概率论与数理统计浙大学习教案.pptx

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1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)浙大浙大第一页，共81页。第1页/共80页第二页，共81页。1 1 参数参数(cnsh)(cnsh)的点估计的点估计第2页/共80页第三页，共81页。主要内容主要内容:一一.矩估计法矩估计法二二.极大似然估计极大似然估计三三.估计量的评选估计量的评选(pngxun)标准标准一一.矩估计矩估计(gj)法法矩思想矩思想:利用样本矩作为利用样本矩作为(zuwi)相应总体矩的估计相应总体矩的估计量量估计估计矩估计法矩估计法:第3页/共80页第四页，共81页。第4页/共80页第五页，共81页。第5页/共80页第六页，共81页。第6页/共80页

2、第七页，共81页。二、二、极大极大(j d)似然估计法似然估计法 极极 大大 似似 然然 估估 计计 法法 是是 在在 总总 体体 的的 分分 布布 类类 型型(lixng)已已知知的的条条件件下下所所使使用用的的一一种种参参数数估估计计方法方法.它首先它首先(shuxin)是由德国数学家是由德国数学家高斯在高斯在1821年提出的年提出的.GaussFisher然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇.费歇费歇在在1922年重新发现了这一方法，年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质并首先研究了这种方法的一些性质.第7页/共80页第八页，共81页

3、。极大似然原理：极大似然原理：一个随机试验有若干个可能结一个随机试验有若干个可能结果果A,B,C,。若在一次试验中，结果。若在一次试验中，结果A发生，发生，则一般认为试验条件对则一般认为试验条件对A最有利最有利，即，即A发生的发生的概率概率 最大最大条件条件(tiojin)自然自然(zrn)，认为从甲箱取更，认为从甲箱取更合理合理第8页/共80页第九页，共81页。极大极大(j d)似然估计似然估计法：法：又如，兔龟赛跑又如，兔龟赛跑(sipo)，得第一名的最有可能，得第一名的最有可能是谁？是谁？（1）X-离散型，离散型，已知已知 X的分布的分布样本样本 取到观测值取到观测值事件事件A独立独立第

4、9页/共80页第十页，共81页。Xi与与X 同分布同分布对给定对给定的样本值的样本值是参数是参数 的函数，称为的函数，称为似然函数似然函数，记做，记做第10页/共80页第十一页，共81页。改改结构：结构：n 项连乘，总体分布项连乘，总体分布A已经发生，由极大已经发生，由极大似然原理，似然原理，达到最大，所以达到最大，所以 的最合理的最合理估计值估计值 应满足：应满足：定义定义 对给定的样本值对给定的样本值 ，若，若第11页/共80页第十二页，共81页。如何求如何求？即求？即求 的最大值点问题的最大值点问题方法一方法一:若若 为可导函数为可导函数第12页/共80页第十三页，共81页。回忆：回忆：

5、(1)单调性相同，从而单调性相同，从而最大值最大值点相同点相同.n项连乘项连乘,求导麻烦求导麻烦n项项相加，求导简单相加，求导简单方法二：方法二：从而，从而，对数似然函数对数似然函数第13页/共80页第十四页，共81页。（2）连续型总体）连续型总体(zngt)似然函数的求法似然函数的求法设设X为连续型总体为连续型总体(zngt)，其概率密，其概率密度为：度为：对来自总体的样本对来自总体的样本 ，其观测值其观测值为为 ，作为与总体，作为与总体X同分布且相互独同分布且相互独立的立的n维随机变量，样本维随机变量，样本的的联合概率密度为联合概率密度为:其中其中 未知未知第14页/共80页第十五页，共8

6、1页。于是，样本于是，样本 落入点落入点邻域内的概率为邻域内的概率为 ，由极大似然原，由极大似然原理，最合理的理，最合理的 的估计值的估计值 应该是使应该是使达到最大，由于达到最大，由于 是不依赖于是不依赖于的增量，所以我们只需求使的增量，所以我们只需求使似然函数似然函数达到最大达到最大第15页/共80页第十六页，共81页。求求 的步骤的步骤(bzhu)：第16页/共80页第十七页，共81页。例例1:设总体设总体(zngt)X的分布律为：的分布律为：0p1,p未知未知,求参数求参数(cnsh)p 的极大似然估计量的极大似然估计量.X X0 01 1p pk k1-p1-pp p解解:总体总体(

