第5页/共94页第六页，共95页。二维随机变量的分布(fnb)函数就是随机点落入区域第6页/共94页第七页，共95页。二维随机变量(su j bin lin)的分布函数就是随机点落入区域的概率(gil)(如图1).由概率(gil)的加法法则，随机点落入矩形域的概率 第7页/共94页第八页，共95页。二维随机变量的分布(fnb)函数第8页/共94页第九页，共95页。二维随机变量的分布(fnb)函数若已知的分布函数则可由导出和各自的分布函数和第9页/共94页第十页，共95页。二维随机变量的分布(fnb)函数若已知的分布函数则可由

4、导出和各自的分布函数和第10页/共94页第十一页，共95页。二维随机变量(su j bin lin)的分布函数若已知的分布函数则可由导出和各自的分布函数和分别称和为关于和的边缘(binyun)分布函数.联合分布函数(hnsh)的性质完第11页/共94页第十二页，共95页。联合分布(fnb)函数的性质随机变量的联合分布函数联合(linh)分布函数的性质：且(1)注：以上四个等式可从几何(j h)上进行说明.（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定的对任意固定的第12页/共94页第十三页，共95页。联合(linh)分布函数的性质注：以上四个等式可从几何(j h)上进行说明.（2）关于和均为单调非

5、减函数，即第13页/共94页第十四页，共95页。联合分布函数(hnsh)的性质注：以上四个等式可从几何上进行(jnxng)说明.（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定的当对任意固定的当（3）关于和均为右连续，即完第14页/共94页第十五页，共95页。例1设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.解(1)由二维随机变量的分布函数(hnsh)的性质,可得由这三个等式(dngsh)中的第一个等式(dngsh)知第15页/共94页第十六页，共95页。例1设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.解(1)由这三个等式(dngsh)中的第一个等式(dngsh)知

6、第16页/共94页第十七页，共95页。例1设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.解由这三个等式(dngsh)中的第一个等式(dngsh)知故由第二(d r)、三个等式知于是(ysh)得(1)第17页/共94页第十八页，共95页。(2)由(1)式得故的分布函数为完第18页/共94页第十九页，共95页。三、二维离散(lsn)型随机变量及其概率分布若二维随机变量只取有限个或可数个值，称为二维离散型随机变量.为二维离散型随机变量均为离散(lsn)型随机变量.定义(dngy)若二维离散型随机变量所有可能的取值为则称则均为离为二维离散型随机变量的概率分布(分布律),或与的联合概率分

7、布(分布律).第19页/共94页第二十页，共95页。二维离散(lsn)型随机变量及其概率分布或与的联合概率分布(分布律).第20页/共94页第二十一页，共95页。二维离散(lsn)型随机变量及其概率分布或与的联合概率分布(分布律).易见，满足下列性质：与一维情形(qng xing)类似，有时也将联合(linh)概率分布用表格形式来表示，并称之为联合概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布:第21页/共94页第二十二页，共95页。二维离散(lsn)型随机变量及其概率分布分布(fnb):第22页/共94页第二十三页，共95页。二维离散(lsn)型随机变量及其概率分布分布(fnb):分别称

8、和为关于和的边缘概率分布.注：与分别等于联合概率分布表的行和与列和.完第23页/共94页第二十四页，共95页。联合(linh)概率分布表与一维情形(qng xing)类似，有时也将联合(linh)概率分布用表格形式来表示，并称为联合概率分布表：联合概率分布表第24页/共94页第二十五页，共95页。联合(linh)概率分布表对离散(lsn)型随机变量而言，联合(linh)概率分布不仅比联合(linh)分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率.设二维离散型随机变量的概率分布为则特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数:第25页/共94页第二十六页，共95页。联合(linh)

9、概率分布表特别(tbi)地，由联合(linh)概率分布可以确定联合(linh)分布函数:第26页/共94页第二十七页，共95页。联合(linh)概率分布表特别(tbi)地，由联合概率分布(fnb)可以确定联合分布(fnb)函数:由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布：分别称和为关于第27页/共94页第二十八页，共95页。联合(linh)概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布(fnb)：分别称和为关于第28页/共94页第二十九页，共95页。联合(linh)概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布(fnb)：分别称和为关于和的边缘概率分布.注：和分别等于联合概率分布表的行和

