椭圆型方程学习教案.pptx

《椭圆型方程学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆型方程学习教案.pptx（62页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、会计学1椭圆型方程椭圆型方程(fngchng)第一页，共62页。1 1 1 1 差分差分差分差分(ch fn)(ch fn)(ch fn)(ch fn)逼近的逼近的逼近的逼近的基本概念基本概念基本概念基本概念考虑考虑(kol)(kol)二阶微分方程边值问二阶微分方程边值问题题将其分成将其分成(fn chn)(fn chn)等分，分点为等分，分点为将方程将方程 (1.1)在节点在节点其中其中 q，f 为为 a,b 上的连续函数，上的连续函数，为给定常数为给定常数.处离散化处离散化.第2页/共62页第二页，共62页。由由 Taylor Taylor 展开展开(zhn(zhn ki)ki)得得其中其

2、中(qz(qzhnghng)于是于是(ysh(ysh)在在其中其中 舍去舍去将方程将方程 (1.1)写成写成点取值点取值.表示方括号内的函数在表示方括号内的函数在得逼近方程得逼近方程 (1.1)的差分方程为：的差分方程为：第3页/共62页第三页，共62页。称称形成形成(xngchng(xngchng)关于关于注注 此方程组尽管此方程组尽管(jn gun)(jn gun)是高阶方程组，但每个方程未知是高阶方程组，但每个方程未知数数 对方程组对方程组(1.4)(1.4)(1.5)(1.5)的解分析需要考虑的解分析需要考虑(kol)(kol)以下几个问题：以下几个问题：最多有最多有3 3个易于求解个

3、易于求解.为差分方程为差分方程 (1.3)的截断误差的截断误差.的线性代数方程组的线性代数方程组第4页/共62页第四页，共62页。(a)解是否解是否(sh fu)惟一？惟一？以以定义定义(dngy(dngy)在在对对(b)当网格当网格(wn)无限加密无限加密时，即时，即时，差分解时，差分解是否收敛到真解是否收敛到真解(c)在何种度量下收敛？在何种度量下收敛？(d)收敛速度如何？收敛速度如何？为了解决如上问题，需要给出如下说明：为了解决如上问题，需要给出如下说明：内点和界点内点和界点表示网格内点表示网格内点的集合的集合，表示网格表示网格集合集合.上的网函数上的网函数.或或上的函数上的函数称为称为

4、上的网函数引进如下范数：上的网函数引进如下范数：第5页/共62页第五页，共62页。其中其中(qzhn(qzhng)g)第6页/共62页第六页，共62页。定义定义(dngy)1.1 (dngy)1.1 设设 U U 是某一充分光滑的是某一充分光滑的函数类，函数类，称差分称差分(ch(ch fn)fn)算子算子断误差断误差(wch)(wch)定义的网格定义的网格函数函数.为相为相容条件容条件.是由截是由截恒有恒有若对任何若对任何逼近微分算子逼近微分算子 L ，并称，并称 (1.6)注注 当用当用阶也就不同阶也就不同.逼近逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的时，选择网函数的范数不同，逼近的 第

5、7页/共62页第七页，共62页。定义定义(dngy)1.2 (dngy)1.2 当当 h h 充分小时，若充分小时，若(1.4)(1.4)(1.5)(1.5)的解的解称称如果存在如果存在(cnzi)(cnzi)与与网格网格且按某一范数且按某一范数定义定义(dngy)1.3 (dngy)1.3 对于差分对于差分方程方程数数 M 和和存在，存在，有有 收敛到边值问题的解收敛到边值问题的解 u.无关无关的的常数常数及右端及右端使使 称差分方程关于右端稳定称差分方程关于右端稳定.第8页/共62页第八页，共62页。相同相同(xin(xin tn)tn)的收敛阶的收敛阶.定理定理1.1 1.1 若边值问题