7、zngt)X的分布律为：的分布律为：设设(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X的样本。的样本。第17页/共80页第十八页，共81页。似然函数似然函数(hnsh)为：为：第18页/共80页第十九页，共81页。解得解得p的极大的极大(j d)似然估计量似然估计量为：为：说明说明(shumng)：p的极大似然估计的极大似然估计值为：值为：第19页/共80页第二十页，共81页。解：解：的似然函数的似然函数(hnsh)为：为：取对数取对数(du sh)例例2:设设(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X的一个的一个(y)样样本本,求求的极大似然估计量的极大似然估计量第20页/共80页第二十一页，共

8、81页。求导并令其为求导并令其为0从中解得从中解得 即为即为的极大似然估计量。的极大似然估计量。第21页/共80页第二十二页，共81页。推广：推广：第22页/共80页第二十三页，共81页。例例3:的极大似然估计量的极大似然估计量给定一组样本给定一组样本 ,求求 解解第23页/共80页第二十四页，共81页。第24页/共80页第二十五页，共81页。26 第25页/共80页第二十六页，共81页。27 第26页/共80页第二十七页，共81页。三、三、衡量衡量(hng ling)估计量好坏的标估计量好坏的标准准的点估计量的点估计量 一般是不唯一的一般是不唯一的,如何选择好如何选择好的的?首先我们要对估计

9、量提出衡量其好坏首先我们要对估计量提出衡量其好坏的标准的标准.标准标准(biozhn):无偏性无偏性,有效性有效性,一致性一致性1、无偏性、无偏性第27页/共80页第二十八页，共81页。即即 取值在真值取值在真值 附近来回摆动附近来回摆动证明证明(zhngmng):(1)6第28页/共80页第二十九页，共81页。第29页/共80页第三十页，共81页。第30页/共80页第三十一页，共81页。32 第31页/共80页第三十二页，共81页。是是的两个的两个(lin)无偏估计量，若无偏估计量，若2、有效性、有效性第32页/共80页第三十三页，共81页。34 第33页/共80页第三十四页，共81页。相合

10、相合(xin h)(xin h)性性(一致性一致性)第34页/共80页第三十五页，共81页。第35页/共80页第三十六页，共81页。第36页/共80页第三十七页，共81页。第37页/共80页第三十八页，共81页。第38页/共80页第三十九页，共81页。第39页/共80页第四十页，共81页。第40页/共80页第四十一页，共81页。第41页/共80页第四十二页，共81页。43第42页/共80页第四十三页，共81页。2010年数学年数学(shxu)1第43页/共80页第四十四页，共81页。45作业题作业题nP120：5，11第44页/共80页第四十五页，共81页。463 区间区间(q jin)估计估

11、计点估计点估计:的真值的真值的真值的真值缺点：无法确定缺点：无法确定(qudng)误差。误差。区间区间(q jin)估计：估计：估计估计的真值所在的区间。的真值所在的区间。（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）最大误差：最大误差：第45页/共80页第四十六页，共81页。47成立，那么成立，那么(n me)称随机区间称随机区间 为参数为参数 的置信度为的置信度为 1 的（双侧）置的（双侧）置信区间。信区间。设设为总体为总体(zngt)分布的一个未知参数，分布的一个未知参数，X1,X2,Xn是来自总体是来自总体(zngt)的一个样本，的一个样本，如果对于给定的如果对于给定的1（0 1）能由样本确