10、与列和.完第29页/共94页第三十页，共95页。例2设随机变量在1,2,3,4四个整数(zhngsh)中等可能地取一个(y)值,另一个随机变量在中等可能地取一整数(zhngsh)值,试求的分布律.解由乘法公式容易求得的分布律.易知的取值情况是:大于的正整数,且于是的分布律为取不第30页/共94页第三十一页，共95页。例2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等(zhngdng)可能地取一个(y)值,另一个随机变量在中等可能地取一整数(zhngsh)值,试求的分布律.解于是的分布律为第31页/共94页第三十二页，共95页。例2设随机变量在1,2,3,4四个整数(zhngsh)中等可能地取一个(y)

11、值,另一个随机变量在中等可能地取一整数(zhngsh)值,试求的分布律.解于是的分布律为123412341/41/81/121/161/81/121/121/161/161/16000000.完第32页/共94页第三十三页，共95页。例3把一枚均匀硬币抛掷(pozh)三次,设为三次抛掷中正面出现(chxin)的次数,而为正面出现次数与反面出现(chxin)次数之差的绝对值,求的概率分布及关于的边缘分布.解可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故的概率分布如右表.13001/813/8023/80301/8第33页/共94页第三十四页，共95页。例3把一枚均匀硬币抛掷(pozh)三

12、次,设为三次抛掷中正面(zhngmin)出现的次数,而为正面出现次数与反面出现(chxin)次数之差的绝对值,求的概率分布及关于的边缘分布.解第34页/共94页第三十五页，共95页。例3把一枚均匀(jnyn)硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面(zhngmin)出现的次数,而为正面出现次数与反面出现(chxin)次数之差的绝对值,求的概率分布及关于的边缘分布.解从概率分布表不难求得关于的边缘分布.第35页/共94页第三十六页，共95页。从而(cng r)得右表13012303/83/806/81/8001/82/81/83/83/81/81完第36页/共94页第三十七页，共95页。例4设二维随机变

13、量(su j bin lin)的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解第37页/共94页第三十八页，共95页。例4设二维随机变量(su j bin lin)的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解第38页/共94页第三十九页，共95页。例4设二维随机变量(su j bin lin)的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解完第39页/共94页第四十页，共95页。例5设的概率分布由下表给出,求-1020120.10.30.150.20.05000.10.1

14、解第40页/共94页第四十一页，共95页。完第41页/共94页第四十二页，共95页。例6一整数等可能地在十个值中取一个(y)值.设是能整除的正整数的个数,是能整除的素数的个数(注意1不是素试写出和的联合分布律,并求分布(fnb)律.解将试验的样本空间及取值的情况列表如下:数),所有可能取值为1,2,3,4;所有可能取值为0,1,2.容易得到取的概率,可得和的联合分布律及边缘分布律如下表:第42页/共94页第四十三页，共95页。例6一整数等可能地在十个值中取一个(y)值.设是能整除的正整数的个数,是能整除的素数的个数(注意1不是素试写出和的联合分布律,并求分布(fnb)律.解数),可得和的联合分

15、布律及边缘分布律如下表:第43页/共94页第四十四页，共95页。例6一整数等可能地在十个值中取一个(y)值.设是能整除的正整数的个数,是能整除的素数的个数(注意1不是素试写出和的联合分布律,并求分布(fnb)律.解数),可得和的联合分布律及边缘分布律如下表:第44页/共94页第四十五页，共95页。即有边缘(binyun)分布律完第45页/共94页第四十六页，共95页。四、二维连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度定义(dngy)设为二维随机变量，为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数任意实数有则称为二维连续型随机变量，并称为的概率密度(密度函数)，密度(md)(联合密度(m

16、d)函数).使得对或与的联合概率概率密度函数的性质：(1)第46页/共94页第四十七页，共95页。连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度概率密度函数的性质：(1)第47页/共94页第四十八页，共95页。连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度概率密度函数的性质：(1)(3)设是平面上的区域，点落入 内的概率(gil)为特别(tbi)地，边缘分布函数(2)第48页/共94页第四十九页，共95页。连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度特别(tbi)地，边缘(binyun)分布函数第49页/共94页第五十页，共95页。连续型随机变量(su j bin l