6、的解若边值问题的解 u u 充分光滑充分光滑(gung hu)(gung hu)，差分方程，差分方程按按满足相容条件，且关于满足相容条件，且关于(guny)(guny)右端稳定，则差分右端稳定，则差分解解收敛到边值问题的解收敛到边值问题的解 u ，且有，且有与与按按第9页/共62页第九页，共62页。2 2 2 2 两点边值问题的差分两点边值问题的差分两点边值问题的差分两点边值问题的差分(ch fn)(ch fn)(ch fn)(ch fn)格格格格式式式式考虑考虑(kol)(kol)两点边值问两点边值问题题其中其中(qzh(qzhng)ng)是给定的常数是给定的常数.第10页/共62页第十页，

7、共62页。于是，得到于是，得到 I I 的一个的一个(y)(y)网格剖分网格剖分.IhIh表示网格内点表示网格内点,(,(不包含不包含x0,xN)x0,xN)2.1 直接直接(zhji)差分法差分法(1)取取 N+1 个节点将个节点将 I=a,b 分成分成(fn chn)N 个小区间个小区间:第11页/共62页第十一页，共62页。(2)对对 I=a,b 进行进行(jnxng)对偶剖分对偶剖分取取称为称为(chn wi)(chn wi)半整数点，半整数点，则则的中点的中点(zhn(zhn din)din)构成构成 I 的一个对偶剖分的一个对偶剖分.第12页/共62页第十二页，共62页。(3)将方

8、程将方程(fngchng)(2.1)在内点在内点(2.3)(2.4)处离散处离散(lsn)(lsn)化化.第13页/共62页第十三页，共62页。(2.5)将将 (2.5)减减 (2.4)再除以再除以得得第14页/共62页第十四页，共62页。于是于是(ysh)(ysh)得逼近方程得逼近方程(2.1)(2.2)(2.1)(2.2)的差分方的差分方程：程：第15页/共62页第十五页，共62页。误差误差(wch)为为2.2 积分积分(jfn)插值法插值法在在 a,b a,b 内任一小内任一小(y(y xio)xio)区间区间考虑守恒型微分方程考虑守恒型微分方程上积分得：上积分得：第16页/共62页第十

9、六页，共62页。其中其中(qzhng)令令取取则则或或第17页/共62页第十七页，共62页。于是于是(ysh)又又沿沿积分积分(jfn)，得得第18页/共62页第十八页，共62页。得守恒得守恒(shu hn)型型差分方程：差分方程：其中其中(qzhng)(2.6)第19页/共62页第十九页，共62页。2.3 边值条件边值条件(tiojin)的处理的处理考虑第二考虑第二(d r)、第三边值条件、第三边值条件(2.7)(2.8)由于由于(yuy)不妨设不妨设(2.9)(2.10)取取得得第20页/共62页第二十页，共62页。而而故故第21页/共62页第二十一页，共62页。于是逼近边值条件于是逼近边

10、值条件(2.9)(2.10)(2.9)(2.10)的差分的差分(ch fn)(ch fn)方方程为：程为：(2.11)可以证明：当网格可以证明：当网格(wn)(wn)均匀且系数光滑时，差分方均匀且系数光滑时，差分方程程(2.6)(2.6)逼近逼近(bjn)(bjn)微微分方程分方程的阶为的阶为边界差分方程边界差分方程(2.11)逼近逼近 (2.9)(2.11)的阶为的阶为作业作业第22页/共62页第二十二页，共62页。3 3 3 3 二维椭圆边值问题的差分二维椭圆边值问题的差分二维椭圆边值问题的差分二维椭圆边值问题的差分(ch fn)(ch fn)(ch fn)(ch fn)格格格格式式式式(

11、3.1)G 的边界的边界 T 为分段光滑为分段光滑(gung hu)曲线曲线.(第一第一(dy)(dy)边值条件边值条件)(3.2)(3.2)(第二边值条件第二边值条件)(3.3)(第三边值条件第三边值条件)(3.4)考虑考虑 Poisson 方程方程在在 T 上上 u 满足下列边值条件之一：满足下列边值条件之一：第23页/共62页第二十三页，共62页。3.1 五点差分五点差分(ch fn)格式（差分格式（差分(ch fn)法）法）作两族与坐标轴平行作两族与坐标轴平行(pngxng)的直线的直线:两族直线两族直线(zhxin)(zhxin)的交点的交点取定沿取定沿 x 轴和轴和 y 轴方向的步