12、定出两个统计量：）能由样本确定出两个统计量：（双侧）置信（双侧）置信(zhxn)下限下限（双侧）置信（双侧）置信(zhxn)上限上限 置信置信(zhxn)度度1、定义、定义使使的真值的真值（）一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念第46页/共80页第四十七页，共81页。482.说明说明(shumng)通常通常取得很小，因而取得很小，因而落在区间落在区间 内的概率很大。一般地，内的概率很大。一般地，越小，越小，则则落在区间落在区间 内的可靠程度越大，但在样本容量相同内的可靠程度越大，但在样本容量相同(xin tn)的情的情况下，这个区间长度也就越大，从而估计的误差也就越大。况下，这个区间长

13、度也就越大，从而估计的误差也就越大。置信区间的意义：当样本容量置信区间的意义：当样本容量n固定时，做固定时，做N次抽样，得到次抽样，得到N组样本观组样本观察察(gunch)值，从而得到值，从而得到N个置信区间。这个置信区间。这N个置信区间中，包含个置信区间中，包含的真的真值在其内部的约占值在其内部的约占100(1-),例如，例如，N=1000,=0.05,则则1000个置信区间中个置信区间中大约有大约有950个包含个包含的真值。的真值。问题问题如何确定？如何确定？一般从一般从的点估计量出发，减去某个量构成，加上某个量的点估计量出发，减去某个量构成，加上某个量构成。构成。的真值的真值第47页/共

14、80页第四十八页，共81页。49 单侧置信区间单侧置信区间第48页/共80页第四十九页，共81页。50复习：常用的统计复习：常用的统计(tngj)量量分布分布n n 第49页/共80页第五十页，共81页。51 t分布(fnb)的极限分布(fnb)是标准正态分布(fnb)第50页/共80页第五十一页，共81页。52 第51页/共80页第五十二页，共81页。复习四个定理复习四个定理(dngl)：正态总体统计量：正态总体统计量的分布的分布定理定理1 设总体设总体标准化，得到标准化，得到第52页/共80页第五十三页，共81页。54受到受到1个约束，独立的变量个数为个约束，独立的变量个数为n-1独独第5

15、3页/共80页第五十四页，共81页。55第54页/共80页第五十五页，共81页。56二、正态总体二、正态总体(zngt)未知参数的未知参数的区间估计区间估计1.一个一个(y)正态总体的情况正态总体的情况1)均值均值(jn zh)的置信的置信区间区间 2 已知已知，的置信区间的置信区间的真值的真值的一个无偏估计量是什么？的一个无偏估计量是什么？前面遇到过的哪个统计量既含有又含有前面遇到过的哪个统计量既含有又含有且分布已知？且分布已知？第55页/共80页第五十六页，共81页。57(x)(x)所以所以(suy)，的的1置信区间置信区间为为第56页/共80页第五十七页，共81页。58得置信区间得置信区

16、间置信度为置信度为1-的置信区间不是的置信区间不是(b shi)唯一的！唯一的！在置信度相同在置信度相同(xin tn)的情况下，置信区间的区间长度越小越好！的情况下，置信区间的区间长度越小越好！注注可以证明，当总体的概率密度函数为偶函数时，采用对称可以证明，当总体的概率密度函数为偶函数时，采用对称(duchn)的上的上分位点所得的置信分位点所得的置信区间长度最小。区间长度最小。第57页/共80页第五十八页，共81页。59 2 未知，未知，的置信区间的置信区间当当 2未知时未知时,用用 2的无偏的无偏(w pin)、一致估计量、一致估计量样本方样本方差差来代替来代替 2,从而从而(cng r)

17、得一新的统得一新的统计量计量.这样这样(zhyng)就得到了置信度为就得到了置信度为1的的置信区间置信区间第58页/共80页第五十九页，共81页。602）方差方差(fn ch)2 的置信区间的置信区间若若 已知已知,可用可用 未知时未知时,可用可用可得可得 2 的置信度为的置信度为(1-)的的置信区间为置信区间为:第59页/共80页第六十页，共81页。61单个总体的情形单个总体的情形(qng(qng xing)xing)总结：总结：2已知已知,估计估计(gj)2 2未知未知,估计估计(gj)(gj)用用用用 未知未知,估计估计 2 2用用3)求求 的置信度为的置信度为(1)的置信区间的步骤的置