17、in)及其概率密度特别(tbi)地，边缘(binyun)分布函数上式表明，是连续型随机变量，且其密度函数为:同理，是连续型随机变量，且其密度函数为：分别称和为关于和 的边缘密第50页/共94页第五十一页，共95页。连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度分别称和为关于和 的边缘密第51页/共94页第五十二页，共95页。连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度分别称和为关于和 的边缘密度函数(hnsh).(4)若在点连续，则有进一步，根据(gnj)偏导数的定义，可推得：当很有小时，即，落在小区间上的概率近似等于完第52页/共94页第五十三页，共95页。例7设二维随机变

18、量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解(1)即有第53页/共94页第五十四页，共95页。例7设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解(2)将看作是平面上随机点的坐标,即有其中为平面上直线及其下方的部分,如图.于是(ysh)第54页/共94页第五十五页，共95页。例7设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(ysh)(2)第55页/共94页第五十六页，共95页。例7设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(ysh)(2)第56页/共94页第五十七页，共95页。例7设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(ysh)(

19、2)完第57页/共94页第五十八页，共95页。例8设的概率密度是其它求(1)的值;(2)两个边缘(binyun)密度.解(1)由确定第58页/共94页第五十九页，共95页。例8设的概率密度是其它(qt)求(1)的值;(2)两个边缘(binyun)密度.解(2)第59页/共94页第六十页，共95页。例8设的概率密度是其它(qt)求(1)的值;(2)两个边缘(binyun)密度.解(2)第60页/共94页第六十一页，共95页。例8设的概率密度是其它(qt)求(1)的值;(2)两个(lin)边缘密度.解(2)即第61页/共94页第六十二页，共95页。例8设的概率密度是其它(qt)求(1)的值;(2)

20、两个(lin)边缘密度.解(2)即完第62页/共94页第六十三页，共95页。例9设随机变量和具有联合概率密度求边缘概率密度解第63页/共94页第六十四页，共95页。例9设随机变量和具有联合概率密度求边缘概率密度解第64页/共94页第六十五页，共95页。例9设随机变量和具有联合概率密度求边缘概率密度解完第65页/共94页第六十六页，共95页。二维均匀分布设是平面上的有界区域，其面积为若二维随机(su j)变量具有概率密度函数其它(qt)则称在上服从均匀分布.注：若在上服从均匀分布,则其概率密度函几何上为定义在面内区域上的空间的一块平面.应用(yngyng)举例：第66页/共94页第六十七页，共9

21、5页。二维均匀分布应用(yngyng)举例：第67页/共94页第六十八页，共95页。二维均匀分布应用(yngyng)举例：的概率与小区域的则质点的坐标在 上服从均匀而与的位置(wi zhi)无关，向平面上有界区域内任一小区域落在上任(shng rn)投一质点，若质点面积成正比,分布.注：关于服从矩形域上的均匀分布的一个结论.完第68页/共94页第六十九页，共95页。矩形(jxng)域上的均匀分布容易得到服从矩形区域上的均匀分布的两个边缘分布且分别(fnbi)为其它(qt)其它仍为均匀分布，但对其它形状的区域不一定有上述结论.完第69页/共94页第七十页，共95页。例10设服从单位圆域上的均匀分

22、布(fnb),求和的边缘概率密度.解当或时,从而当时,于是我们得到的边缘概率密度第70页/共94页第七十一页，共95页。例10设服从单位圆域上的均匀分布(fnb),求和的边缘概率密度.解于是我们得到的边缘概率密度第71页/共94页第七十二页，共95页。例10设服从单位圆域上的均匀分布(fnb),求和的边缘概率密度.解于是我们得到的边缘概率密度由和在问题中地位的对称性,将上式中的改就得到的边缘概率密度成完第72页/共94页第七十三页，共95页。二维正态分布若二维随机变量具有概率 密度其中均为常数，则称服从参数为且的二维正态分布.记为注：(1)如右图.服从(fcng)二维正态分布的概率密度函数的典

23、型第73页/共94页第七十四页，共95页。二维正态分布注：(1)如右图.服从(fcng)二维正态分布的概率密度函数的典型第74页/共94页第七十五页，共95页。二维正态分布注：(1)如右图.服从(fcng)二维正态分布的概率密度函数的典型(2)二维正态分布的两个(lin)边缘即密度(md)仍是正态分布，完第75页/共94页第七十六页，共95页。推导(tudo)二维正态分布的两个边缘(binyun)密度仍是正态分布事实上，因为而且(r qi)于是令则有第76页/共94页第七十七页，共95页。令则有第77页/共94页第七十八页，共95页。令则有同理注：上述(shngsh)结果表明，二维正态随机变量