12、长轴方向的步长令令为网点或节点，记为为网点或节点，记为第24页/共62页第二十四页，共62页。yxo第25页/共62页第二十五页，共62页。若若或或与与T T 交点交点(jiodin)(jiodin)(也称界点也称界点)的集合；的集合；内点；否则称为内点；否则称为(chn wi)(chn wi)非正非正则内点则内点则称则称是相邻是相邻(xin ln)节点节点.令令表示所有属于表示所有属于G 内部的节点内部的节点(也称也称内点内点)的集合；的集合；表示网线表示网线或或用用代替区域代替区域若内点若内点的四个相邻点都属于的四个相邻点都属于称其为称其为正则正则第26页/共62页第二十六页，共62页。y

13、xo相邻相邻(xin ln)节点节点内点内点*、o 界点界点 正则内点正则内点 o 非正则内点非正则内点*第27页/共62页第二十七页，共62页。(3.5)利用利用(lyng)Taylor(lyng)Taylor展式可展式可知知差分差分(ch fn)(ch fn)方程方程(3.5)(3.5)称为五点差分称为五点差分(ch fn)(ch fn)格式格式设设 为正则内点，沿为正则内点，沿 x,y x,y 方向分别用二阶中心方向分别用二阶中心(zhngxn)(zhngxn)差商代替差商代替 则有则有第28页/共62页第二十八页，共62页。因为上述因为上述(shngsh)差分方程中只出现网格函数差分方

14、程中只出现网格函数u在在(i,j)点及其上、下、左、右四个邻点上的值，故称之为五点差分格式。点及其上、下、左、右四个邻点上的值，故称之为五点差分格式。第29页/共62页第二十九页，共62页。若取正方形网格若取正方形网格(wn)，即，即则差分则差分(ch fn)(ch fn)方方程程(3.5)(3.5)简化简化(jinhu)为为若若(3.6)(Laplace方程方程),则则第30页/共62页第三十页，共62页。一般(ybn)二阶线性微分方程第31页/共62页第三十一页，共62页。3.23.2边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理(chl)(chl)第一类边界条件第一类边界条件第

15、一类边界条件第一类边界条件 ，只需将 直接带入在内点列出的差分方程。矩形矩形矩形矩形(jxng)(jxng)域上边界条件的处理域上边界条件的处理域上边界条件的处理域上边界条件的处理第32页/共62页第三十二页，共62页。1.用内点与边界点单侧逼近(bjn)法向导数第二、第二、第二、第二、三类三类三类三类边界条件边界条件边界条件边界条件则需在这些边界点上单独列出差分方程。2.矩形(jxng)外围一个步长处各增设一排虚拟网点第33页/共62页第三十三页，共62页。非矩形非矩形非矩形非矩形(jxng)(jxng)(jxng)(jxng)域上边界条件的处理域上边界条件的处理域上边界条件的处理域上边界条

16、件的处理边界网格点不一定在网线的交点上，非正则内点与其相边界网格点不一定在网线的交点上，非正则内点与其相邻边界网点的距离不一定等于邻边界网点的距离不一定等于h h边界的法线方向不一定是水平方向或者边界的法线方向不一定是水平方向或者(huzh)(huzh)垂直方垂直方向，变化很大，建立第二类或者向，变化很大，建立第二类或者(huzh)(huzh)第三类边界条第三类边界条件时很难逼近件时很难逼近第34页/共62页第三十四页，共62页。（2）线性插值法线性插值法136452h1以第一边值条件以第一边值条件 为例为例（1）直接）直接(zhji)转移法转移法对对（xi,yk），用边界上距离这点用边界上距