18、信区间的步骤:根据根据Z的分布的上的分布的上 分位点分位点,解出解出 的置信区间的置信区间寻求一个含有寻求一个含有(而不含其它未知参数而不含其它未知参数)的样本函数的样本函数Z=Z(X1，X2Xn),),且且Z的分布已知的分布已知;第60页/共80页第六十一页，共81页。62例例1 1 已知样本值为已知样本值为(3.3,-0.3,-0.6,-0.9)(3.3,-0.3,-0.6,-0.9)，求，求 (1)(1)当当=3=3时，正态总体时，正态总体(zngt)(zngt)均值均值 的置的置信度为信度为9595 的置信区间；的置信区间；(2)(2)当当 未知时，正态总体未知时，正态总体(zngt)

19、(zngt)均值均值 的的置信度为置信度为9595 的置信区间。的置信区间。解解：由样本由样本(yngbn)(yngbn)值计算可得值计算可得(1)(1)当当=3=3时，时，因为因为(yn wi)(yn wi)故故所以，均值所以，均值 的置信度为的置信度为9595的的置信区间为置信区间为代入代入样本值可得样本值可得请您注意学习解题过程的写法请您注意学习解题过程的写法！请准备好计算器和练习本请准备好计算器和练习本4)4)4)4)应用举例应用举例应用举例应用举例第61页/共80页第六十二页，共81页。63(2)(2)当当 未知时，未知时，由由知知所以所以(suy)(suy)，均值，均值 的置信度为

20、的置信度为9595的置信区间为的置信区间为代入样本代入样本(yngbn)(yngbn)值可得值可得查表查表可得可得第62页/共80页第六十三页，共81页。64例例2:用某仪器间接测量温度用某仪器间接测量温度,重复测量重复测量5次次,所得温度所得温度值为值为1250。,1265。,1245。,1260。,1275。试问。试问真值在什么真值在什么(shn me)范围内范围内?(置信度为置信度为95%)分析分析:用随机变量用随机变量X表示温度的测量值表示温度的测量值,它通常它通常(tngchng)是一个正态变量是一个正态变量.假定仪器无系统误差假定仪器无系统误差,则则E(X)=就是温度的真值就是温度

21、的真值.设设XN(,2),问题即为估计问题即为估计 的的范围范围(未知未知)查查t分布分布(fnb)表表(=0.05,自由度是自由度是n-1=4得得第63页/共80页第六十四页，共81页。65n温度温度(wnd)真值的置信度为真值的置信度为95%的置信区的置信区间为间为n(1244.2,1273.8)第64页/共80页第六十五页，共81页。66第65页/共80页第六十六页，共81页。672.2.两个总体两个总体(zngt)(zngt)的情形的情形1）两个）两个(lin)正态总体均值差正态总体均值差1-2的置的置信区间信区间样本样本(yngbn)分别为分别为(X1，X2 Xn1),(Y1，Y2

22、Yn2)1 1 2 2,2 2 2 2已知已知已知已知,估计估计估计估计 1-2第66页/共80页第六十七页，共81页。68第67页/共80页第六十八页，共81页。69 1 2,2 2 都未知都未知,但但 1 2=2 2=2,均值均值(jn zh)差差 1-2 区间估计区间估计 1 2,2 2都未知的一般都未知的一般(ybn)情况情况此时，当此时，当n1,n2 都很大时（实用中大于都很大时（实用中大于50）均）均值值(jn zh)差差 1-2 区间估计为区间估计为第68页/共80页第六十九页，共81页。70 2）两个正态总体）两个正态总体(zngt)方差比方差比 的置信区间的置信区间:一样一样