24、(su j bin lin)的两个边原缘分布(fnb)都是一维正态分布(fnb)，且都不依赖于参数亦即第78页/共94页第七十九页，共95页。注：上述(shngsh)结果表明，二维正态随机变量(su j bin lin)的两个边原缘分布(fnb)都是一维正态分布(fnb)，且都不依赖于参数亦即第79页/共94页第八十页，共95页。注：上述(shngsh)结果表明，二维正态随机变量(su j bin lin)的两个边原缘分布(fnb)都是一维正态分布(fnb)，且都不依赖于参数亦即对给定的不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的,和关于的边缘分布,一般来说是不能确定二维随因此仅由

25、关于机变量的联合分布的.完第80页/共94页第八十一页，共95页。例11设二维随机变量的概率密度试求关于的边缘概率密度函数.解利用函数及奇偶函数的积分性质得注:此例说明(shumng),边缘(binyun)分布均为正态分布的二维随机变量(binling),其联合分布不一定是二维正态分布.完第81页/共94页第八十二页，共95页。课堂练习1.将两封信随意地投入(tur)3个邮筒,设分别表示投入第1,2号邮筒(yutng)中信的数目,求和的联合概率分布(fnb)及边缘概率分布(fnb).2.设向量的密度函数为其它,求(1)参数的值;(2)的边缘密度.完第82页/共94页第八十三页，共95页。练习(

26、linx)解答1.将两封信随意地投入(tur)3个邮筒,设分别表示投入(tur)第1,2号邮筒中信的数目,求和的联合概率分布及边缘概率分布.解各自的可能取值显然均为由题设知,取均不可能,因而相应的概率均为0,我们将其标在联合概率分布表中相应位置.取其它值的概率可由古典概型计算,由于对称性,我们实际上只需计算下列概率:第83页/共94页第八十四页，共95页。练习(linx)解答解第84页/共94页第八十五页，共95页。练习(linx)解答解边缘概率分布可直接(zhji)在联合概率分布表中计算,其中的概率分布由行和产生,的概率分布由列和产生(chnshng)(见下表).第85页/共94页第八十六页

27、，共95页。练习(linx)解答解边缘概率分布可直接(zhji)在联合概率分布表中计算,其中的概率分布由行和产生,的概率分布由列和产生(chnshng)(见下表).第86页/共94页第八十七页，共95页。练习(linx)解答解边缘概率分布可直接(zhji)在联合概率分布表中计算,其中的概率分布由行和产生,的概率分布由列和产生(chnshng)(见下表).0 1 20121/92/91/94/92/94/92/9 01/91/9 0 04/94/91/9完第87页/共94页第八十八页，共95页。课堂练习2.设向量的密度函数为其它,求(1)参数的值;(2)的边缘密度.解(1)由密度函数(hnsh)

28、的性质,有由此易得从而(cng r)其它;(2)记的边缘密度函数分别为第88页/共94页第八十九页，共95页。课堂练习解(2)记的边缘密度函数分别为第89页/共94页第九十页，共95页。课堂练习解(2)记的边缘密度函数分别为则当时,当时,或即其它,根据(gnj)对称性,有其它.完第90页/共94页第九十一页，共95页。内容(nirng)小结1.与一维情形(qng xing)相对应,本书引入了多维随机(su j)变量的概念二维随机变量及其分布函数随机向量联合分布函数的性质离散型随机向量及其概率分布离散型随机向量的联合分布函数连续型随机向量的概率密度连续型随机向量的概率密度的性质2.注意联合分布和边缘分布的关系:第91页/共94页第九十二页，共95页。内容(nirng)小结2.注意联合分布(fnb)和边缘分布(fnb)的关系:第92页/共94页第九十三页，共95页。内容(nirng)小结2.注意联合分布和边缘(binyun)分布的关系:由联合(linh)分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.完第93页/共94页第九十四页，共95页。感谢您的观看(gunkn)。第94页/共94页第九十五页，共95页。