17、离这点最近的点的值作为最近的点的值作为该点的值。该点的值。：非正则内点集合：非正则内点集合 h：边界点集合：边界点集合(jh)第35页/共62页第三十五页，共62页。（3）列不等距差分）列不等距差分(ch fn)方程方程f1为为f在在1点的值点的值。136452h1其截断误差阶为其截断误差阶为O(h)其截断误差阶为其截断误差阶为O(1)如上处理如上处理(chl)边值条件边值条件缺点是破坏了对称正定性，缺点是破坏了对称正定性，而这一性质是五点差分格而这一性质是五点差分格式所固有的为了保持对式所固有的为了保持对称正定性，可用下式代替称正定性，可用下式代替第36页/共62页第三十六页，共62页。3.

18、3五点差分格式五点差分格式(g shi)（积分插值法）（积分插值法）ABCD第39页/共62页第三十九页，共62页。ABCD第40页/共62页第四十页，共62页。第41页/共62页第四十一页，共62页。仅讨论一种特殊情况，假设仅讨论一种特殊情况，假设 中的节点是两族网线中的节点是两族网线的交的交点点p0(i,j)是边界网点，是边界网点，p1(i+1,j)、p2(i,j-1)是与之相邻的是与之相邻的内点，内点，在在ABC上对上对(3.8)积分，利用积分，利用Green公式得公式得边界边界 讨论讨论(toln)第二、三边值条件第二、三边值条件 (3.8)而而TBAC第42页/共62页第四十二页，共

19、62页。于是于是(3.9)(3.9)就是就是(jish)(jish)逼近逼近(3.8)(3.8)的差分的差分方程方程.(3.9)于是于是(ysh)(ysh)有有第43页/共62页第四十三页，共62页。考虑考虑(kol)Poisson(kol)Poisson 方程方程作业作业(zuy)(zuy)边界点用增设虚拟边界点用增设虚拟(xn)(xn)网点来近似法向导数，试构网点来近似法向导数，试构造造5 5点差分格式点差分格式第44页/共62页第四十四页，共62页。实例实例(shl)(shl)边界点用增设虚拟网点来近似法向导数，试构造边界点用增设虚拟网点来近似法向导数，试构造5 5点差分格式点差分格式(

20、g shi)(g shi)，并用对称矩阵与向量表示。，并用对称矩阵与向量表示。第45页/共62页第四十五页，共62页。实例实例(shl)(shl)试构造试构造5 5点差分格式，并用对称矩阵点差分格式，并用对称矩阵(j zhn)(j zhn)与向量表示。与向量表示。第46页/共62页第四十六页，共62页。3.4 三角网差分三角网差分(ch fn)格式格式(3.1)G 的边界的边界 T 为分段为分段(fn dun)光滑曲光滑曲线线.(第一第一(dy)(dy)边值条件边值条件)(3.2)(3.2)(第二边值条件第二边值条件)(3.3)(第三边值条件第三边值条件)(3.4)仍然考虑仍然考虑 Poiss

21、on 方程方程在在 T 上上 u 满足下列边值条件之一：满足下列边值条件之一：第47页/共62页第四十七页，共62页。三角剖分：三角剖分：1 1）在边界上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线）在边界上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线2 2）将闭折线所围区域分割成有限个三角形之和，满足：）将闭折线所围区域分割成有限个三角形之和，满足：任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或者仅仅与其他者仅仅与其他(qt)(qt)三角形的顶点相交；三角形的顶点相交；三角形的每个内角不大于。三角形的每个内角不大于。第48页/共62页第四十八页，共62页。引入如下术

22、语：节点三角形的顶点；单元每个三角形；相邻节点同一条边上(bin shn)的两个节点互为相邻节点；相邻单元有一公共边的两个三角形互为相邻单元；对偶单元对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。对偶剖分全体对偶单元构成区域G的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。第49页/共62页第四十九页，共62页。第50页/共62页第五十页，共62页。第51页/共62页第五十一页，共62页。4 4 极值极值(j zh)(j zh)定理定理 敛速敛速估计估计Poisson 方程方程(fngchng)一般一般(ybn)(y