23、(yyng)第二个稳定第二个稳定(wndng)第一个稳定第一个稳定现需找一个包含现需找一个包含,且分布为已知的统计量且分布为已知的统计量.方差比的意义方差比的意义:如比较两个灯泡厂如比较两个灯泡厂(寿命均值相等寿命均值相等)的质量哪个稳定的质量哪个稳定.第69页/共80页第七十页，共81页。71第70页/共80页第七十一页，共81页。72要求要求(yoqi):掌握方法掌握方法,而不是死记硬背而不是死记硬背明确置信区间的实际意义明确置信区间的实际意义,能结合到能结合到实际问题中去实际问题中去第71页/共80页第七十二页，共81页。73例例例例3 3 3 3 设有两个工厂独立地生产设有两个工厂独立

24、地生产设有两个工厂独立地生产设有两个工厂独立地生产(shngchn)(shngchn)(shngchn)(shngchn)同一种产品，其质量指标均服从正态分布。同一种产品，其质量指标均服从正态分布。同一种产品，其质量指标均服从正态分布。同一种产品，其质量指标均服从正态分布。现从它们某天的产品中随机抽取现从它们某天的产品中随机抽取现从它们某天的产品中随机抽取现从它们某天的产品中随机抽取60606060只，测得其样本均值分别为只，测得其样本均值分别为只，测得其样本均值分别为只，测得其样本均值分别为10.310.310.310.3和和和和9.99.99.99.9，样本方差，样本方差，样本方差，样本方

25、差S2S2S2S2依依依依次为次为次为次为0.840.840.840.84和和和和1.251.251.251.25。试以。试以。试以。试以95959595 的可靠性判断两工厂生产的可靠性判断两工厂生产的可靠性判断两工厂生产的可靠性判断两工厂生产(shngchn)(shngchn)(shngchn)(shngchn)质量水平的差异？质量水平的差异？质量水平的差异？质量水平的差异？分析：分析：要判断两工厂生产质量水平的差异，首先要判断两工厂生产质量水平的差异，首先(shuxin)需要比较两需要比较两总体的均值的大小，以反映平均质量水平的高低；其次还可以比较总体总体的均值的大小，以反映平均质量水平的

26、高低；其次还可以比较总体方差的大小，以反映质量水平波动的程度。方差的大小，以反映质量水平波动的程度。先估计总体均值先估计总体均值(jn zh)(jn zh)差差 1-1-2 2的大小：的大小：因样本容量较大，故近似地有因样本容量较大，故近似地有由此可得由此可得 1 1-2 2置信区间：置信区间：第72页/共80页第七十三页，共81页。74代入样本代入样本(yngbn)(yngbn)值可得：值可得：再估计总体再估计总体(zngt)(zngt)方差比方差比 12/12/2222的大小：的大小：由由知知这一结果说明这一结果说明(shumng)(shumng)什么？什么？由此可得由此可得 1 12 2

27、/2 22 2的置信区间：的置信区间：代入样本值可得代入样本值可得：这一结果又说明什么？这一结果又说明什么？第73页/共80页第七十四页，共81页。待估待估 参数参数 其他其他 参数参数W W 的的 分分 布布置信区间置信区间单侧置信限单侧置信限 一一个个正正态态总总体体 两两个个正正态态总总体体正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限第74页/共80页第七十五页，共81页。实际实际(shj)应用应用第75页/共80页第七十六页，共81页。（1）用金球测定观察(gunch)值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672（2）用铂球测定观察(gunch)值为：6.6

28、61 6.661 6.667 6.667 6.664设测定值总体为，和为未知。对(1)、(2)两种情况(qngkung)分别求和的置信度为0.9的置信区间。X=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672;Y=6.661 6.661 6.667 6.667 6.664;mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(X,0.1)%金球测定(cdng)的估计MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI=normfit(Y,0.1)%铂球测定(cdng)的估计mu=6.6782 sigma=0.0039muci=6.6750 6.6813sigmaci=0.0026 0.0081MU=6.6640 SIGMA=0.0030MUCI=6.6611 6.6669SIGMACI=0.0019 0.0071第76页/共80页第七十七页，共81页。第77页/共80页第七十八页，共81页。作业题作业题nP120：2第78页/共80页第七十九页，共81页。课件结束(jish)!第79页/共80页第八十页，共81页。81感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第80页/共80页第八十一页，共81页。