23、bn)二阶线性椭圆型微分方程二阶线性椭圆型微分方程第52页/共62页第五十二页，共62页。记U=(u1,1,u2,1,.uN-1,1,u1,2,u2,2,.uN-1,2,.u1,N-1,u2,N-1,.uN-1,N-1)上述方程组可以表示为 AU=F，A具有下列性质1）每行最多5个数非零，稀疏矩阵2）对角(du jio)元是正的，非对角(du jio)元是非正的，且满足记第53页/共62页第五十三页，共62页。定理定理4.1 设设（负的极小），除非（负的极小），除非是是上任一网函数，若上任一网函数，若对任意对任意则则不可能在内点取正的极大不可能在内点取正的极大证明证明 用反证法，用反证法，设设

24、中某点达到正中某点达到正的极大值的极大值 M.由于由于联通，必有某一内点联通，必有某一内点使使且至少有一个相邻网点，比如且至少有一个相邻网点，比如使使于是有于是有矛盾矛盾注本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大注本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大(j(j d)d)（负的极小），则一定在边界上取得（负的极小），则一定在边界上取得第54页/共62页第五十四页，共62页。推论推论4.1 4.1 差分差分(ch fn)(ch fn)方程有唯一方程有唯一解解证明：差分方程组可以表示为证明：差分方程组可以表示为 AU=F，要证明差分方程有，要证明差分方程有唯一唯一(wi y)解，只需证明解，只

25、需证明AU=F有唯一有唯一(wi y)解，即证明解，即证明相应的齐次方程只有平凡解（唯一相应的齐次方程只有平凡解（唯一(wi y)零解），与齐次零解），与齐次方程对应的差分方程满足：边值和右端都恒为零（齐次问方程对应的差分方程满足：边值和右端都恒为零（齐次问题）。题）。uij不可能在内点取正的极大或者(huzh)负的极小，也就是说，正的极大或者(huzh)负的极小只能在边界处取得，但边界处uij=0，所以uij0第55页/共62页第五十五页，共62页。推论推论4.2 若网函数若网函数满足满足则则证明：所以uij不可能在内点取负的极小，也就是说，负的极小只能在边界处取得，所以uij0第56页/共

26、62页第五十六页，共62页。证明由条件证明由条件(tiojin)可知可知定理定理4.2 设设是两个网函数，满足是两个网函数，满足则则由推论由推论4.2 4.2 知，结论知，结论(jiln)(jiln)成成立立返回(fnhu)第57页/共62页第五十七页，共62页。由定理由定理4.2知知：推论推论4.3 的解的解 满足满足 证明设证明设 是如下问题的解是如下问题的解 若若则则若若由定理由定理4.1知，知，的最大值只能在的最大值只能在达到，因此达到，因此从而结论成立从而结论成立第58页/共62页第五十八页，共62页。4.2 五点格式五点格式(g shi)的敛的敛速估计速估计设设u(x,y)是是Po

27、isson方程方程(fngchng)第一边值问题的解，第一边值问题的解，uij是五点差分格式的解，即是五点差分格式的解，即令令则则第59页/共62页第五十九页，共62页。截断误差截断误差令令则设则设设设(0,0)G，R 是以是以(0,0)为心包含为心包含(bohn)在内部的最小圆在内部的最小圆域的半径域的半径.令令无论无论(wln)(xi,yj)是正则内点还是非正则内点，是正则内点还是非正则内点，LhEij=Kh第60页/共62页第六十页，共62页。于是于是(ysh)由定理由定理4.2知知：作业作业(zuy)(zuy)：P 105 P 105 1 1，2 2从而从而若若 则则uij一致收敛到一致收敛到 u，且有如上敛速估计，且有如上敛速估计第61页/共62页第六十一页，共62页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第62页/共62页第六十二页，共62页。